Область определения функции - задачи с решениями

Решение:
Квадратный корень определён тогда и только тогда, когда подкоренное выражение неотрицательно:
[tex]23-2x^2\ge 0\iff x^2\le\frac{23}{2}=11{,}5[/tex]
Для целого [tex]x[/tex] это означает [tex]|x|\le 3[/tex], так как [tex]3^2=9\le 11{,}5[/tex], а [tex]4^2=16\gt 11{,}5[/tex]. Следовательно, целые числа из области определения —
[tex]-3; -2; -1; 0; 1; 2; 3[/tex]
т.е. [tex]7[/tex] чисел.

Решение:
Функция определена, когда
[tex]5x^2-x^3=x^2(5-x)\ge 0[/tex]
Если [tex]x=0[/tex], неравенство выполнено. Если [tex]x\ne 0[/tex], то [tex]x^2\gt 0[/tex] и неравенство равносильно неравенству [tex]5-x\ge 0[/tex], т.е. [tex]x\le 5[/tex].
Так как [tex]0\le 5[/tex], область определения — [tex]\left(-\infty; 5\right][/tex], и наибольшее число в ней равно [tex]5[/tex]. Действительно,
[tex]f(5)=\sqrt{125-125}=0[/tex]

Решение:
Выражение определено тогда и только тогда, когда знаменатель не равен нулю, поэтому найдём, когда он обращается в нуль:
[tex]|x-2|-4+3x=0[/tex]
Если [tex]x\ge 2[/tex], то [tex]|x-2|=x-2[/tex] и уравнение принимает вид [tex]4x-6=0[/tex], откуда [tex]x=\frac{3}{2}[/tex]. Это значение не удовлетворяет условию [tex]x\ge 2[/tex] и отбрасывается (действительно, при [tex]x=\frac{3}{2}[/tex] знаменатель равен [tex]\frac{1}{2}-4+\frac{9}{2}=1\ne 0[/tex]).
Если [tex]x\lt 2[/tex], то [tex]|x-2|=2-x[/tex] и уравнение принимает вид [tex]2x-2=0[/tex], откуда [tex]x=1[/tex], что удовлетворяет условию [tex]x\lt 2[/tex].
Значит, знаменатель обращается в нуль только при [tex]x=1[/tex], и область допустимых значений —
[tex]x\in\left(-\infty; 1\right)\cup\left(1; +\infty\right)[/tex]

Решение:
Основание логарифма должно быть положительным и отличным от [tex]1[/tex], а его аргумент должен быть положительным:
[tex]x\gt 0,\qquad x\ne 1,\qquad x^2-3x+2=(x-1)(x-2)\gt 0[/tex]
Последнее неравенство выполняется при [tex]x\lt 1[/tex] или [tex]x\gt 2[/tex]. Пересекая с условиями на основание [tex]x\in\left(0; 1\right)\cup\left(1; +\infty\right)[/tex], получаем
[tex]x\in\left(0; 1\right)\cup\left(2; +\infty\right)[/tex]

Решение:
Подкоренное выражение должно быть неотрицательным:
[tex]x^4-x^2=x^2(x-1)(x+1)\ge 0[/tex]
Если [tex]x=0[/tex], левая часть равна [tex]0[/tex], поэтому неравенство выполнено и [tex]0[/tex] принадлежит области определения.
Если [tex]x\ne 0[/tex], то [tex]x^2\gt 0[/tex] и на него можно разделить: [tex](x-1)(x+1)\ge 0[/tex], т.е. [tex]x\le -1[/tex] или [tex]x\ge 1[/tex]. Следовательно, область определения —
[tex]\left(-\infty; -1\right]\cup\left\{0\right\}\cup\left[1; +\infty\right)[/tex]
Заметим, что [tex]0[/tex] — двукратный корень: множитель [tex]x^2[/tex] не меняет знака, поэтому выражение отрицательно по обе стороны от [tex]0[/tex] (при [tex]0\lt |x|\lt 1[/tex]), и точка [tex]0[/tex] — изолированная точка области определения.

Решение:
Корень [tex]112[/tex]-й степени — корень чётной степени, поэтому подкоренное выражение должно быть неотрицательным:
[tex]-x^2-4x+5\ge 0\iff x^2+4x-5\le 0\iff (x+5)(x-1)\le 0\iff x\in\left[-5; 1\right][/tex]
Корень [tex]13[/tex]-й степени — корень нечётной степени, поэтому он определён при любом действительном подкоренном выражении (в том числе отрицательном). Единственное ограничение связано с тем, что он стоит в знаменателе:
[tex]\sqrt[13]{11-11x}\ne 0\iff 11-11x\ne 0\iff x\ne 1[/tex]
Объединяя оба условия, получаем область допустимых значений
[tex]x\in\left[-5; 1\right)[/tex]

Решение:
Каждый из квадратных корней должен существовать по отдельности, а знаменатель не должен равняться нулю. Для числителя:
[tex]x^2+4x+3=(x+1)(x+3)\ge 0\iff x\in\left(-\infty; -3\right]\cup\left[-1; +\infty\right)[/tex]
Корень в знаменателе существует и отличен от нуля тогда и только тогда, когда
[tex]x^2+2x-8=(x+4)(x-2)\gt 0\iff x\in\left(-\infty; -4\right)\cup\left(2; +\infty\right)[/tex]
Область определения — пересечение этих двух множеств:
[tex]x\in\left(-\infty; -4\right)\cup\left(2; +\infty\right)[/tex]
Заметим, что при [tex]x\in\left[-3; -1\right][/tex] частное [tex]\frac{x^2+4x+3}{x^2+2x-8}[/tex] неотрицательно, но подкоренное выражение [tex]x^2+2x-8[/tex] отрицательно, поэтому эти значения не входят в область определения [tex]f[/tex] (они входят лишь в область определения функции [tex]\sqrt{\frac{x^2+4x+3}{x^2+2x-8}}[/tex]).

Решение:
Оба подкоренных выражения должны быть неотрицательны. Из [tex]9-x^2\ge 0[/tex] получаем [tex]x\in\left[-3; 3\right][/tex], а из [tex]\sin x\ge 0[/tex] получаем
[tex]x\in\left[2k\pi; \pi+2k\pi\right],\ k\in\mathbb{Z}[/tex]
Проверим, какие из этих промежутков пересекаются с [tex]\left[-3; 3\right][/tex]. При [tex]k=0[/tex] получаем [tex]\left[0; \pi\right][/tex]; так как [tex]\pi\gt 3[/tex], его общая часть с [tex]\left[-3; 3\right][/tex] — это [tex]\left[0; 3\right][/tex].
При [tex]k\le -1[/tex] промежутки заканчиваются в точке [tex](2k+1)\pi\le -\pi\lt -3[/tex], а при [tex]k\ge 1[/tex] начинаются с точки [tex]2k\pi\ge 2\pi\gt 3[/tex], поэтому общих точек с [tex]\left[-3; 3\right][/tex] у них нет. Следовательно, область определения —
[tex]x\in\left[0; 3\right][/tex]

Решение:
Аргумент [tex]\log_2[/tex] должен быть положительным, аргумент [tex]\log_{\frac{1}{3}}[/tex] должен быть положительным, а подкоренное выражение — неотрицательным:
[tex]\frac{x^2-7}{x+4}\gt 0,\qquad L=\log_{2}\frac{x^2-7}{x+4}\gt 0,\qquad -\log_{\frac{1}{3}}L\ge 0[/tex]
Последнее условие означает [tex]\log_{\frac{1}{3}}L\le 0=\log_{\frac{1}{3}}1[/tex]. Основание [tex]\frac{1}{3}\lt 1[/tex], поэтому этот логарифм убывает и условие равносильно [tex]L\ge 1[/tex], т.е.
[tex]\log_{2}\frac{x^2-7}{x+4}\ge 1=\log_2 2\iff\frac{x^2-7}{x+4}\ge 2[/tex]
Это неравенство уже обеспечивает и первые два условия. Решим его:
[tex]\frac{x^2-7}{x+4}-2\ge 0\iff\frac{x^2-2x-15}{x+4}\ge 0\iff\frac{(x-5)(x+3)}{x+4}\ge 0[/tex]
Методом интервалов (критические точки [tex]-4[/tex], [tex]-3[/tex], [tex]5[/tex], причём точка [tex]-4[/tex] исключена) находим область определения:
[tex]x\in\left(-4; -3\right]\cup\left[5; +\infty\right)[/tex]
Промежуток [tex]\left(-4; -3\right)[/tex] не содержит целых чисел, поэтому наименьшее целое число из области определения равно [tex]-3[/tex]. Проверка:
[tex]\frac{9-7}{-3+4}=2,\qquad \log_2 2=1,\qquad \log_{\frac{1}{3}}1=0,\qquad f(-3)=\sqrt{0}=0[/tex]

Решение:
Нужно, чтобы [tex]x\ge 0[/tex] (для внутреннего корня) и [tex]\sin \sqrt{x}\ge 0[/tex] (для внешнего корня). Положим [tex]t=\sqrt{x}\ge 0[/tex]. Неравенство [tex]\sin t\ge 0[/tex] выполняется при
[tex]t\in\left[2k\pi; (2k+1)\pi\right],\ k\in\mathbb{Z}[/tex]
При [tex]k\le -1[/tex] весь промежуток отрицателен (его правый конец [tex](2k+1)\pi\le -\pi\lt 0[/tex]), поэтому допустимых [tex]t[/tex] в нём нет; значит, [tex]k\in\left\{0; 1; 2; \ldots\right\}[/tex]. При [tex]t\ge 0[/tex] функция [tex]x=t^2[/tex] возрастает, поэтому
[tex]2k\pi\le\sqrt{x}\le(2k+1)\pi\iff 4k^2\pi^2\le x\le(2k+1)^2\pi^2[/tex]
Следовательно, область определения — объединение промежутков [tex]\left[4k^2\pi^2; (2k+1)^2\pi^2\right][/tex], [tex]k\in\left\{0; 1; 2; \ldots\right\}[/tex]:
[tex]\left[0; \pi^2\right]\cup\left[4\pi^2; 9\pi^2\right]\cup\left[16\pi^2; 25\pi^2\right]\cup\ldots[/tex]