Диофантовы уравнения - сложные задачи с решениями

Решение:
Уравнение имеет решение тогда и только тогда, когда число [tex]n=c-3[/tex] можно записать в виде [tex]n=5a+7b[/tex] с целыми [tex]a,b\ge 0[/tex]. При [tex]n=23[/tex], т.е. [tex]c=26[/tex], нужно [tex]7b\le 23[/tex], поэтому [tex]b\in\{0; 1; 2; 3\}[/tex] и
[tex]23-7b\in\{23; 16; 9; 2\}[/tex]
Ни одно из этих чисел не делится на [tex]5[/tex], поэтому при [tex]c=26[/tex] уравнение не имеет решений.
Пусть теперь [tex]n\ge 24[/tex]. Числа [tex]7b[/tex] при [tex]b=0; 1; 2; 3; 4[/tex] дают все возможные остатки по модулю [tex]5[/tex]:
[tex]0\equiv 0,\quad 7\equiv 2,\quad 14\equiv 4,\quad 21\equiv 1,\quad 28\equiv 3\pmod 5[/tex]
Выберем [tex]b\in\{0; 1; 2; 3; 4\}[/tex] так, чтобы [tex]7b\equiv n\pmod 5[/tex]. Если [tex]b\le 3[/tex], то [tex]7b\le 21\lt n[/tex]. Если [tex]b=4[/tex], то [tex]n\equiv 3\pmod 5[/tex], и вместе с [tex]n\ge 24[/tex] это даёт [tex]n\ge 28=7b[/tex]. В обоих случаях [tex]n-7b[/tex] — неотрицательное число, кратное [tex]5[/tex], т.е. [tex]n-7b=5a[/tex] с [tex]a\ge 0[/tex].
Следовательно, уравнение имеет решение при любом [tex]c\ge 27[/tex], и наибольшее [tex]c[/tex], при котором оно не имеет решений, равно [tex]26[/tex].

Решение:
Запишем уравнение в виде
[tex](x-y)(x+y)=400[/tex]
Числа [tex]x-y[/tex] и [tex]x+y[/tex] одной чётности, так как их сумма [tex]2x[/tex] чётна; их произведение чётно, поэтому оба числа чётные. Положим [tex]x-y=2u[/tex], [tex]x+y=2v[/tex] с целыми [tex]u[/tex] и [tex]v[/tex]; тогда
[tex]uv=100,\qquad x=u+v,\quad y=v-u[/tex]
Обратно, каждая упорядоченная пара целых чисел [tex](u; v)[/tex] с [tex]uv=100[/tex] даёт решение [tex](x; y)=(u+v; v-u)[/tex], причём разные пары дают разные решения, так как [tex]u=\frac{x-y}{2}[/tex] и [tex]v=\frac{x+y}{2}[/tex] определяются парой [tex](x; y)[/tex]. Значит, нужно подсчитать упорядоченные пары целых чисел [tex](u; v)[/tex] с [tex]uv=100[/tex].
Число [tex]100=2^2\cdot 5^2[/tex] имеет [tex](2+1)(2+1)=9[/tex] натуральных делителей, поэтому таких пар с [tex]u,v\gt 0[/tex] ровно [tex]9[/tex] и пар с [tex]u,v\lt 0[/tex] тоже [tex]9[/tex]. Следовательно, уравнение имеет [tex]18[/tex] целочисленных решений (при всех комбинациях знаков):
[tex](\pm 20; 0),\ (\pm 25; \pm 15),\ (\pm 29; \pm 21),\ (\pm 52; \pm 48),\ (\pm 101; \pm 99)[/tex]

Решение:
Сгруппируем слагаемые, содержащие [tex]x[/tex]:
[tex]x(y-3)=2y^2+1[/tex]
Если [tex]y=3[/tex], получаем [tex]0=19[/tex], что неверно. Значит, [tex]y\ne 3[/tex], и так как [tex]2y^2+1=(y-3)(2y+6)+19[/tex], то
[tex]x=\frac{2y^2+1}{y-3}=2y+6+\frac{19}{y-3}[/tex]
Значит, [tex]x[/tex] — целое число тогда и только тогда, когда [tex]19[/tex] делится на [tex]y-3[/tex], т.е. [tex]y-3\in\{1; -1; 19; -19\}[/tex]:
[tex]y-3=1\Rightarrow y=4,\ x=8+6+19=33[/tex]
[tex]y-3=-1\Rightarrow y=2,\ x=4+6-19=-9[/tex]
[tex]y-3=19\Rightarrow y=22,\ x=44+6+1=51[/tex]
[tex]y-3=-19\Rightarrow y=-16,\ x=-32+6-1=-27[/tex]
Все четыре пары удовлетворяют уравнению (например, [tex]33\cdot 4=132=2\cdot 16+99+1[/tex] и [tex](-27)(-16)=432=2\cdot 256-81+1[/tex]), поэтому решения уравнения: [tex](33; 4)[/tex], [tex](-9; 2)[/tex], [tex](51; 22)[/tex] и [tex](-27; -16)[/tex].

Решение:
Каждый множитель больше [tex]1[/tex], а множитель [tex]1+\frac{1}{n}[/tex] убывает с ростом [tex]n[/tex]. Если [tex]a=1[/tex], то первый множитель уже равен [tex]2[/tex] и произведение больше [tex]2[/tex]. Если [tex]a\ge 4[/tex], то [tex]b,c\ge 4[/tex] и
[tex]\left(1+\frac{1}{a}\right)\left(1+\frac{1}{b}\right)\left(1+\frac{1}{c}\right)\le\left(\frac{5}{4}\right)^3=\frac{125}{64}\lt 2[/tex]
Следовательно, [tex]a=2[/tex] или [tex]a=3[/tex].
Случай [tex]a=2[/tex]. Тогда [tex]\left(1+\frac{1}{b}\right)\left(1+\frac{1}{c}\right)=\frac{4}{3}[/tex], т.е. [tex]3(b+1)(c+1)=4bc[/tex], что равносильно
[tex]bc-3b-3c-3=0\iff (b-3)(c-3)=12[/tex]
Так как второй множитель больше [tex]1[/tex], имеем [tex]1+\frac{1}{b}\lt\frac{4}{3}[/tex], т.е. [tex]b\gt 3[/tex]. Значит, [tex]1\le b-3\le c-3[/tex] и [tex](b-3; c-3)\in\{(1; 12),\ (2; 6),\ (3; 4)\}[/tex], откуда получаем тройки [tex](2; 4; 15)[/tex], [tex](2; 5; 9)[/tex], [tex](2; 6; 7)[/tex].
Случай [tex]a=3[/tex]. Тогда [tex]\left(1+\frac{1}{b}\right)\left(1+\frac{1}{c}\right)=\frac{3}{2}[/tex], т.е. [tex]2(b+1)(c+1)=3bc[/tex], что равносильно
[tex]bc-2b-2c-2=0\iff (b-2)(c-2)=6[/tex]
Здесь [tex]b\ge a=3[/tex], поэтому [tex]1\le b-2\le c-2[/tex] и [tex](b-2; c-2)\in\{(1; 6),\ (2; 3)\}[/tex], откуда получаем тройки [tex](3; 3; 8)[/tex] и [tex](3; 4; 5)[/tex].
Все пять троек удовлетворяют условию [tex]a\le b\le c[/tex], поэтому искомых троек [tex]5[/tex].

Решение:
Сложив первое уравнение с удвоенным вторым, получаем
[tex](x+y+z)^2=138+2\cdot 131=400\Rightarrow x+y+z=\pm 20[/tex]
Вычтя второе уравнение из первого и удвоив, получаем
[tex](x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2=2\cdot 138-2\cdot 131=14[/tex]
Каждый из этих квадратов не больше [tex]14[/tex], поэтому равен одному из чисел [tex]0; 1; 4; 9[/tex], а единственный способ записать [tex]14[/tex] в виде суммы трёх таких квадратов — это [tex]9+4+1[/tex]. Значит, три числа попарно различны, и если расположить их в порядке возрастания, то две разности между соседними равны [tex]1[/tex] и [tex]2[/tex] в некотором порядке (наибольшая разность равна [tex]3[/tex]). Итак, это числа [tex]t,\ t+1,\ t+3[/tex] или [tex]t,\ t+2,\ t+3[/tex] для некоторого целого [tex]t[/tex].
В первом случае сумма равна [tex]3t+4=\pm 20[/tex], откуда [tex]t=-8[/tex] (значение [tex]t=\frac{16}{3}[/tex] не целое): числа [tex]-8; -7; -5[/tex]. Во втором случае из [tex]3t+5=\pm 20[/tex] получаем [tex]t=5[/tex] (значение [tex]t=-\frac{25}{3}[/tex] не целое): числа [tex]5; 7; 8[/tex].
Проверка: [tex]25+49+64=138[/tex] и [tex]35+56+40=131[/tex]; для [tex]-8; -7; -5[/tex] значения те же. Оба уравнения симметричны, поэтому любая перестановка каждой из двух троек чисел является решением, и число упорядоченных троек равно
[tex]2\cdot 3!=12[/tex]

Решение:
Если [tex]n=1[/tex], то [tex]3^m=3[/tex] и [tex]m=1[/tex]. Пусть [tex]n\ge 2[/tex]. Тогда [tex]3^m=1+2^n[/tex] даёт остаток [tex]1[/tex] при делении на [tex]4[/tex], а [tex]3\equiv -1\pmod 4[/tex]:
[tex]3^m\equiv (-1)^m\equiv 1\pmod 4[/tex]
значит, [tex]m[/tex] чётно: [tex]m=2k[/tex], [tex]k\ge 1[/tex]. Тогда
[tex]2^n=3^{2k}-1=\left(3^k-1\right)\left(3^k+1\right)[/tex]
Оба множителя — положительные делители степени числа [tex]2[/tex], поэтому и сами являются степенями числа [tex]2[/tex], и они отличаются на [tex]2[/tex]. Меньший из них равен [tex]3^k-1\ge 2[/tex]. Если бы он был не меньше [tex]4[/tex], то оба множителя делились бы на [tex]4[/tex], а значит, и их разность [tex]2[/tex], что неверно. Следовательно,
[tex]3^k-1=2\Rightarrow k=1,\quad m=2,\quad 2^n=2\cdot 4=8,\quad n=3[/tex]
Проверка: [tex]3^1-2^1=1[/tex] и [tex]3^2-2^3=1[/tex]. Решения: [tex](1; 1)[/tex] и [tex](2; 3)[/tex].

Решение:
Сравним правую часть с соседними кубами [tex]y^3[/tex] и [tex](y+1)^3[/tex]:
[tex]x^3-y^3=2y^2+1\gt 0[/tex]
[tex](y+1)^3-x^3=\left(y^3+3y^2+3y+1\right)-\left(y^3+2y^2+1\right)=y^2+3y=y(y+3)[/tex]
Если [tex]y\ge 1[/tex] или [tex]y\le -4[/tex], то [tex]y(y+3)\gt 0[/tex] и [tex]y^3\lt x^3\lt (y+1)^3[/tex], т.е. [tex]y\lt x\lt y+1[/tex], что невозможно для целого [tex]x[/tex]. Осталось проверить [tex]y\in\{-3; -2; -1; 0\}[/tex]:
[tex]y=-3:\quad x^3=-27+18+1=-8\Rightarrow x=-2[/tex]
[tex]y=-2:\quad x^3=-8+8+1=1\Rightarrow x=1[/tex]
[tex]y=-1[/tex]: [tex]x^3=-1+2+1=2[/tex] — целых решений нет;
[tex]y=0:\quad x^3=1\Rightarrow x=1[/tex]
Решения: [tex](1; 0)[/tex], [tex](1; -2)[/tex] и [tex](-2; -3)[/tex].