Геометрическая вероятность - сложные задачи с решениями

Решение:
Пусть [tex]x[/tex] и [tex]y[/tex] — число минут после [tex]10{:}00[/tex], когда прибывают соответственно автобус и пассажир. Точка [tex]\left(x; y\right)[/tex] равномерно распределена в прямоугольнике [tex]0\le x\le 5[/tex], [tex]0\le y\le 15[/tex], площадь которого равна
[tex]S=5\cdot 15=75[/tex]
Автобус уезжает в момент [tex]x+5[/tex]. Если пассажир пришёл раньше, он ждёт, поэтому он успевает на автобус ровно тогда, когда [tex]y\le x+5[/tex]. При фиксированном [tex]x[/tex] благоприятные значения [tex]y[/tex] образуют отрезок длины [tex]x+5[/tex], поэтому благоприятная область — трапеция с основаниями [tex]5[/tex] и [tex]10[/tex] и высотой [tex]5[/tex]:
[tex]S_1=\frac{5+10}{2}\cdot 5=37{,}5,\qquad P=\frac{S_1}{S}=\frac{37{,}5}{75}=\frac{1}{2}[/tex]

Решение:
Будем измерять время в минутах после [tex]10{:}00[/tex]; пусть [tex]x[/tex] и [tex]y[/tex] — моменты прихода двух человек. Точка [tex]\left(x; y\right)[/tex] равномерно распределена в квадрате [tex]0\le x\le 60[/tex], [tex]0\le y\le 60[/tex] площади [tex]60^2=3600[/tex]. Встреча происходит ровно тогда, когда моменты прихода отличаются не более чем на [tex]5[/tex] минут:
[tex]|x-y|\le 5[/tex]
Дополнительная область [tex]|x-y|\gt 5[/tex] состоит из двух равнобедренных прямоугольных треугольников с катетами [tex]60-5=55[/tex]; их общая площадь равна
[tex]2\cdot \frac{55^2}{2}=3025\ \Rightarrow\ P=\frac{3600-3025}{3600}=\frac{575}{3600}=\frac{23}{144}[/tex]

Решение:
Пусть [tex]x[/tex] и [tex]y[/tex] — моменты прихода (в часах) соответственно первого и второго судна. Точка [tex]\left(x; y\right)[/tex] равномерно распределена в квадрате [tex]0\le x\le 24[/tex], [tex]0\le y\le 24[/tex] площади [tex]24^2=576[/tex], поэтому вероятности равны отношениям площадей. Одному из судов придётся ждать, если второе придёт, пока первое ещё стоит у причала, или первое придёт, пока там стоит второе:
[tex]x\le y\lt x+2\text{ или }y\le x\lt y+1[/tex]
Никто не ждёт, когда [tex]y\ge x+2[/tex] или [tex]x\ge y+1[/tex]. Это два равнобедренных прямоугольных треугольника внутри квадрата с катетами [tex]24-2=22[/tex] и [tex]24-1=23[/tex]; их общая площадь равна
[tex]\frac{22^2}{2}+\frac{23^2}{2}=242+264{,}5=506{,}5[/tex]
[tex]P=1-\frac{506{,}5}{576}=\frac{69{,}5}{576}=\frac{139}{1152}[/tex]

Решение:
Прямоугольник состоит из точек, для которых [tex]-2\le x\le 2[/tex] и [tex]-0{,}5\le y\le 1[/tex], поэтому его площадь равна
[tex]S_{ABCD}=4\cdot 1{,}5=6[/tex]
Искомая вероятность равна отношению площади части круга, лежащей в прямоугольнике, к [tex]6[/tex]. Каждая точка круга удовлетворяет условиям [tex]|x|\le 1[/tex] и [tex]y\le 1[/tex], поэтому часть круга отсекает только прямая [tex]y=-0{,}5[/tex]: это круговой сегмент, хорда которого находится на расстоянии [tex]\frac{1}{2}[/tex] от центра. Если его центральный угол равен [tex]2\theta[/tex], то
[tex]\cos\theta=\frac{1}{2}\Rightarrow\theta=\frac{\pi}{3}\Rightarrow 2\theta=\frac{2\pi}{3}[/tex]
Площадь сегмента равна площади сектора минус площадь треугольника:
[tex]S_1=\frac{1}{2}\cdot 1^2\cdot \frac{2\pi}{3}-\frac{1}{2}\cdot 1^2\cdot \sin \frac{2\pi}{3}=\frac{\pi}{3}-\frac{\sqrt{3}}{4}[/tex]
Значит, площадь части круга, лежащей в прямоугольнике, равна
[tex]S=\pi-\left(\frac{\pi}{3}-\frac{\sqrt{3}}{4}\right)=\frac{2\pi}{3}+\frac{\sqrt{3}}{4}[/tex]
Тогда
[tex]P=\frac{S}{6}=\frac{1}{6}\left(\frac{2\pi}{3}+\frac{\sqrt{3}}{4}\right)=\frac{\pi}{9}+\frac{\sqrt{3}}{24}\approx 0{,}421[/tex]

Решение:
Точка [tex](a; b)[/tex] — случайная точка прямоугольника площади [tex]1\cdot 2=2[/tex], поэтому вероятность равна отношению площади благоприятной области к [tex]2[/tex].
Так как [tex]a\gt 0[/tex], уравнение квадратное, и оно имеет действительные корни тогда и только тогда, когда его дискриминант неотрицателен:
[tex]D=b^2-4a\ge 0\iff a\le\frac{b^2}{4}[/tex]
При [tex]-1\lt b\lt 1[/tex] имеем [tex]\frac{b^2}{4}\lt 1[/tex], поэтому благоприятная область — часть прямоугольника между прямой [tex]a=0[/tex] и параболой [tex]a=\frac{b^2}{4}[/tex]. Её площадь равна
[tex]S=\int_{-1}^{1}\frac{b^2}{4}\,db=\left.\frac{b^3}{12}\right|_{-1}^{1}=\frac{1}{12}+\frac{1}{12}=\frac{1}{6}[/tex]
Следовательно,
[tex]P=\frac{S}{2}=\frac{1}{12}[/tex]