Геометрическая вероятность - задачи с решениями

Решение:
Число — случайная точка отрезка [tex]\left[0; 1\right][/tex], причём все точки равновозможны, поэтому вероятность попасть в часть отрезка равна отношению длины этой части к длине всего отрезка (геометрическая вероятность). Здесь эта часть — отрезок [tex]\left[0{,}30; 0{,}42\right][/tex], а длина всего отрезка равна [tex]1[/tex]:
[tex]P=\frac{0{,}42-0{,}30}{1}=0{,}12[/tex]

Решение:
Точка выбирается равномерно в квадрате, поэтому искомая вероятность равна отношению площади круга к площади квадрата. Пусть сторона квадрата равна [tex]a[/tex]. Диаметр вписанной окружности равен стороне, значит, её радиус [tex]r=\frac{a}{2}[/tex]:
[tex]P=\frac{\pi r^2}{a^2}=\frac{\pi a^2}{4a^2}=\frac{\pi}{4}\approx 0{,}785[/tex]
Вероятность не зависит от размеров квадрата.

Решение:
Так как [tex]x[/tex] распределено равномерно на [tex]\left[4; 38\right][/tex], вероятность равна длине множества благоприятных значений, делённой на длину всего отрезка [tex]38-4=34[/tex]. По неравенству треугольника каждая сторона должна быть меньше суммы двух других:
[tex]x\lt 8+15=23,\qquad 15\lt 8+x\iff x\gt 7,\qquad 8\lt 15+x[/tex]
Последнее неравенство выполняется всегда, поэтому множество благоприятных значений — интервал [tex]\left(7; 23\right)[/tex] длины [tex]16[/tex], лежащий внутри [tex]\left[4; 38\right][/tex]:
[tex]P=\frac{16}{34}=\frac{8}{17}[/tex]