Вещественный анализ - задачи с решениями

Решение:
Рассмотрим функцию [tex]g(x)=f(x)-x[/tex] на [tex][0; 1][/tex]; она непрерывна как разность непрерывных функций. Так как значения [tex]f[/tex] лежат в [tex][0; 1][/tex],
[tex]g(0)=f(0)\ge 0,\qquad g(1)=f(1)-1\le 0[/tex]
Если [tex]g(0)=0[/tex], то [tex]c=0[/tex] — неподвижная точка; если [tex]g(1)=0[/tex], то неподвижной точкой является [tex]c=1[/tex]. В противном случае [tex]g(0)\gt 0\gt g(1)[/tex], и по теореме Больцано-Коши о промежуточном значении непрерывная функция [tex]g[/tex] обращается в нуль в некоторой точке [tex]c\in(0; 1)[/tex]:
[tex]g(c)=0\iff f(c)=c[/tex]