Графики функций - очень сложные задачи с решениями

Решение:
Общая точка имеет абсциссу [tex]x\ne 0[/tex], для которой [tex]f(x)=g(x)[/tex].
Случай [tex]x\lt 0[/tex]. Здесь
[tex]f(x)=\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\gt 0,\qquad g(x)=\frac{1}{x}\lt 0[/tex]
т.е. парабола лежит выше оси [tex]Ox[/tex], а левая ветвь гиперболы — ниже неё: общих точек нет.
Случай [tex]x\gt 0[/tex]. Рассмотрим функцию
[tex]h(x)=f(x)-g(x)=x^2+x+1-\frac{1}{x}[/tex]
На промежутке [tex]\left(0; +\infty\right)[/tex] функции [tex]x^2[/tex], [tex]x[/tex] и [tex]-\frac{1}{x}[/tex] возрастают, поэтому [tex]h[/tex] строго возрастает и имеет там не более одного нуля. (Графически: парабола возрастает, а эта ветвь гиперболы убывает, поэтому они пересекаются не более одного раза.)
Существование нуля:
[tex]h\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{4}+\frac{1}{2}+1-2=-\frac{1}{4}\lt 0,\qquad h(1)=1+1+1-1=2\gt 0[/tex]
Функция [tex]h[/tex] непрерывна на отрезке [tex]\left[\frac{1}{2}; 1\right][/tex], поэтому она обращается в нуль в некоторой точке [tex]x_0[/tex], где [tex]\frac{1}{2}\lt x_0\lt 1[/tex] (т.е. [tex]x_0[/tex] — корень уравнения [tex]x^3+x^2+x-1=0[/tex] на этом отрезке).
Следовательно, графики имеют ровно одну общую точку [tex]\left(x_0; \frac{1}{x_0}\right)[/tex], и она лежит в первой координатной четверти.

Решение:
Подмодульные выражения обращаются в нуль в точках [tex]0\lt a\lt b\lt a+b[/tex]. При [tex]0\le x\le a+b[/tex]
[tex]g(x)=x+(a+b-x)=a+b[/tex]
т.е. там график [tex]g[/tex] — горизонтальный отрезок. Для [tex]f[/tex]:
[tex]0\le x\le a:\quad f(x)=(a-x)+(b-x)=a+b-2x[/tex]
[tex]a\le x\le b:\quad f(x)=(x-a)+(b-x)=b-a[/tex]
[tex]b\le x\le a+b:\quad f(x)=(x-a)+(x-b)=2x-a-b[/tex]
График [tex]f[/tex] опускается от [tex](0; a+b)[/tex] до [tex](a; b-a)[/tex], остаётся горизонтальным до [tex](b; b-a)[/tex] и поднимается до [tex](a+b; a+b)[/tex]. Значит, на отрезке [tex]\left[0; a+b\right][/tex] графики встречаются только в концах, а между ними [tex]f\lt g[/tex].
Искомая фигура сверху ограничена отрезком [tex]y=a+b[/tex], а снизу — этой ломаной. Это равнобедренная трапеция с основаниями [tex]a+b[/tex] и [tex]b-a[/tex] и высотой [tex](a+b)-(b-a)=2a[/tex]:
[tex]S=\frac{(a+b)+(b-a)}{2}\cdot 2a=b\cdot 2a=2ab[/tex]
Проверка по частям: два треугольника площадью [tex]\frac{1}{2}\cdot a\cdot 2a=a^2[/tex] каждый и прямоугольник площадью [tex](b-a)\cdot 2a[/tex]:
[tex]2a^2+2a(b-a)=2a^2+2ab-2a^2=2ab[/tex]

Решение:
Решения — это абсциссы общих точек синусоиды [tex]y=\sin x[/tex] и прямой [tex]y=\frac{x}{13}[/tex]. Обе функции нечётные, поэтому решения симметричны относительно [tex]0[/tex]: [tex]x=0[/tex] — решение, и достаточно сосчитать положительные решения и удвоить их число.
Так как [tex]\left|\sin x\right|\le 1[/tex], любое решение удовлетворяет условию [tex]\left|x\right|\le 13[/tex]. При [tex]x\gt 0[/tex] на отрезках [tex]\left[\pi; 2\pi\right][/tex] и [tex]\left[3\pi; 4\pi\right][/tex] имеем [tex]\sin x\le 0\lt\frac{x}{13}[/tex], поэтому там решений нет. Заметим, что [tex]4\pi\lt 13\lt\frac{9\pi}{2}[/tex], так как [tex]\frac{26}{9}\lt\pi\lt\frac{13}{4}[/tex].
Пусть [tex]h(x)=\sin x-\frac{x}{13}[/tex]. Там, где [tex]\sin x\gt 0[/tex], имеем [tex]h''(x)=-\sin x\lt 0[/tex], поэтому там [tex]h[/tex] выпукла вверх и имеет не более двух нулей на каждом таком промежутке (прямая пересекает каждую арку синусоиды не более чем в двух точках).
На отрезке [tex]\left[0; \pi\right][/tex]:
[tex]h(0)=0,\qquad h'(0)=1-\frac{1}{13}\gt 0,\qquad h(\pi)=-\frac{\pi}{13}\lt 0[/tex]
Синусоида начинается выше прямой и заканчивается ниже неё, поэтому, кроме [tex]x=0[/tex], есть нуль в [tex]\left(0; \pi\right)[/tex], а так как у [tex]h[/tex] не более двух нулей на [tex]\left[0; \pi\right][/tex], в [tex]\left(0; \pi\right)[/tex] ровно одно решение.
На отрезке [tex]\left[2\pi; 3\pi\right][/tex] (учитывая, что [tex]5\pi\lt 26[/tex]):
[tex]h(2\pi)=-\frac{2\pi}{13}\lt 0,\qquad h\left(\frac{5\pi}{2}\right)=1-\frac{5\pi}{26}\gt 0,\qquad h(3\pi)=-\frac{3\pi}{13}\lt 0[/tex]
поэтому есть нуль на каждом из интервалов [tex]\left(2\pi; \frac{5\pi}{2}\right)[/tex] и [tex]\left(\frac{5\pi}{2}; 3\pi\right)[/tex], а всего их не более двух: ровно два решения.
На отрезке [tex]\left[4\pi; 13\right][/tex], используя [tex]\sin t\le t[/tex] при [tex]t\ge 0[/tex] и [tex]\frac{25}{8}\lt\pi[/tex]:
[tex]\sin x=\sin (x-4\pi)\le x-4\pi\le 13-4\pi\lt\frac{1}{2}\lt\frac{12}{13}\lt\frac{4\pi}{13}\le\frac{x}{13}[/tex]
поэтому там решений нет. Итак, положительных решений [tex]1+2=3[/tex], отрицательных [tex]3[/tex], и ещё [tex]x=0[/tex]:
[tex]3+3+1=7[/tex]