Как решать задачи на пределы?

Эта страница — практическое руководство по нахождению пределов функций. Начинать всегда следует с подстановки. Далее объясняется, что делать, когда подстановка не даёт ответа. Рассматриваются односторонние пределы, неопределённости вида $0/0$ и $\infty/\infty,$ замечательные пределы, правило Лопиталя и другие виды неопределённостей. Каждый метод разобран на примерах с решениями, а в конце страницы есть задачи для самостоятельного решения с ответами.

Если вы только начинаете изучать пределы, прочитайте сначала уроки «Пределы (Интуитивное введение)» и «Пределы и методы вычисления».

На этой странице: Что такое предел · Свойства пределов · Односторонние пределы · Неопределённость 0/0 · Замечательные пределы · Пределы на бесконечности · Правило Лопиталя · Другие неопределённости · Итоги · Задачи

Что такое предел?

Предел функции в точке $a$ — это число, к которому приближаются значения функции, когда $x$ подходит всё ближе и ближе к $a.$ Записывают это так:

$$\lim_{x\to a}f(x)=L.$$

Эта запись читается: «предел $f(x)$ при $x,$ стремящемся к $a,$ равен $L$». Это значит, что значения $f(x)$ можно сделать сколь угодно близкими к $L,$ если брать $x$ достаточно близким к $a$ (но ${x\ne a}$).

Важны только значения функции вблизи точки $a,$ а не её значение в самой точке $a.$ На рисунке функция принимает некоторое значение $f(a)$ в точке $a,$ но вблизи $a$ её значения приближаются к $L,$ поэтому предел равен $L.$ Функция даже не обязана быть определена в точке $a.$

Предел может быть и бесконечным: запись ${\lim_{x\to a}f(x)=+\infty}$ (или $-\infty$) означает, что значения функции неограниченно возрастают (или неограниченно убывают). Кроме того, $x$ может стремиться не к числу, а к $+\infty$ или $-\infty.$ Наконец, предел может вообще не существовать, как мы увидим на примере односторонних пределов.

Свойства пределов

Если пределы ${\lim_{x\to a}f(x)=L}$ и ${\lim_{x\to a}g(x)=M}$ существуют (и являются числами), а $c$ — постоянная, то:

Свойство	Формула
Предел постоянной	${\lim_{x\to a}c=c}$
Предел тождественной функции	${\lim_{x\to a}x=a}$
Вынесение постоянного множителя	${\lim_{x\to a}[c\,f(x)]=c\,L}$
Предел суммы	${\lim_{x\to a}[f(x)+g(x)]}={L+M}$
Предел разности	${\lim_{x\to a}[f(x)-g(x)]}={L-M}$
Предел произведения	${\lim_{x\to a}[f(x)\,g(x)]=L\,M}$
Предел частного	${\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{L}{M}},$  если ${M\ne0}$
Предел степени	${\lim_{x\to a}[f(x)]^n=L^n},$  ${n=1,2,3,\ldots}$
Предел корня	${\lim_{x\to a}\sqrt[n]{f(x)}=\sqrt[n]{L}};$ при чётном $n$ нужно ${f(x)\ge0}$ вблизи $a$

Те же свойства верны и для односторонних пределов (при ${x\to a-0}$ и ${x\to a+0}$), а все свойства, кроме предела тождественной функции, — и при ${x\to\pm\infty}.$ При этом $L$ и $M$ должны быть числами, а для предела частного нужно ещё ${M\ne0}.$ Если эти условия не выполнены, используйте методы, описанные ниже.

Непосредственная подстановка

Из этих свойств следует, что предел многочлена в любой точке $a$ равен его значению в точке $a.$ То же верно для рациональной функции, знаменатель которой не равен $0$ в точке $a.$ Так же ведут себя функции $\sin x,$ $\cos x,$ $e^x,$ $\ln x$ и $\sqrt{x}$ в каждой точке внутри своей области определения (они непрерывны). Для всех таких функций

${\lim_{x\to a}f(x)=f(a)}\text{:}$ достаточно подставить ${x=a}.$

Пример 1. Найдите ${\lim_{x\to1}(4x^2-8x^5+x+12)}.$

Сначала найдём предел по свойствам, шаг за шагом:

${\lim_{x\to1}(4x^2-8x^5+x+12)}={\lim_{x\to1}4x^2-\lim_{x\to1}8x^5}+{\lim_{x\to1}x+\lim_{x\to1}12}$ предел суммы и разности

$={4\lim_{x\to1}x^2-8\lim_{x\to1}x^5}+{\lim_{x\to1}x+\lim_{x\to1}12}$ вынесение постоянного множителя

$={4\cdot1^2-8\cdot1^5+1+12}={9}$ предел степени, тождественной функции и постоянной

На практике промежуточные строки пропускают и сразу выполняют подстановку: ${4\cdot1^2-8\cdot1^5+1+12}={9}.$

Пример 2. Найдите пределы.

а) ${\lim_{x\to4}(6x^4+5x^3-4x+16)}={6\cdot4^4+5\cdot4^3}-{4\cdot4+16}={1536+320-16+16}={{1856};}$

б) ${\lim_{x\to2}(12x^5+2\sin x+15x-4)}={12\cdot2^5+2\sin2}+{15\cdot2-4}={410+2\sin2}\approx{411{,}82}$  (угол $2$ измеряется в радианах);

в) ${\lim_{x\to2}\frac{x^2+1}{x+3}}={\frac{2^2+1}{2+3}}={1},$  так как знаменатель не равен $0$ при ${x=2}.$

Виды пределов: односторонние и двусторонние

Различают три основных вида пределов в точке $a\text{:}$

• левосторонний предел (предел слева): $x$ стремится к $a$ слева (${x\lt a}$);
• правосторонний предел (предел справа): $x$ стремится к $a$ справа (${x\gt a}$);
• двусторонний предел: $x$ стремится к $a$ с обеих сторон.

1. Левосторонний предел

${\lim_{x\to a-0}f(x)=L}$ означает, что $f(x)$ стремится к $L,$ когда $x$ стремится к $a,$ принимая значения, меньшие $a.$ Запись $a-0$ лишь указывает сторону; она не означает, что из $a$ что-то вычитается.

2. Правосторонний предел

${\lim_{x\to a+0}f(x)=L}$ означает, что $f(x)$ стремится к $L,$ когда $x$ стремится к $a,$ принимая значения, большие $a.$ Запись $a+0$ тоже лишь указывает сторону.

3. Двусторонний предел

Обычный предел ${\lim_{x\to a}f(x)}$ — это двусторонний предел. Он существует только тогда, когда оба односторонних предела существуют и равны:

${\lim_{x\to a}f(x)=L}$  тогда и только тогда, когда  ${\lim_{x\to a-0}f(x)=L}$ и ${\lim_{x\to a+0}f(x)=L}.$

Для функций из предыдущего раздела оба односторонних предела равны $f(a),$ поэтому все три предела находятся подстановкой. Например, ${\lim_{x\to4-0}(6x^4+5x^3-4x+16)}={1856},$ как и двусторонний предел в примере 2а. Односторонние пределы важны там, где функция ведёт себя по-разному с двух сторон от точки $a\text{:}$ у кусочно заданных функций, у выражений с модулем и у дробей, знаменатель которых обращается в $0$ в точке $a.$

Пример 3. Найдите односторонние пределы и предел функции $f$ в точке ${x=1},$ если

$$f(x)=\begin{cases}x^2+1, & x\lt1,\\ 4-x, & x\ge1.\end{cases}$$

Слева от $1$ функция задаётся формулой ${x^2+1},$ а справа — формулой ${4-x}\text{:}$

${\lim_{x\to1-0}f(x)}={\lim_{x\to1-0}(x^2+1)}={{2},}$   ${\lim_{x\to1+0}f(x)}={\lim_{x\to1+0}(4-x)}={{3}.}$

Односторонние пределы различны, поэтому ${\lim_{x\to1}f(x)}$ не существует: при ${x=1}$ график делает скачок. Значение ${f(1)=3}$ этого не меняет. В любой другой точке предел находится подстановкой в ту формулу, которая задаёт функцию вблизи этой точки, например ${\lim_{x\to3}f(x)=4-3=1}.$

Выражения с модулем

Пример 4. Найдите ${\lim_{x\to+0}\frac{\lvert\sin x\rvert}{\sin x}}$ и ${\lim_{x\to-0}\frac{\lvert\sin x\rvert}{\sin x}}.$

При ${0\lt x\lt\pi}$ имеем ${\sin x\gt0},$ поэтому ${\lvert\sin x\rvert=\sin x}$ и дробь равна $1.$ При ${-\pi\lt x\lt0}$ имеем ${\sin x\lt0},$ поэтому ${\lvert\sin x\rvert=-\sin x}$ и дробь равна $-1.$ Следовательно,

${\lim_{x\to+0}\frac{\lvert\sin x\rvert}{\sin x}=1},$   ${\lim_{x\to-0}\frac{\lvert\sin x\rvert}{\sin x}=-1},$

а двусторонний предел в точке $0$ не существует.

Если есть модуль, найдите, где выражение под знаком модуля меняет знак, и раскройте модуль отдельно с каждой стороны от этой точки.

Отличное от нуля число, делённое на нуль

Если подстановка даёт ${\frac{c}{0}},$ где ${c\ne0},$ то модуль дроби неограниченно возрастает, а односторонние пределы равны $+\infty$ или $-\infty.$ Что именно, определяет знак дроби с каждой стороны от $a$ (если знаменатель — многочлен, то вблизи $a$ с каждой стороны знак дроби не меняется).

Пример 5. Найдите ${\lim_{x\to3-0}\frac{x+2}{x-3}},$ ${\lim_{x\to3+0}\frac{x+2}{x-3}}$ и ${\lim_{x\to3}\frac{x+2}{(x-3)^2}}.$

Числитель стремится к $5,$ а знаменатели стремятся к $0.$ При $x,$ немного меньших $3,$ разность ${x-3}$ — малое отрицательное число, а при $x,$ немного больших $3,$ — малое положительное:

${\lim_{x\to3-0}\frac{x+2}{x-3}=-\infty},$   ${\lim_{x\to3+0}\frac{x+2}{x-3}=+\infty}.$

Квадрат ${(x-3)^2}$ положителен с обеих сторон, поэтому ${\lim_{x\to3}\frac{x+2}{(x-3)^2}=+\infty}.$

Неопределённость вида $0/0\text{:}$ сначала упростите

Если подстановка даёт ${\frac{0}{0}},$ то выражение не определено в точке $a,$ но предел при этом может существовать. Запись ${\frac{0}{0}}$ называют неопределённостью: она ничего не говорит о пределе, а лишь показывает, что решение нужно продолжить. Преобразуйте выражение так, чтобы подстановка стала возможной. Множители, равные $0$ в точке $a,$ можно сокращать, потому что при нахождении предела используются только значения ${x\ne a}.$

Разложение на множители и сокращение

Пример 6. Найдите ${\lim_{x\to2}\frac{4x^2-8x}{4x-8}}.$

Подстановка даёт ${\frac{16-16}{8-8}=\frac{0}{0}}.$ Оба многочлена содержат множитель ${x-2}\text{:}$

${\lim_{x\to2}\frac{4x^2-8x}{4x-8}}={\lim_{x\to2}\frac{4x(x-2)}{4(x-2)}}={\lim_{x\to2}x}={{2}.}$

Пример 7. Найдите ${\lim_{x\to-1}\frac{x^3+1}{x^2-1}}.$

${\lim_{x\to-1}\frac{x^3+1}{x^2-1}}={\lim_{x\to-1}\frac{(x+1)(x^2-x+1)}{(x+1)(x-1)}}={\lim_{x\to-1}\frac{x^2-x+1}{x-1}}={\frac{3}{-2}}={{-\frac{3}{2}}.}$

Если оба многочлена равны $0$ при ${x=a},$ то оба делятся на ${x-a},$ поэтому этот множитель всегда можно сократить (частные быстро находятся по схеме Горнера). Если снова получается ${\frac{0}{0}},$ сократите ещё раз.

Умножение на сопряжённое выражение

Пример 8. Найдите ${\lim_{x\to0}\frac{\sqrt{x+4}-2}{x}}.$

Снова неопределённость ${\frac{0}{0}}.$ Умножим числитель и знаменатель на сопряжённое выражение ${\sqrt{x+4}+2}.$ Так как ${(\sqrt{x+4}-2)(\sqrt{x+4}+2)}={x+4-4}={{x},}$ получаем

${\lim_{x\to0}\frac{\sqrt{x+4}-2}{x}}={\lim_{x\to0}\frac{x}{x(\sqrt{x+4}+2)}}={\lim_{x\to0}\frac{1}{\sqrt{x+4}+2}}={{\frac{1}{4}}.}$

Замечательные пределы

Некоторые пределы нельзя найти одними алгебраическими преобразованиями: в первых пяти из приведённых ниже пределов неопределённость вида ${\frac{0}{0}},$ в последнем — вида $1^\infty.$ Их доказывают один раз, а затем используют как готовые результаты (углы измеряются в радианах). Первый и последний пределы таблицы называют первым и вторым замечательными пределами, остальные — их следствиями:

${\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1}$

${\lim_{x\to0}\frac{\operatorname{tg}x}{x}=1}$

${\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac{1}{2}}$

${\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}=1}$

${\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+x)}{x}=1}$

${\lim_{x\to0}(1+x)^{1/x}=e}$

Функция ${\frac{\sin x}{x}}$ не определена в точке $0,$ поэтому на её графике выколота точка $(0;\,1)\text{:}$ предел функции в точке $0$ равен $1.$ В каждой формуле таблицы $x$ можно заменить (во всех местах, где он встречается) любым выражением, которое стремится к $0$ (и не равно $0$ вблизи рассматриваемой точки). Например, ${\lim_{x\to0}\frac{\sin5x}{5x}=1},$ так как ${u=5x}$ стремится к $0$ вместе с $x.$

Пример 9. Найдите ${\lim_{x\to0}\frac{\sin5x}{2x}}.$

${\lim_{x\to0}\frac{\sin5x}{2x}}={\lim_{x\to0}\left(\frac{5}{2}\cdot\frac{\sin5x}{5x}\right)}={\frac{5}{2}\cdot1}={{\frac{5}{2}}.}$

Пример 10. Найдите ${\lim_{x\to0}\frac{e^{3x}-1}{\sin x}}.$

${\lim_{x\to0}\frac{e^{3x}-1}{\sin x}}={\lim_{x\to0}\left(3\cdot\frac{e^{3x}-1}{3x}\cdot\frac{x}{\sin x}\right)}={3\cdot1\cdot1}={{3}.}$

Пределы на бесконечности

При ${x\to+\infty}$ или ${x\to-\infty}$ многочлен ведёт себя как его член наивысшей степени (старший член). Для частного многочленов подстановка даёт ${\frac{\infty}{\infty}}$ — ещё один вид неопределённости. Разделите числитель и знаменатель на старшую степень $x$ в знаменателе.

Пример 11. Найдите ${\lim_{x\to+\infty}\frac{5x^3-2x}{1-4x^3}}.$

${\lim_{x\to+\infty}\frac{5x^3-2x}{1-4x^3}}={\lim_{x\to+\infty}\frac{5-2/x^2}{1/x^3-4}}={\frac{5-0}{0-4}}={{-\frac{5}{4}}.}$

Пример 12. Найдите ${\lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt{x^2+3x}-x\right)}.$

Здесь подстановка даёт ${\infty-\infty}.$ Умножим и разделим на сопряжённое выражение ${\sqrt{x^2+3x}+x},$ а затем разделим числитель и знаменатель на $x$ (при ${x\gt0}$ имеем ${\sqrt{x^2+3x}=x\sqrt{1+3/x}}$):

${\sqrt{x^2+3x}-x}={\frac{(x^2+3x)-x^2}{\sqrt{x^2+3x}+x}}={\frac{3x}{\sqrt{x^2+3x}+x}}={{\frac{3}{\sqrt{1+3/x}+1}}.}$

При ${x\to+\infty}$ это выражение стремится к ${\frac{3}{1+1}=\frac{3}{2}}.$ Значит, предел равен ${\frac{3}{2}},$ хотя запись «${\infty-\infty}$» могла бы навести на мысль, что он равен $0.$ Другие примеры — в разделе «Пределы на бесконечности».

Как находить пределы по правилу Лопиталя

Правило Лопиталя позволяет заменить предел с неопределённостью вида ${\frac{0}{0}}$ или ${\frac{\infty}{\infty}}$ пределом отношения производных. Чтобы им пользоваться, нужно уметь находить производные.

Числитель и знаменатель дифференцируют по отдельности. Это не правило дифференцирования частного: саму дробь ${\frac{f(x)}{g(x)}}$ не дифференцируют.

Почему это верно в простейшем случае: если ${f(a)=g(a)=0},$ $f'$ и $g'$ непрерывны в точке $a$ и ${g'(a)\ne0},$ то при ${x\ne a}$

${\frac{f(x)}{g(x)}}={\frac{f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)}}={{\frac{\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}}{\dfrac{g(x)-g(a)}{x-a}}},}$

а оба разностных отношения стремятся соответственно к $f'(a)$ и $g'(a).$ Значит, предел равен ${\frac{f'(a)}{g'(a)}},$ а это и есть ${\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}},$ так как $f'$ и $g'$ непрерывны.

Пример 13. Найдите ${\lim_{x\to2}\frac{4x^2-8x}{4x-8}}$ по правилу Лопиталя.

При ${x=2}$ и ${4x^2-8x},$ и ${4x-8}$ равны $0,$ поэтому имеем неопределённость вида ${\frac{0}{0}}.$ Найдём производные: ${(4x^2-8x)'=8x-8}$ и ${(4x-8)'=4}.$ Тогда

${\lim_{x\to2}\frac{4x^2-8x}{4x-8}}={\lim_{x\to2}\frac{8x-8}{4}}={\frac{16-8}{4}}={{2},}$

тот же ответ, что и при разложении на множители в примере 6.

Пример 14 (правило применяется дважды). Найдите ${\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^2}}.$

${\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^2}}={\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{2x}}={\lim_{x\to0}\frac{\cos x}{2}}={{\frac{1}{2}}.}$

После первого шага снова получается неопределённость вида ${\frac{0}{0}},$ поэтому правило применяется ещё раз. (На втором шаге можно было воспользоваться и первым замечательным пределом ${\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1}.$)

Пример 15 (неопределённость вида ${\frac{\infty}{\infty}}$). Найдите пределы.

а) ${\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{x}}={\lim_{x\to+\infty}\frac{1/x}{1}}={\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x}}={{0};}$

б) ${\lim_{x\to+\infty}\frac{x^2}{e^x}}={\lim_{x\to+\infty}\frac{2x}{e^x}}={\lim_{x\to+\infty}\frac{2}{e^x}}={{0}.}$

Применив правило $n$ раз, получаем ${\lim_{x\to+\infty}\frac{x^n}{e^x}=0}$ при любом $n.$ Значит, $e^x$ растёт быстрее любой степени $x,$ а $\ln x$ (см. пункт а) растёт медленнее, чем $x.$

Другие виды неопределённостей

Кроме ${\frac{0}{0}}$ и ${\frac{\infty}{\infty}},$ неопределённостями являются также ${0\cdot\infty},$ ${\infty-\infty},$ $1^\infty,$ $0^0$ и $\infty^0.$ Запишите выражение в виде дроби, а затем упростите его или примените правило Лопиталя:

Вид	Как преобразовать
${0\cdot\infty}$	${f\cdot g=\frac{f}{1/g}}$  или  ${\frac{g}{1/f}}$
${\infty-\infty}$	общий знаменатель или сопряжённое выражение
$1^\infty,$ $0^0,$ $\infty^0$	${f^g=e^{g\ln f}}$ (при ${f\gt0}$): найдите предел $K$ выражения ${g\ln f};$ ответ: $e^K$

Пример 16 (${0\cdot\infty}$). Найдите ${\lim_{x\to+0}x\ln x}.$

При ${x\to+0}$ имеем ${\ln x\to-\infty}.$ Запишем произведение в виде дроби с неопределённостью вида ${\frac{\infty}{\infty}}$ (здесь ${\frac{-\infty}{+\infty}}$):

${\lim_{x\to+0}x\ln x}={\lim_{x\to+0}\frac{\ln x}{1/x}}={\lim_{x\to+0}\frac{1/x}{-1/x^2}}={\lim_{x\to+0}(-x)}={{0}.}$

Пример 17 (${\infty-\infty}$). Найдите ${\lim_{x\to0}\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{e^x-1}\right)}.$

Приведём дроби к общему знаменателю. Получается неопределённость вида ${\frac{0}{0}},$ к которой правило Лопиталя применяется дважды:

${\lim_{x\to0}\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{e^x-1}\right)}={\lim_{x\to0}\frac{e^x-1-x}{x(e^x-1)}}={\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{e^x-1+xe^x}}={\lim_{x\to0}\frac{e^x}{2e^x+xe^x}}={{\frac{1}{2}}.}$

Пример 18 ($1^\infty$). Найдите ${\lim_{x\to+\infty}\left(1+\frac{3}{x}\right)^x}.$

Основание стремится к $1,$ а показатель степени неограниченно возрастает. Запишем ${\left(1+\frac{3}{x}\right)^x=e^{x\ln(1+3/x)}}$ и найдём предел показателя. В показателе неопределённость вида ${0\cdot\infty}.$ Если записать показатель в виде дроби ${\frac{\ln(1+3/x)}{1/x}},$ получится неопределённость вида ${\frac{0}{0}}.$

Производная числителя ${\ln(1+3/x)}$ равна ${\frac{-3/x^2}{1+3/x}=-\frac{3}{x^2+3x}},$ а производная знаменателя ${1/x}$ равна ${-1/x^2}.$ Поэтому

${\lim_{x\to+\infty}x\ln\left(1+\frac{3}{x}\right)}={\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln(1+3/x)}{1/x}}={\lim_{x\to+\infty}\frac{-3/(x^2+3x)}{-1/x^2}}={\lim_{x\to+\infty}\frac{3x^2}{x^2+3x}}={\lim_{x\to+\infty}\frac{3x}{x+3}}={{3}.}$

Показатель стремится к $3,$ поэтому ${\lim_{x\to+\infty}\left(1+\frac{3}{x}\right)^x=e^3}.$

Пример 19 ($0^0$). Найдите ${\lim_{x\to+0}x^x}.$

${x^x=e^{x\ln x}},$ а ${x\ln x\to0}$ (см. пример 16). Значит, предел равен ${e^0=1}.$

Итоги: как решать задачу на предел

Подставьте ${x=a}$ (при ${x\to\pm\infty}$ посмотрите на старшие члены) и действуйте в зависимости от результата:

Получилось	Что делать
число, и с обеих сторон от $a$ одна и та же формула	Это и есть предел (многочлены, рациональные функции, корни, $\sin x,$ $\cos x,$ $e^x,$ $\ln x$ внутри области определения).
кусочно заданная функция или модуль: с двух сторон от $a$ разные формулы	Найдите левосторонний и правосторонний пределы; предел существует, только если они равны.
${\frac{c}{0}},$ ${c\ne0}$	Односторонние пределы бесконечны: $+\infty$ или $-\infty$ в зависимости от знака с каждой стороны.
${\frac{0}{0}}$	Разложите на множители и сократите, умножьте на сопряжённое выражение, примените замечательный предел или правило Лопиталя.
${\frac{\infty}{\infty}}$	Разделите на старшую степень $x$ или примените правило Лопиталя.
${0\cdot\infty},$ ${\infty-\infty}$	Приведите к одной дроби.
$1^\infty,$ $0^0,$ $\infty^0$	Используйте ${f^g=e^{g\ln f}}.$

Задачи для самостоятельного решения

1. Найдите ${\lim_{x\to2}(3x^3-x+5)}.$

Ответ

Подстановка: ${3\cdot2^3-2+5}={24-2+5}={{27}.}$

2. Пусть ${f(x)=2x+1}$ при ${x\lt1}$ и ${f(x)=x^2+3}$ при ${x\ge1}.$ Найдите ${\lim_{x\to1-0}f(x)}$ и ${\lim_{x\to1+0}f(x)}.$ Существует ли ${\lim_{x\to1}f(x)}?$

Ответ

${\lim_{x\to1-0}(2x+1)=3}$ и ${\lim_{x\to1+0}(x^2+3)=4}.$ Они различны, поэтому предел в точке $1$ не существует.

3. Найдите ${\lim_{x\to-2}\frac{x^2-4}{x^2+5x+6}}.$

Ответ

Подстановка даёт ${\frac{0}{0}}.$ Разложим на множители: ${\frac{(x-2)(x+2)}{(x+2)(x+3)}=\frac{x-2}{x+3}},$ поэтому предел равен ${\frac{-4}{1}=-4}.$

4. Найдите ${\lim_{x\to9}\frac{\sqrt{x}-3}{x-9}}.$

Ответ

${x-9=(\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}+3)},$ поэтому дробь равна ${\frac{1}{\sqrt{x}+3}},$ а предел равен ${\frac{1}{6}}.$

5. Найдите ${\lim_{x\to0}\frac{\sin3x}{\sin7x}}.$

Ответ

${\frac{\sin3x}{\sin7x}}={\frac{3}{7}\cdot\frac{\sin3x}{3x}\cdot\frac{7x}{\sin7x}},$ поэтому предел равен ${\frac{3}{7}}.$

6. Найдите ${\lim_{x\to0}\frac{x-\sin x}{x^3}}.$

Ответ

Трижды применим правило Лопиталя: ${\lim_{x\to0}\frac{x-\sin x}{x^3}}={\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{3x^2}}={\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{6x}}={\lim_{x\to0}\frac{\cos x}{6}}={{\frac{1}{6}}.}$

7. Найдите ${\lim_{x\to+\infty}\frac{(\ln x)^2}{x}}.$

Ответ

Неопределённость вида ${\frac{\infty}{\infty}};$ дважды применим правило Лопиталя: ${\lim_{x\to+\infty}\frac{(\ln x)^2}{x}}={\lim_{x\to+\infty}\frac{2\ln x}{x}}={\lim_{x\to+\infty}\frac{2}{x}}={{0}.}$

8. Найдите ${\lim_{x\to+0}x^2\ln x}.$

Ответ

${x^2\ln x=\frac{\ln x}{1/x^2}}$ (неопределённость вида ${\frac{\infty}{\infty}}$), поэтому ${\lim_{x\to+0}\frac{\ln x}{1/x^2}}={\lim_{x\to+0}\frac{1/x}{-2/x^3}}={\lim_{x\to+0}\left(-\frac{x^2}{2}\right)}={{0}.}$

9. Найдите ${\lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt{x^2+x}-x\right)}.$

Ответ

Умножим и разделим на сопряжённое выражение: ${\sqrt{x^2+x}-x}={\frac{x}{\sqrt{x^2+x}+x}}={{\frac{1}{\sqrt{1+1/x}+1}},}$ а это выражение стремится к ${\frac{1}{2}}.$

10. Найдите ${\lim_{x\to0}(1+2x)^{1/x}}.$

Ответ

${(1+2x)^{1/x}=e^{\ln(1+2x)/x}}$ и ${\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+2x)}{x}}={\lim_{x\to0}\frac{2}{1+2x}}={2}$ (по правилу Лопиталя), поэтому предел равен $e^2.$

См. также: Пределы (Интуитивное введение), Пределы и методы вычисления, Пределы последовательностей, Свойства непрерывных функций и калькулятор первой производной.