Теория чисел: делимость и простые числа - задачи с решениями

Решение:
При [tex]n\ge 5[/tex] произведение [tex]n!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot \ldots\cdot n[/tex] содержит множители [tex]2[/tex] и [tex]5[/tex], поэтому делится на [tex]10[/tex] и оканчивается на [tex]0[/tex]. Значит, слагаемые от [tex]5![/tex] до [tex]2018![/tex] не влияют на последнюю цифру числа [tex]P[/tex], и она совпадает с последней цифрой суммы
[tex]1!+2!+3!+4!=1+2+6+24=33[/tex]
Следовательно, последняя цифра числа [tex]P[/tex] равна [tex]3[/tex].

Решение:
Последняя цифра произведения зависит только от последних цифр множителей, поэтому [tex]237^{127}[/tex] оканчивается на ту же цифру, что и [tex]7^{127}[/tex]. Первые степени числа [tex]7[/tex]:
[tex]7^1=7,\quad 7^2=49,\quad 7^3=343,\quad 7^4=2401[/tex]
Их последние цифры [tex]7[/tex], [tex]9[/tex], [tex]3[/tex], [tex]1[/tex], а дальше они повторяются с периодом [tex]4[/tex], так как при умножении числа, оканчивающегося на [tex]1[/tex], на [tex]7[/tex] снова получается число, оканчивающееся на [tex]7[/tex]. Так как [tex]127=4\cdot 31+3[/tex], то
[tex]7^{127}=\left(7^4\right)^{31}\cdot 7^3[/tex]
Множитель [tex]\left(7^4\right)^{31}[/tex] оканчивается на [tex]1[/tex], а [tex]7^3=343[/tex] — на [tex]3[/tex], поэтому [tex]7^{127}[/tex] оканчивается на [tex]3[/tex]. Последняя цифра числа [tex]237^{127}[/tex] равна [tex]3[/tex].

Решение:
Пусть искомое число лет равно [tex]k[/tex]. Сейчас возраст [tex]1[/tex] не является простым числом, поэтому [tex]k\ge 1[/tex]. Все нынешние возрасты нечётны. Если [tex]k[/tex] нечётно, то все шесть новых возрастов чётны, а [tex]3+k\ge 4[/tex] — чётное число, большее [tex]2[/tex], поэтому оно не простое. Значит, [tex]k[/tex] чётно.
При [tex]k=2[/tex] возрасты будут [tex]3; 5; 9; 11; 15; 17[/tex], но [tex]9=3\cdot 3[/tex] не является простым числом.
При [tex]k=4[/tex] возрасты будут [tex]5; 7; 11; 13; 17; 19[/tex], и все они простые.
Следовательно, наименьшее число лет равно [tex]4[/tex].

Решение:
Вынесем за скобки наименьшую степень числа [tex]3[/tex]:
[tex]3^{2016}+3^{2017}+3^{2019}=3^{2016}\left(1+3+3^{3}\right)=31\cdot 3^{2016}[/tex]
Так как [tex]31[/tex] — простое число, каждый делитель данного числа имеет вид [tex]3^{k}[/tex] или [tex]31\cdot 3^{k}[/tex], где [tex]0\le k\le 2016[/tex]. Двузначные делители вида [tex]3^{k}[/tex] — это [tex]27[/tex] и [tex]81[/tex]. Двузначные делители вида [tex]31\cdot 3^{k}[/tex] — это [tex]31[/tex] и [tex]93[/tex], поскольку уже [tex]31\cdot 9=279[/tex] — трёхзначное число.
Наибольший из них равен [tex]93[/tex].

Решение:
Страницы нумеруются с [tex]1[/tex], поэтому на лицевой стороне каждого листа стоит нечётный номер, а на обороте — следующий чётный. Вырванный блок начинается со страницы [tex]387[/tex] (нечётной, т.е. лицевой стороны листа) и заканчивается оборотом листа, поэтому номер последней вырванной страницы чётный и больше [tex]387[/tex].
Другие числа, записанные цифрами [tex]3[/tex], [tex]8[/tex] и [tex]7[/tex], — это [tex]378; 738; 783; 837; 873[/tex]. Число [tex]378[/tex] меньше [tex]387[/tex], а [tex]783[/tex], [tex]837[/tex], [tex]873[/tex] нечётны, поэтому последняя вырванная страница — [tex]738[/tex]. Пётр вырвал все страницы с [tex]387[/tex] по [tex]738[/tex] включительно, и их количество равно
[tex]738-387+1=352[/tex]

Решение:
Запишем число в виде [tex]a=2007q+99[/tex], где [tex]q\ge 0[/tex] — целое. Числа [tex]a[/tex] и [tex]99[/tex] нечётны, поэтому [tex]2007q=a-99[/tex] чётно; так как [tex]2007[/tex] нечётно, [tex]q[/tex] чётно, [tex]q=2s[/tex]. Тогда
[tex]a=4014s+99=18\cdot 223s+18\cdot 5+9=18\left(223s+5\right)+9[/tex]
Так как [tex]0\le 9\lt 18[/tex], остаток от деления [tex]a[/tex] на [tex]18[/tex] равен [tex]9[/tex].

Решение:
У числа из [tex]k[/tex] цифр сумма цифр не больше [tex]9k[/tex], а [tex]9\cdot 223=2007\lt 2015[/tex], поэтому в числе не менее [tex]224[/tex] цифр. Числа из [tex]224[/tex] цифр с суммой цифр [tex]2015[/tex] существуют (одно указано ниже), а любое число с большим количеством цифр больше, поэтому наименьшее такое число состоит ровно из [tex]224[/tex] цифр.
Из двух чисел с одинаковым количеством цифр меньше то, у которого первая цифра меньше. Сумма остальных [tex]223[/tex] цифр не больше [tex]2007[/tex], поэтому первая цифра не меньше [tex]2015-2007=8[/tex]. Первая цифра равна [tex]8[/tex], только если все остальные [tex]223[/tex] цифры равны [tex]9[/tex], что даёт ровно одно число:
[tex]8\underbrace{99\ldots 9}_{223}[/tex]
Его цифра единиц равна [tex]9[/tex].

Решение:
Предположим противное: каждая из десяти цифр [tex]0; 1; \ldots; 9[/tex] встречается не более [tex]10[/tex] раз. Тогда у числа [tex]A[/tex] не более [tex]10\cdot 10=100[/tex] цифр. Так как у [tex]A[/tex] ровно [tex]100[/tex] цифр, достигается равенство, т.е. каждая цифра встречается ровно [tex]10[/tex] раз. Тогда сумма цифр числа [tex]A[/tex] равна
[tex]10\cdot \left(0+1+2+\ldots+9\right)=10\cdot 45=450[/tex]
Эта сумма делится на [tex]3[/tex], поэтому по признаку делимости на [tex]3[/tex] число [tex]A[/tex] делится на [tex]3[/tex]. Но у числа [tex]A=2^{332}[/tex] нет простых делителей, кроме [tex]2[/tex], — противоречие. Следовательно, хотя бы одна цифра встречается не менее [tex]11[/tex] раз.

Решение:
Пусть [tex]p[/tex] — такое простое число. Так как [tex]p[/tex] — сумма двух простых чисел, [tex]p\ge 2+2=4[/tex], поэтому [tex]p[/tex] нечётно и [tex]p\ge 5[/tex]. Сумма двух простых чисел нечётна, только если одно из них — чётное простое число [tex]2[/tex]; значит, [tex]p=q+2[/tex], где [tex]q[/tex] простое, т.е. [tex]p-2[/tex] — простое число.
Из [tex]p=s-t[/tex], где [tex]s[/tex] и [tex]t[/tex] простые, получаем [tex]s=p+t\gt p\ge 5[/tex], поэтому [tex]s[/tex] нечётно; тогда [tex]t=s-p[/tex] чётно, т.е. [tex]t=2[/tex], и [tex]p+2=s[/tex] — простое число.
Итак, [tex]p-2[/tex], [tex]p[/tex] и [tex]p+2[/tex] — простые числа. Так как [tex]p-2\equiv p+1\pmod 3[/tex], эти три числа дают при делении на [tex]3[/tex] те же остатки, что и последовательные числа [tex]p[/tex], [tex]p+1[/tex], [tex]p+2[/tex], т.е. остатки [tex]0[/tex], [tex]1[/tex] и [tex]2[/tex]. Поэтому одно из них делится на [tex]3[/tex] и, будучи простым, равно [tex]3[/tex]. Так как [tex]p\ge 5[/tex], остаётся только [tex]p-2=3[/tex], т.е. [tex]p=5[/tex]. Проверка:
[tex]5=2+3,\quad 5=7-2[/tex]
Значит, [tex]5[/tex] — единственное такое простое число.

Решение:
Каждая дробь имеет вид [tex]\frac{k}{n+k+2}[/tex], где [tex]k=19; 20; \ldots; 91[/tex]. Любой общий делитель чисел [tex]k[/tex] и [tex]n+k+2[/tex] делит и их разность [tex]n+2[/tex], и наоборот, поэтому
[tex]\text{НОД}(k; n+k+2)=\text{НОД}(k; n+2)[/tex]
Значит, все дроби несократимы тогда и только тогда, когда [tex]n+2[/tex] взаимно просто с каждым из чисел [tex]19; 20; \ldots; 91[/tex].
Пусть [tex]p[/tex] — простой делитель числа [tex]n+2[/tex] (он существует, так как [tex]n+2\ge 3[/tex]). Если [tex]19\le p\le 91[/tex], то само [tex]p[/tex] — один из числителей. Если [tex]p\lt 19[/tex], то среди [tex]73[/tex] последовательных чисел [tex]19; 20; \ldots; 91[/tex] есть число, кратное [tex]p[/tex]. В обоих случаях некоторую дробь можно сократить на [tex]p[/tex].
Следовательно, все простые делители числа [tex]n+2[/tex] больше [tex]91[/tex], а наименьшее простое число, большее [tex]91[/tex], равно [tex]97[/tex]. Поэтому
[tex]n+2\ge 97\Rightarrow n\ge 95[/tex]
При [tex]n=95[/tex] получаем [tex]n+2=97[/tex] — простое число, не делящее ни одно из чисел [tex]19; 20; \ldots; 91[/tex], поэтому все дроби несократимы. Ответ: [tex]n=95[/tex].