Графики функций - задачи с решениями

Решение:
При [tex]x\lt 0[/tex] значение функции положительно:
[tex]y=-\frac{2}{x}=\frac{2}{-x}=\frac{2}{\left|x\right|}\gt 0[/tex]
Значит, каждая точка графика имеет отрицательную абсциссу и положительную ординату, т.е. лежит во [tex]\text{II}[/tex] координатной четверти. Таблица значений:
[tex]\begin{array}{c|c|c|c|c} x & -4 & -2 & -1 & -\frac{1}{2} \\ \hline y & \frac{1}{2} & 1 & 2 & 4 \end{array}[/tex]
График — одна ветвь гиперболы [tex]y=-\frac{2}{x}[/tex]: когда [tex]x[/tex] приближается к [tex]0[/tex] слева, [tex]y[/tex] неограниченно растёт, а при [tex]x\to -\infty[/tex] значение [tex]y[/tex] стремится к [tex]0[/tex]; оси график не достигает.
Вся гипербола лежит во [tex]\text{II}[/tex] и [tex]\text{IV}[/tex] координатных четвертях; условие [tex]x\lt 0[/tex] оставляет только ветвь во [tex]\text{II}[/tex] четверти. Знак минус перед дробью не делает [tex]y[/tex] отрицательным, так как само [tex]x[/tex] отрицательно.

Решение:
Ось [tex]Oy[/tex] — это прямая [tex]x=0[/tex]. Если бы график [tex]y=f(x)[/tex] имел на ней две различные точки [tex]\left(0; y_1\right)[/tex] и [tex]\left(0; y_2\right)[/tex], где [tex]y_1\ne y_2[/tex], то функция принимала бы два различных значения при одном и том же аргументе [tex]x=0[/tex]. Это противоречит определению функции: каждому [tex]x[/tex] из области определения соответствует ровно одно значение [tex]f(x)[/tex]. Вообще, любая вертикальная прямая [tex]x=c[/tex] пересекает график функции не более чем в одной точке.
Остальные три прямые могут иметь с графиком две общие точки. Например, график [tex]f(x)=2\left|x\right|-1[/tex] пересекает их в точках
[tex]Ox:\ \left(-\frac{1}{2}; 0\right),\ \left(\frac{1}{2}; 0\right)[/tex]
[tex]y=x:\ \left(-\frac{1}{3}; -\frac{1}{3}\right),\ (1; 1)[/tex]
[tex]y=-x:\ (-1; 1),\ \left(\frac{1}{3}; -\frac{1}{3}\right)[/tex]
а ось [tex]Oy[/tex] — только в точке [tex](0; -1)[/tex]. Ответ: ось [tex]Oy[/tex].

Решение:
Угловые коэффициенты [tex]f_1[/tex] и [tex]f_2[/tex] различны ([tex]-2\ne 1[/tex]), поэтому их графики пересекаются ровно в одной точке. Найдём её:
[tex]1-2x=x+4\iff -3x=3\iff x=-1,\quad y=f_1(-1)=1+2=3[/tex]
Значит, общей точкой трёх графиков может быть только [tex]P(-1; 3)[/tex], откуда [tex]f_3(-1)=3[/tex]:
[tex]-(-1)+b=3\iff 1+b=3\iff b=2[/tex]
Проверка: для [tex]f_3(x)=-x+2[/tex] имеем [tex]f_3(-1)=3[/tex], т.е. все три прямые проходят через [tex]P(-1; 3)[/tex].

Решение:
Так как [tex]A(0; -2)[/tex] лежит на графике [tex]f[/tex], получаем [tex]f(0)=b=-2[/tex]. У параллельных прямых угловые коэффициенты равны, поэтому [tex]a=2[/tex] (а [tex]-2\ne -4[/tex], так что прямые не совпадают). Следовательно,
[tex]f(x)=2x-2[/tex]
Точки пересечения двух прямых с осями:
[tex]f(x)=2x-2:\quad (1; 0),\ (0; -2)[/tex]
[tex]g(x)=2x-4:\quad (2; 0),\ (0; -4)[/tex]
Фигура — трапеция (прямые параллельны) с вершинами [tex](1; 0)[/tex], [tex](2; 0)[/tex], [tex](0; -4)[/tex], [tex](0; -2)[/tex] в [tex]\text{IV}[/tex] четверти. Её площадь равна площади прямоугольного треугольника, отсекаемого от осей прямой [tex]g[/tex], минус площадь прямоугольного треугольника, отсекаемого прямой [tex]f[/tex]:
[tex]S=\frac{1}{2}\cdot 2\cdot 4-\frac{1}{2}\cdot 1\cdot 2=4-1=3[/tex]

Решение:
Так как [tex]A[/tex] лежит на [tex]y=ax[/tex] и её абсцисса равна [tex]1[/tex], её ордината равна [tex]a\cdot 1=a[/tex], т.е. [tex]A(1; a)[/tex]. Основание перпендикуляра — [tex]A_1(1; 0)[/tex].
Треугольник [tex]OA_1A[/tex] прямоугольный с прямым углом при вершине [tex]A_1[/tex] и катетами [tex]OA_1=1[/tex] и [tex]A_1A=\left|a\right|[/tex] (длина не может быть отрицательной: при [tex]a\lt 0[/tex] точка [tex]A[/tex] лежит ниже оси [tex]Ox[/tex] и катет равен [tex]-a[/tex]). Следовательно,
[tex]S=\frac{1}{2}\cdot OA_1\cdot A_1A=\frac{1}{2}\cdot 1\cdot \left|a\right|=\frac{\left|a\right|}{2}[/tex]
Ответ [tex]\frac{a}{2}[/tex] верен только при [tex]a\gt 0[/tex]; при [tex]a\lt 0[/tex] он дал бы отрицательную площадь.

Решение:
Сдвиг графика на [tex]2[/tex] единицы влево означает, что [tex]g[/tex] принимает в точке [tex]x[/tex] то значение, которое [tex]f[/tex] принимает в точке [tex]x+2[/tex]. Подставляем [tex]x+2[/tex] вместо [tex]x[/tex] в формулу [tex]f[/tex]:
[tex]g(x)=f(x+2)=\frac{1}{3}(x+2)-5=\frac{1}{3}x+\frac{2}{3}-5=\frac{1}{3}x-\frac{13}{3}[/tex]
Проверка: точки [tex](0; -5)[/tex] и [tex](3; -4)[/tex] графика [tex]f[/tex] переходят в [tex](-2; -5)[/tex] и [tex](1; -4)[/tex], и действительно
[tex]g(-2)=-\frac{2}{3}-\frac{13}{3}=-5,\quad g(1)=\frac{1}{3}-\frac{13}{3}=-4[/tex]
Типичные ошибки: [tex]\frac{1}{3}x-3=f(x)+2[/tex] — это сдвиг на [tex]2[/tex] вверх, а [tex]\frac{1}{3}x-\frac{17}{3}=f(x-2)[/tex] — сдвиг вправо.

Решение:
График [tex]y=f(x-5)[/tex] получается из графика [tex]y=f(x)[/tex] сдвигом на [tex]5[/tex] единиц вправо вдоль оси [tex]Ox[/tex]: точка [tex]\left(t; f(t)\right)[/tex] переходит в [tex]\left(t+5; f(t)\right)[/tex]. Горизонтальный сдвиг меняет только абсциссы точек, но не их ординаты, поэтому множество значений не меняется.
Формально: когда [tex]x[/tex] пробегает область определения [tex]f(x-5)[/tex], число [tex]t=x-5[/tex] пробегает всю область определения [tex]f[/tex], поэтому [tex]f(x-5)[/tex] и [tex]f(t)[/tex] принимают одни и те же значения. Следовательно, множество значений [tex]f(x)[/tex] также является отрезком [tex]\left[-2; 3\right][/tex].
Ответы вроде [tex]\left[3; 8\right][/tex] или [tex]\left[-7; -2\right][/tex] путают горизонтальный сдвиг с вертикальным.

Решение:
В одной системе координат построим график [tex]y=\left|x\right|[/tex] и прямую [tex]y=-x[/tex] (биссектрису второго и четвёртого координатных углов). График [tex]y=\left|x\right|[/tex] состоит из двух лучей с общим началом [tex]O(0; 0)[/tex]:
[tex]y=\left|x\right|=\left\{\begin{array}{ll}x, & x\ge 0\\ -x, & x\lt 0\end{array}\right.[/tex]
При [tex]x\le 0[/tex] левый луч лежит на прямой [tex]y=-x[/tex], поэтому графики совпадают вдоль всего этого луча, включая точку [tex]O[/tex]. При [tex]x\gt 0[/tex] имеем [tex]\left|x\right|=x\gt 0\gt -x[/tex]: график [tex]y=\left|x\right|[/tex] лежит выше оси абсцисс, а прямая — ниже, поэтому общих точек нет.
Следовательно, решениями являются все [tex]x\le 0[/tex] (включая [tex]x=0[/tex]). Это согласуется с определением модуля: [tex]\left|x\right|=-x[/tex] тогда и только тогда, когда [tex]x\le 0[/tex].
[tex]x\in\left(-\infty ; 0\right][/tex]

Решение:
Таблица значений:
[tex]\begin{array}{c|ccccc} x & 0 & 1 & 4 & 9 & 16\\ \hline y & -2 & -1 & 0 & 1 & 2\end{array}[/tex]
Это график [tex]y=\sqrt{x}[/tex], сдвинутый на [tex]2[/tex] единицы вниз и ограниченный условием [tex]0\le x\le 16[/tex]: дуга от [tex](0; -2)[/tex] до [tex](16; 2)[/tex], пересекающая ось абсцисс в точке [tex](4; 0)[/tex]. Так как [tex]\sqrt{x}[/tex] возрастает, функция [tex]y=\sqrt{x}-2[/tex] тоже возрастает, и её наименьшее и наибольшее значения достигаются на концах отрезка:
[tex]y_{\min}=y(0)=0-2=-2,\qquad y_{\max}=y(16)=\sqrt{16}-2=2[/tex]
Функция непрерывна, поэтому принимает все значения от [tex]-2[/tex] до [tex]2[/tex]. Множество значений — [tex]\left[-2; 2\right][/tex]. (Отрезок [tex]\left[0; 4\right][/tex] — это множество значений [tex]\sqrt{x}[/tex] до сдвига, а [tex]\left[-2; 14\right][/tex] получается, если вычесть [tex]2[/tex] из [tex]16[/tex], а не из [tex]\sqrt{16}[/tex].)

Решение:
График состоит из трёх частей:
при [tex]x\lt -1[/tex] — часть прямой [tex]y=4-x[/tex], идущая вверх и влево от точки [tex](-1; 5)[/tex]; эта концевая точка графику не принадлежит (выколотая точка), так как [tex]x=-1[/tex] не удовлетворяет условию [tex]x\lt -1[/tex];
при [tex]-1\le x\lt 2[/tex] — горизонтальный отрезок [tex]y=3[/tex] от закрашенной точки [tex](-1; 3)[/tex] до точки [tex](2; 3)[/tex]; в частности, [tex]f(-1)=3[/tex], а не [tex]5[/tex];
при [tex]x\ge 2[/tex] — луч прямой [tex]y=x+1[/tex] с началом в закрашенной точке [tex](2; 3)[/tex], идущий вверх и вправо.
Пересечём график с горизонтальной прямой [tex]y=5[/tex]. На первой части:
[tex]4-x=5\Rightarrow x=-1[/tex]
Это значение не удовлетворяет условию [tex]x\lt -1[/tex] и отбрасывается: прямая [tex]y=5[/tex] проходит ровно через выколотую точку [tex](-1; 5)[/tex]. На второй части [tex]f(x)=3\ne 5[/tex], решений нет. На третьей части:
[tex]x+1=5\Rightarrow x=4\ge 2[/tex]
значит, [tex]x=4[/tex] — решение. Уравнение имеет ровно одно решение.