Диофантовы уравнения - задачи с решениями

Решение:
Разделив на [tex]2[/tex], получаем равносильное уравнение
[tex]8x+13y=159[/tex]
По модулю [tex]8[/tex] имеем [tex]13\equiv 5[/tex] и [tex]159\equiv 7[/tex], поэтому [tex]5y\equiv 7\pmod 8[/tex]. Так как [tex]5\cdot 5=25\equiv 1\pmod 8[/tex], умножив на [tex]5[/tex], получаем
[tex]y\equiv 35\equiv 3\pmod 8[/tex]
При [tex]y=3[/tex] получаем [tex]8x=159-39=120[/tex], т.е. [tex]x=15[/tex], так что [tex](x; y)=(15; 3)[/tex] — частное решение. Если [tex](x; y)[/tex] — произвольное решение, то, вычитая [tex]8\cdot 15+13\cdot 3=159[/tex] из [tex]8x+13y=159[/tex], получаем
[tex]8(x-15)=-13(y-3)[/tex]
Так как [tex]8[/tex] и [tex]13[/tex] взаимно просты, [tex]y-3[/tex] делится на [tex]8[/tex], т.е. [tex]y=3+8t[/tex], где [tex]t\in\mathbb{Z}[/tex]; тогда [tex]8(x-15)=-104t[/tex], т.е. [tex]x=15-13t[/tex]. Обратно, каждая такая пара является решением:
[tex]16(15-13t)+26(3+8t)=240-208t+78+208t=318[/tex]
Следовательно, решения уравнения: [tex]x=15-13t,\ y=3+8t[/tex], где [tex]t\in\mathbb{Z}[/tex].

Решение:
Пусть [tex]x[/tex] — число ящиков по [tex]130[/tex] кг, а [tex]y[/tex] — число ящиков по [tex]160[/tex] кг, где [tex]x[/tex] и [tex]y[/tex] — целые неотрицательные числа. Так как [tex]3[/tex] тонны — это [tex]3000[/tex] кг, то
[tex]130x+160y=3000\iff 13x+16y=300[/tex]
По модулю [tex]13[/tex] имеем [tex]16\equiv 3[/tex] и [tex]300=13\cdot 23+1\equiv 1[/tex], поэтому [tex]3y\equiv 1\pmod{13}[/tex]. Так как [tex]3\cdot 9=27\equiv 1\pmod{13}[/tex], умножив на [tex]9[/tex], получаем
[tex]y\equiv 9\pmod{13}[/tex]
С другой стороны, [tex]16y\le 300[/tex], откуда [tex]y\le 18[/tex], и единственное такое значение — [tex]y=9[/tex]. Тогда
[tex]13x=300-16\cdot 9=156\Rightarrow x=12[/tex]
Итак, грузовик можно загрузить полностью единственным способом: [tex]12[/tex] ящиков по [tex]130[/tex] кг и [tex]9[/tex] ящиков по [tex]160[/tex] кг ([tex]1560+1440=3000[/tex] кг). Всего ящиков [tex]12+9=21[/tex].

Решение:
Пусть у команды [tex]w[/tex] побед, [tex]d[/tex] ничьих и [tex]l[/tex] поражений ([tex]w[/tex], [tex]d[/tex], [tex]l[/tex] — целые неотрицательные числа). Тогда
[tex]w+d+l=38,\qquad 3w+d=80[/tex]
Из второго уравнения [tex]d=80-3w\ge 0[/tex], откуда [tex]w\le 26[/tex]. Подставив в первое уравнение, получаем
[tex]l=38-w-(80-3w)=2w-42[/tex]
Число поражений растёт вместе с [tex]w[/tex], поэтому оно наибольшее при [tex]w=26[/tex]: тогда [tex]d=2[/tex] и [tex]l=10[/tex]. Проверка: [tex]26+2+10=38[/tex] матчей и [tex]3\cdot 26+2=80[/tex] очков. Следовательно, наибольшее возможное число поражений равно [tex]10[/tex].

Решение:
Предположим, что целые числа [tex]x[/tex] и [tex]y[/tex] удовлетворяют уравнению. Тогда [tex]5x^2=11y+7[/tex], поэтому
[tex]5x^2\equiv 7\pmod{11}[/tex]
Так как [tex]5\cdot 9=45\equiv 1\pmod{11}[/tex], умножив на [tex]9[/tex], получаем
[tex]x^2\equiv 63\equiv 8\pmod{11}[/tex]
С другой стороны, любое целое число [tex]x[/tex] сравнимо по модулю [tex]11[/tex] с одним из чисел [tex]0; \pm 1; \pm 2; \pm 3; \pm 4; \pm 5[/tex], а
[tex]0^2=0,\quad (\pm 1)^2=1,\quad (\pm 2)^2=4,\quad (\pm 3)^2=9,\quad (\pm 4)^2=16\equiv 5,\quad (\pm 5)^2=25\equiv 3\pmod{11}[/tex]
Значит, точный квадрат при делении на [tex]11[/tex] может давать только остатки [tex]0; 1; 3; 4; 5; 9[/tex] и никогда не даёт остаток [tex]8[/tex]. Полученное противоречие доказывает, что уравнение не имеет решений в целых числах.