Вещественный анализ - очень сложные задачи с решениями

Решение:
Положим [tex]F(x)=\int_x^b f(t)\,dt[/tex] и [tex]G(x)=\int_x^b g(t)\,dt[/tex]. Так как [tex]f[/tex] и [tex]g[/tex] дифференцируемы, они непрерывны, поэтому по основной теореме анализа [tex]F[/tex] и [tex]G[/tex] дифференцируемы на [tex][a; b][/tex] и [tex]F'=-f[/tex], [tex]G'=-g[/tex]. Кроме того, [tex]F(b)=G(b)=0[/tex], а по условию [tex]F(a)=0[/tex].
Шаг 1. Функция [tex]P=FG[/tex] дифференцируема и [tex]P(a)=P(b)=0[/tex], поэтому по теореме Ролля существует [tex]c_1\in(a; b)[/tex], для которого [tex]P'(c_1)=0[/tex]. Так как
[tex]P'=F'G+FG'=-(fG+gF)[/tex]
функция [tex]H=fG+gF[/tex] удовлетворяет условию [tex]H(c_1)=0[/tex].
Шаг 2. [tex]H[/tex] дифференцируема на [tex][a; b][/tex] как сумма произведений дифференцируемых функций, и [tex]H(b)=f(b)G(b)+g(b)F(b)=0[/tex]. Теорема Ролля на [tex][c_1; b][/tex] даёт точку [tex]c\in(c_1; b)\subset(a; b)[/tex], в которой [tex]H'(c)=0[/tex]. Но
[tex]H'=f'G+fG'+g'F+gF'=f'G-fg+g'F-gf=f'G+g'F-2fg[/tex]
поэтому [tex]H'(c)=0[/tex] и есть требуемое равенство:
[tex]f'(c)\int_c^b g(x)\,dx+g'(c)\int_c^b f(x)\,dx=2f(c)g(c)[/tex]
Заметим, что никакого условия на [tex]\int_a^b g(x)\,dx[/tex] не требуется.

Решение:
Выберем [tex]R\gt 0[/tex] так, что [tex]H\subset[-R; R][/tex], и положим [tex]\varphi(t)=m\left((H+t)\setminus H\right)[/tex]. Все множества ниже получаются из [tex]H[/tex] сдвигами, разностями и объединениями, поэтому они измеримы, а мера Лебега инвариантна относительно сдвигов. Зафиксируем [tex]t\ne 0[/tex] и пусть [tex]k[/tex] — наименьшее натуральное число, для которого [tex]k|t|\gt 2R[/tex]. Тогда [tex](k-1)|t|\le 2R[/tex], т.е.
[tex]k\le\frac{2R}{|t|}+1[/tex]
Множество [tex]H+kt\subset[-R+kt; R+kt][/tex] не пересекается с [tex][-R; R][/tex] (если [tex]t\gt 0[/tex], то [tex]-R+kt\gt R[/tex]; если [tex]t\lt 0[/tex], то [tex]R+kt\lt -R[/tex]). Значит, [tex](H+kt)\setminus H=H+kt[/tex] и
[tex]m\left((H+kt)\setminus H\right)=m(H+kt)=m(H)[/tex]
С другой стороны,
[tex](H+kt)\setminus H\subset\bigcup_{i=1}^{k}\big((H+it)\setminus(H+(i-1)t)\big)[/tex]
Действительно, если [tex]x\in H+kt[/tex] и [tex]x\notin H[/tex], пусть [tex]i[/tex] — наименьший индекс из [tex]\{0; 1; \ldots; k\}[/tex], для которого [tex]x\in H+it[/tex]; тогда [tex]i\ge 1[/tex] и [tex]x\in(H+it)\setminus(H+(i-1)t)[/tex]. Каждое из этих множеств является сдвигом: [tex](H+it)\setminus(H+(i-1)t)=\big((H+t)\setminus H\big)+(i-1)t[/tex], поэтому его мера равна [tex]\varphi(t)[/tex]. По полуаддитивности меры
[tex]m(H)\le k\,\varphi(t)\le\left(\frac{2R}{|t|}+1\right)\varphi(t)\Rightarrow\frac{\varphi(t)}{|t|}\ge\frac{m(H)}{2R+|t|}[/tex]
для всех [tex]t\ne 0[/tex]. Переходя к пределу при [tex]t\to 0[/tex], получаем
[tex]\liminf_{t\to 0}\frac{m\left((H+t)\setminus H\right)}{|t|}\ge\frac{m(H)}{2R}\gt 0[/tex]