Системы линейных уравнений и ранг матрицы - задачи с решениями

Решение:
Обозначим строки матрицы [tex]A[/tex] через [tex]R_1, R_2, R_3, R_4[/tex]. Последние две строки — это сумма и разность первых двух:
[tex]R_1+R_2=\left(3; 2; 0; -2\right)=R_3,\qquad R_1-R_2=\left(1; 4; -2; 0\right)=R_4[/tex]
Элементарные преобразования строк [tex]R_3-R_1-R_2[/tex] и [tex]R_4-R_1+R_2[/tex] не меняют ранг и превращают последние две строки в нулевые:
[tex]A\sim\begin{bmatrix} 2 & 3 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}[/tex]
Каждый минор порядка [tex]3[/tex] или [tex]4[/tex] этой матрицы содержит нулевую строку и равен нулю, поэтому ранг не больше [tex]2[/tex]. С другой стороны, есть ненулевой минор порядка [tex]2[/tex]:
[tex]\begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 1 & -1 \end{vmatrix}=-2-3=-5\ne 0\ \Rightarrow\ \operatorname{rank}A=2[/tex]

Решение:
Определитель системы, разложенный по первой строке, равен
[tex]\Delta=\begin{vmatrix} 2 & -1 & -1 \\ 3 & 4 & -2 \\ 3 & -2 & 4 \end{vmatrix}=2(16-4)+(12+6)-(-6-12)=24+18+18=60[/tex]
Так как [tex]\Delta\ne 0[/tex], формулы Крамера применимы и решение единственно. Заменяя поочерёдно столбец каждого неизвестного столбцом свободных членов, получаем
[tex]\Delta_1=\begin{vmatrix} 4 & -1 & -1 \\ 11 & 4 & -2 \\ 11 & -2 & 4 \end{vmatrix}=4(16-4)+(44+22)-(-22-44)=48+66+66=180[/tex]
[tex]\Delta_2=\begin{vmatrix} 2 & 4 & -1 \\ 3 & 11 & -2 \\ 3 & 11 & 4 \end{vmatrix}=2(44+22)-4(12+6)-(33-33)=132-72=60[/tex]
[tex]\Delta_3=\begin{vmatrix} 2 & -1 & 4 \\ 3 & 4 & 11 \\ 3 & -2 & 11 \end{vmatrix}=2(44+22)+(33-33)+4(-6-12)=132-72=60[/tex]
Следовательно,
[tex]x_1=\frac{\Delta_1}{\Delta}=\frac{180}{60}=3,\qquad x_2=\frac{\Delta_2}{\Delta}=\frac{60}{60}=1,\qquad x_3=\frac{\Delta_3}{\Delta}=\frac{60}{60}=1[/tex]
Проверка: [tex]6-1-1=4[/tex], [tex]9+4-2=11[/tex], [tex]9-2+4=11[/tex].

Решение:
По теореме Кронекера-Капелли сравним ранг матрицы коэффициентов [tex]A[/tex] с рангом расширенной матрицы [tex]\bar{A}[/tex]. Сначала
[tex]\det A=\begin{vmatrix}4&2&3\\2&8&-1\\9&1&8\end{vmatrix}=4(64+1)-2(16+9)+3(2-72)=260-50-210=0[/tex]
а первые две строки [tex]A[/tex] не пропорциональны, поэтому [tex]\operatorname{rank}A=2[/tex]. Действительно, строки [tex]A[/tex] удовлетворяют соотношению
[tex]5\left(4; 2; 3\right)-\left(2; 8; -1\right)-2\left(9; 1; 8\right)=\left(0; 0; 0\right)[/tex]
Обозначим уравнения через [tex]E_1, E_2, E_3[/tex] и составим ту же комбинацию [tex]5E_1-E_2-2E_3[/tex]. Её левая часть обращается в нуль, а правая равна
[tex]5\cdot (-2)-8-2\cdot 0=-18[/tex]
Получаем противоречие [tex]0=-18[/tex]. Следовательно, [tex]\operatorname{rank}\bar{A}=3\ne\operatorname{rank}A=2[/tex], система несовместна и не имеет решений.

Решение:
Векторы линейно зависимы тогда и только тогда, когда матрица со строками [tex]\vec{a}_1, \vec{a}_2, \vec{a}_3[/tex] имеет ранг меньше [tex]3[/tex], т.е. когда её определитель равен нулю. Разложим по первой строке:
[tex]\begin{vmatrix}1&2&1\\-1&3&1\\-1&13&5\end{vmatrix}=1\cdot (15-13)-2\cdot (-5+1)+1\cdot (-13+3)=2+8-10=0[/tex]
Так как [tex]\vec{a}_1[/tex] и [tex]\vec{a}_2[/tex] не коллинеарны, ранг равен [tex]2[/tex], значит, [tex]\vec{a}_3[/tex] — линейная комбинация [tex]\vec{a}_1[/tex] и [tex]\vec{a}_2[/tex]. Пусть [tex]\vec{a}_3=x\vec{a}_1+y\vec{a}_2[/tex]. Сравнивая координаты, получаем
[tex]\begin{cases} x-y=-1 \\ 2x+3y=13 \\ x+y=5 \end{cases}[/tex]
Из первого и третьего уравнений [tex]x=2[/tex], [tex]y=3[/tex], причём второе тоже выполняется: [tex]2\cdot 2+3\cdot 3=13[/tex]. Следовательно,
[tex]2\left(1; 2; 1\right)+3\left(-1; 3; 1\right)=\left(-1; 13; 5\right)\ \Rightarrow\ \vec{a}_3=2\vec{a}_1+3\vec{a}_2[/tex]

Решение:
Применим метод Гаусса к матрице коэффициентов: [tex]R_2-3R_1[/tex] и [tex]R_3-4R_1[/tex], затем разделим новые вторую и третью строки на [tex]7[/tex] и [tex]9[/tex] и вычтем их:
[tex]\begin{bmatrix} 1 & -4 & -2 \\ 3 & -5 & 1 \\ 4 & -7 & 1 \end{bmatrix}\sim\begin{bmatrix} 1 & -4 & -2 \\ 0 & 7 & 7 \\ 0 & 9 & 9 \end{bmatrix}\sim\begin{bmatrix} 1 & -4 & -2 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}[/tex]
Ранг равен [tex]2[/tex], что меньше числа неизвестных [tex]3[/tex], поэтому система имеет ненулевые решения, зависящие от [tex]3-2=1[/tex] параметра. Положим [tex]x_3=t[/tex]. Из второй строки, а затем из первого уравнения
[tex]x_2+x_3=0\ \Rightarrow\ x_2=-t,\qquad x_1=4x_2+2x_3=-4t+2t=-2t[/tex]
Проверка в третьем уравнении: [tex]4(-2t)-7(-t)+t=-8t+7t+t=0[/tex]. Следовательно, решения имеют вид
[tex]\left(x_1; x_2; x_3\right)=\left(-2t; -t; t\right),\ t\in\mathbb{R}[/tex]

Решение:
Обозначим уравнения через [tex]E_1, E_2, E_3, E_4[/tex] и сравним их вместе с правыми частями. Третье уравнение — сумма первых двух, а четвёртое — сумма второго и третьего:
[tex]E_1+E_2:\ 3x-13y-z=-1\ \left(=E_3\right),\qquad E_2+E_3:\ 5x-22y-5z=1\ \left(=E_4\right)[/tex]
Значит, последние два уравнения можно отбросить. Первые два уравнения не пропорциональны, поэтому [tex]\operatorname{rank}A=\operatorname{rank}\bar{A}=2\lt 3[/tex], и по теореме Кронекера-Капелли система совместна и имеет бесконечно много решений, зависящих от [tex]3-2=1[/tex] свободного неизвестного. Положим [tex]z=t[/tex]. Из первого уравнения [tex]x=4y-3t-3[/tex]; подставляя во второе, получаем
[tex]2(4y-3t-3)-9y-4t=2\ \Rightarrow\ -y-10t-6=2\ \Rightarrow\ y=-8-10t[/tex]
[tex]x=4(-8-10t)-3t-3=-35-43t[/tex]
Проверка:
[tex]x-4y+3z=-35-43t+32+40t+3t=-3,\qquad 2x-9y-4z=-70-86t+72+90t-4t=2[/tex]
Следовательно, решения имеют вид
[tex]\left(x; y; z\right)=\left(-35-43t; -8-10t; t\right),\ t\in\mathbb{R}[/tex]

Решение:
Ранг системы векторов равен рангу матрицы, строки которой — координаты векторов, а элементарные преобразования строк его не меняют. С помощью [tex]R_2-2R_1[/tex], [tex]R_3+R_1[/tex], [tex]R_4+2R_1[/tex], [tex]R_5-3R_1[/tex] получаем
[tex]\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & -4 \\ 2 & 3 & -4 & 1 \\ -1 & -9 & 19 & -9 \\ -2 & 4 & -18 & 12 \\ 3 & -4 & 1 & 2 \end{bmatrix}\sim\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & -4 \\ 0 & -1 & -10 & 9 \\ 0 & -7 & 22 & -13 \\ 0 & 8 & -12 & 4 \\ 0 & -10 & -8 & 14 \end{bmatrix}[/tex]
Затем [tex]R_3-7R_2[/tex], [tex]R_4+8R_2[/tex], [tex]R_5-10R_2[/tex] и, наконец, [tex]R_4+R_3[/tex], [tex]R_5-R_3[/tex]:
[tex]\sim\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & -4 \\ 0 & -1 & -10 & 9 \\ 0 & 0 & 92 & -76 \\ 0 & 0 & -92 & 76 \\ 0 & 0 & 92 & -76 \end{bmatrix}\sim\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & -4 \\ 0 & -1 & -10 & 9 \\ 0 & 0 & 92 & -76 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}[/tex]
Ступенчатый вид содержит три ненулевые строки: каждый минор порядка [tex]4[/tex] содержит нулевую строку и равен нулю, а
[tex]\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & -1 & -10 \\ 0 & 0 & 92 \end{vmatrix}=1\cdot (-1)\cdot 92=-92\ne 0[/tex]
Следовательно, ранг системы равен [tex]3[/tex]. Действительно, [tex]d=-(a+b+c)[/tex] и [tex]e=-2a+3b+c[/tex], а [tex]a, b, c[/tex] линейно независимы.