Числовые и функциональные ряды - задачи с решениями

Решение:
При [tex]-1\le x\le 1[/tex] ряд геометрический с первым членом [tex]1[/tex] и знаменателем [tex]q=\frac{x}{2}[/tex], причём [tex]|q|\le\frac{1}{2}\lt 1[/tex]. Поэтому он сходится и
[tex]f(x)=\frac{1}{1-\frac{x}{2}}=\frac{2}{2-x}[/tex]
Тогда
[tex]\int_{0}^{1}\frac{2}{2-x}\,dx=\left[-2\ln(2-x)\right]_{0}^{1}=-2\ln 1+2\ln 2=2\ln 2[/tex]
Следовательно,
[tex]\sqrt{e^{2\ln 2}}=\sqrt{e^{\ln 4}}=\sqrt{4}=2[/tex]

Решение:
Так как [tex]1-\frac{1}{n}=\frac{n-1}{n}[/tex] и [tex]1-\frac{1}{n+1}=\frac{n}{n+1}[/tex], общий член ряда есть разность соседних членов последовательности [tex]b_n=\log_{2}\frac{n-1}{n}[/tex]:
[tex]a_n=\log_{2}\frac{n-1}{n}-\log_{2}\frac{n}{n+1}=b_n-b_{n+1}[/tex]
Поэтому в частичных суммах почти все слагаемые взаимно уничтожаются:
[tex]S_N=\sum_{n=2}^{N}(b_n-b_{n+1})=b_2-b_{N+1}=\log_{2}\frac{1}{2}-\log_{2}\frac{N}{N+1}[/tex]
При [tex]N\to\infty[/tex] имеем [tex]\frac{N}{N+1}\to 1[/tex], поэтому [tex]\log_{2}\frac{N}{N+1}\to 0[/tex]. Следовательно, ряд сходится и его сумма равна
[tex]S=\lim_{N\to\infty}S_N=\log_{2}\frac{1}{2}=-1[/tex]

Решение:
Разложим общий член на простейшие дроби (заметим, что [tex](2n+5)-(2n-1)=6[/tex]):
[tex]\frac{1}{(2n-1)(2n+5)}=\frac{1}{6}\left(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+5}\right)\quad\Rightarrow\quad S_n=\frac{1}{6}\left(\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{2k-1}-\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{2k+5}\right)[/tex]
Так как [tex]2k+5=2(k+3)-1[/tex], вторая сумма состоит из дробей [tex]\frac{1}{7},\frac{1}{9},\ldots,\frac{1}{2n+5}[/tex], т.е. из дробей того же вида, что и в первой сумме, с индексом, сдвинутым на [tex]3[/tex]. При [tex]n\ge 3[/tex] дроби [tex]\frac{1}{7},\ldots,\frac{1}{2n-1}[/tex] взаимно уничтожаются и
[tex]S_n=\frac{1}{6}\left(1+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3}-\frac{1}{2n+5}\right)[/tex]
При [tex]n\to\infty[/tex] последние три дроби стремятся к [tex]0[/tex], поэтому ряд сходится и
[tex]S=\lim_{n\to\infty}S_n=\frac{1}{6}\cdot \frac{23}{15}=\frac{23}{90}[/tex]

Решение:
Преобразуем числитель общего члена:
[tex](-4)^{n}x^{6n}=(-1)^{n}2^{2n}\left(x^{3}\right)^{2n}=(-1)^{n}\left(2x^{3}\right)^{2n}[/tex]
Следовательно, при [tex]t=2x^{3}[/tex] ряд принимает вид
[tex]\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}t^{2n}}{(2n)!}[/tex]
Это ряд Маклорена для [tex]\cos t[/tex]. Он сходится к [tex]\cos t[/tex] при любом действительном [tex]t[/tex]: радиус сходимости бесконечен, а остаточный член в форме Лагранжа стремится к [tex]0[/tex], так как все производные косинуса ограничены по модулю числом [tex]1[/tex]. Следовательно, при любом [tex]x\in\mathbb{R}[/tex] сумма ряда равна
[tex]\cos\left(2x^{3}\right)[/tex]

Решение:
Ряды [tex]T=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{2^{n}}[/tex] и [tex]G=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^{n}}[/tex] сходятся (первый по признаку Даламбера, так как [tex]\frac{n+1}{2n}\to\frac{1}{2}\lt 1[/tex], второй — геометрический). Поэтому данный ряд тоже сходится и его сумма [tex]S=2T-G[/tex], где
[tex]G=\frac{\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2}}=1[/tex]
Чтобы найти [tex]T[/tex], сдвинем индекс в [tex]\frac{T}{2}[/tex] и вычтем:
[tex]\frac{T}{2}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{2^{n+1}}=\sum_{n=2}^{\infty}\frac{n-1}{2^{n}}[/tex]
[tex]T-\frac{T}{2}=\frac{1}{2}+\sum_{n=2}^{\infty}\frac{n-(n-1)}{2^{n}}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1\quad\Rightarrow\quad T=2[/tex]
Следовательно,
[tex]S=2\cdot 2-1=3[/tex]

Решение:
Применим признак Даламбера к модулям членов ряда:
[tex]\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{n+2}{n+3}\,|x-4|\to|x-4|[/tex]
Следовательно, ряд сходится абсолютно при [tex]|x-4|\lt 1[/tex], т.е. при [tex]3\lt x\lt 5[/tex], и расходится при [tex]|x-4|\gt 1[/tex]; радиус сходимости [tex]R=1[/tex]. Концы интервала нужно проверить отдельно. При [tex]x=5[/tex] получаем остаток гармонического ряда, который расходится:
[tex]\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n+2}=\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\ldots[/tex]
При [tex]x=3[/tex] имеем [tex](x-4)^{n+2}=(-1)^{n+2}=(-1)^{n}[/tex], и ряд принимает вид
[tex]\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n+2}[/tex]
Числа [tex]\frac{1}{n+2}[/tex] убывают и стремятся к [tex]0[/tex], поэтому по признаку Лейбница этот ряд сходится (условно). Следовательно, область сходимости — [tex]\left[3 ; 5\right)[/tex].

Решение:
Отбрасывание конечного числа членов не влияет на сходимость ряда, поэтому достаточно исследовать остаток ряда. По определению предела при [tex]\varepsilon=\frac{L}{2}\gt 0[/tex] существует номер [tex]N[/tex], такой что при всех [tex]n\ge N[/tex]
[tex]n\,a_n\gt L-\frac{L}{2}=\frac{L}{2}\quad\Rightarrow\quad a_n\gt\frac{L}{2}\cdot \frac{1}{n}\gt 0[/tex]
Гармонический ряд [tex]\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}[/tex] расходится, следовательно, расходится и ряд [tex]\sum_{n=N}^{\infty}\frac{L}{2n}[/tex] (отбрасывание конечного числа членов и умножение на положительную постоянную [tex]\frac{L}{2}[/tex] не влияют на расходимость).
По признаку сравнения для рядов с положительными членами ряд [tex]\sum_{n=N}^{\infty}a_n[/tex] расходится. Добавление конечного числа членов [tex]a_1,\ldots,a_{N-1}[/tex] этого не меняет, поэтому ряд [tex]\sum_{n=1}^{\infty}a_n[/tex] расходится.

Решение:
Коэффициенты Фурье можно вычислять по любому промежутку длины [tex]2\pi[/tex]; возьмём [tex]\left(0; 2\pi\right)[/tex]. Сначала
[tex]a_0=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{2\pi}x\,dx=\frac{1}{\pi}\cdot \frac{(2\pi)^2}{2}=2\pi[/tex]
Значит, свободный член равен [tex]\frac{a_0}{2}=\pi[/tex]. Интегрируя по частям, при [tex]n\ge 1[/tex] получаем
[tex]a_n=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{2\pi}x\cos nx\,dx=\frac{1}{\pi}\left(\left[\frac{x\sin nx}{n}\right]_{0}^{2\pi}-\frac{1}{n}\int_{0}^{2\pi}\sin nx\,dx\right)=0[/tex]
[tex]b_n=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{2\pi}x\sin nx\,dx=\frac{1}{\pi}\left(\left[-\frac{x\cos nx}{n}\right]_{0}^{2\pi}+\frac{1}{n}\int_{0}^{2\pi}\cos nx\,dx\right)=\frac{1}{\pi}\cdot \left(-\frac{2\pi}{n}\right)=-\frac{2}{n}[/tex]
Следовательно,
[tex]f(x)=\pi-2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin nx}{n}[/tex]
Так как [tex]f[/tex] кусочно гладкая, по теореме Дирихле ряд сходится к [tex]x[/tex] при [tex]0\lt x\lt 2\pi[/tex], а в точках разрыва [tex]x=2k\pi,\ k\in\mathbb{Z}[/tex], его сумма равна [tex]\pi[/tex] — среднему арифметическому односторонних пределов [tex]0[/tex] и [tex]2\pi[/tex].