Уравнения и неравенства с параметром - задачи с решениями

Решение:
Уравнение является квадратным относительно [tex]x[/tex] (старший коэффициент равен [tex]1[/tex]). Для его дискриминанта [tex]D[/tex] получаем
[tex]\frac{D}{4}=(2m-3)^2-\left(5m^2-16m+20\right)=4m^2-12m+9-5m^2+16m-20=-m^2+4m-11[/tex]
Выделим полный квадрат:
[tex]\frac{D}{4}=-\left(m^2-4m+4\right)-7=-(m-2)^2-7[/tex]
Так как [tex](m-2)^2\ge 0[/tex] при любом действительном [tex]m[/tex], получаем [tex]\frac{D}{4}\le -7\lt 0[/tex]. Следовательно, при любом значении [tex]m[/tex] дискриминант отрицателен и уравнение не имеет действительных корней.

Решение:
Предположим, что такое [tex]m[/tex] существует. Тогда [tex]x_1[/tex] и [tex]x_2[/tex] — действительные корни уравнения, и по теореме Виета
[tex]x_1x_2=1[/tex]
С другой стороны, [tex]x_1\gt 2\gt 0[/tex] и [tex]x_2\gt 5\gt 0[/tex], поэтому
[tex]x_1x_2\gt 2\cdot 5=10[/tex]
Это противоречит равенству [tex]x_1x_2=1[/tex]. Следовательно, такого значения [tex]m[/tex] не существует.

Решение:
Так как [tex]m^2+2\gt 0[/tex], уравнение квадратное при любом [tex]m[/tex]. Сумма его коэффициентов равна нулю:
[tex](m^2+2)-(m^2+6)+4=0[/tex]
поэтому [tex]x_1=1[/tex] — корень при любом [tex]m[/tex]. По теореме Виета второй корень равен
[tex]x_2=\frac{x_1x_2}{x_1}=\frac{4}{m^2+2}[/tex]
Поскольку [tex]m^2+2\ge 2[/tex], получаем
[tex]0\lt x_2\le \frac{4}{2}=2[/tex]
причём равенство достигается только при [tex]m=0[/tex]: тогда уравнение имеет вид [tex]2x^2-6x+4=0[/tex] и корни [tex]1[/tex] и [tex]2[/tex]. Значит, ни один корень не превосходит [tex]2[/tex], а значение [tex]2[/tex] достигается. Наибольший возможный корень равен [tex]2[/tex].

Решение:
Случай 1: старший коэффициент равен нулю, [tex]a^2-4=0[/tex]. При [tex]a=2[/tex] неравенство принимает вид [tex]-3\lt 0[/tex] и верно при любом [tex]x[/tex], значит, [tex]a=2[/tex] подходит. При [tex]a=-2[/tex] получаем [tex]8x-3\lt 0[/tex], т.е. [tex]x\lt \frac{3}{8}[/tex], что верно не при всех [tex]x[/tex]; поэтому [tex]a=-2[/tex] не подходит.
Случай 2: [tex]a^2-4\ne 0[/tex]. Квадратный трёхчлен отрицателен при всех [tex]x[/tex] тогда и только тогда, когда его старший коэффициент и дискриминант отрицательны:
[tex]a^2-4\lt 0\iff a\in\left(-2; 2\right)[/tex]
[tex]\frac{D}{4}=(a-2)^2+3(a^2-4)=(a-2)(a-2+3a+6)=4(a-2)(a+1)\lt 0\iff a\in\left(-1; 2\right)[/tex]
Вместе: [tex]a\in\left(-1; 2\right)[/tex]. (При [tex]a=-1[/tex] трёхчлен равен [tex]-3(x-1)^2[/tex] и обращается в [tex]0[/tex] при [tex]x=1[/tex], поэтому значение [tex]a=-1[/tex] действительно не подходит.) Объединяя оба случая, получаем
[tex]a\in\left(-1; 2\right][/tex]

Решение:
Если [tex]a=2[/tex], неравенство принимает вид [tex]8x+6\gt 0[/tex], что неверно, например, при [tex]x=-1[/tex].
Если [tex]a\ne 2[/tex], квадратный трёхчлен положителен при всех действительных [tex]x[/tex] тогда и только тогда, когда его старший коэффициент положителен, а дискриминант отрицателен:
[tex]a-2\gt 0,\quad \frac{D}{4}=16-(a-2)(a+4)\lt 0[/tex]
Второе условие равносильно
[tex]a^2+2a-24\gt 0\iff (a+6)(a-4)\gt 0\iff a\lt -6\text{ или }a\gt 4[/tex]
Вместе с [tex]a\gt 2[/tex] это даёт [tex]a\gt 4[/tex]. Значение [tex]a=4[/tex] не подходит: тогда трёхчлен равен [tex]2x^2+8x+8=2(x+2)^2[/tex] и обращается в [tex]0[/tex] при [tex]x=-2[/tex]. Следовательно, наименьшее целое значение [tex]a[/tex] равно [tex]5[/tex]. Проверка:
[tex]a=5:\quad 3x^2+8x+9,\quad 3\gt 0,\quad \frac{D}{4}=16-27\lt 0[/tex]

Решение:
Знаменатель положителен при любом [tex]x[/tex]:
[tex]x^2+x+1=\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\gt 0[/tex]
поэтому можно умножить на него, не меняя знака неравенства:
[tex]x^2+ax\lt 3x^2+3x+3\iff 2x^2+(3-a)x+3\gt 0[/tex]
Квадратный трёхчлен с положительным старшим коэффициентом положителен при всех действительных [tex]x[/tex] тогда и только тогда, когда его дискриминант отрицателен:
[tex](3-a)^2-24\lt 0\iff |a-3|\lt 2\sqrt{6}\iff 3-2\sqrt{6}\lt a\lt 3+2\sqrt{6}[/tex]
Так как [tex]16\lt 24\lt 25[/tex], то [tex]4\lt 2\sqrt{6}\lt 5[/tex], поэтому
[tex]-2\lt 3-2\sqrt{6}\lt -1,\quad 7\lt 3+2\sqrt{6}\lt 8[/tex]
Целые числа в этом интервале: [tex]-1; 0; 1; \ldots; 7[/tex], т.е. [tex]9[/tex] значений.

Решение:
Пусть [tex]f(x)=\left(a^2+1\right)x^2+(3a-4)x+a^2+5[/tex]. Старший коэффициент [tex]a^2+1[/tex] положителен при любом [tex]a[/tex], поэтому ветви параболы направлены вверх. Для такого трёхчлена неравенство [tex]f(3)\lt 0[/tex] выполняется тогда и только тогда, когда [tex]f[/tex] имеет два действительных корня и [tex]x_1\lt 3\lt x_2[/tex] (поэтому дискриминант исследовать не нужно).
Если, кроме того, [tex]f(7)\gt 0[/tex], то [tex]7[/tex] лежит вне [tex]\left[x_1; x_2\right][/tex], а так как [tex]7\gt 3\gt x_1[/tex], это означает [tex]x_2\lt 7[/tex]; обратно, из [tex]x_1\lt 3\lt x_2\lt 7[/tex] следует [tex]f(7)\gt 0[/tex]. Значит, условие равносильно системе
[tex]\begin{cases} f(3)\lt 0\\ f(7)\gt 0\end{cases}[/tex]
Вычисляем:
[tex]f(3)=9\left(a^2+1\right)+3(3a-4)+a^2+5=10a^2+9a+2=(2a+1)(5a+2)[/tex]
[tex]f(3)\lt 0\iff -\frac{1}{2}\lt a\lt -\frac{2}{5}[/tex]
[tex]f(7)=49\left(a^2+1\right)+7(3a-4)+a^2+5=50a^2+21a+26[/tex]
Как квадратный трёхчлен относительно [tex]a[/tex] последнее выражение имеет положительный старший коэффициент и дискриминант [tex]21^2-4\cdot 50\cdot 26=441-5200\lt 0[/tex], поэтому [tex]f(7)\gt 0[/tex] при любом [tex]a[/tex]. Следовательно,
[tex]a\in\left(-\frac{1}{2}; -\frac{2}{5}\right)[/tex]

Решение:
ОДЗ: [tex]x\ge 0[/tex], [tex]x\ge a[/tex]. Запишем уравнение в виде
[tex]\sqrt{x-a}=1-\sqrt{x}[/tex]
Левая часть неотрицательна, поэтому любое решение удовлетворяет условию [tex]1-\sqrt{x}\ge 0[/tex], т.е. [tex]\sqrt{x}\le 1[/tex]. При этом условии возведение в квадрат — равносильное преобразование:
[tex]x-a=1-2\sqrt{x}+x\iff \sqrt{x}=\frac{1+a}{2}[/tex]
Для этого нужно [tex]\frac{1+a}{2}\ge 0[/tex], т.е. [tex]a\ge -1[/tex], а условие [tex]\sqrt{x}\le 1[/tex] даёт [tex]\frac{1+a}{2}\le 1[/tex], т.е. [tex]a\le 1[/tex]. При таких [tex]a[/tex]
[tex]x=\frac{(a+1)^2}{4}\ge 0,\quad x-a=\frac{(1-a)^2}{4}\ge 0[/tex]
поэтому [tex]x[/tex] входит в ОДЗ. Следовательно, при [tex]a\in\left[-1; 1\right][/tex] уравнение имеет единственный корень [tex]x=\frac{(a+1)^2}{4}[/tex], а при остальных [tex]a[/tex] корней нет. Проверка концов: при [tex]a=-1[/tex] получаем [tex]x=0[/tex] и [tex]\sqrt{1}+\sqrt{0}=1[/tex]; при [tex]a=1[/tex] получаем [tex]x=1[/tex] и [tex]\sqrt{0}+\sqrt{1}=1[/tex].

Решение:
ОДЗ: [tex]x^2-3x-4=(x+1)(x-4)\ne 0[/tex], т.е. [tex]x\ne -1[/tex] и [tex]x\ne 4[/tex]. Числитель раскладывается на множители:
[tex]x^2-(3a-1)x+2a^2-2=\left(x-(a+1)\right)\left(x-(2a-2)\right)[/tex]
так как [tex](a+1)+(2a-2)=3a-1[/tex] и [tex](a+1)(2a-2)=2a^2-2[/tex]. Значит, кандидатами являются только [tex]x_1=a+1[/tex] и [tex]x_2=2a-2[/tex]. Они совпадают лишь при [tex]a=3[/tex], но тогда [tex]x_1=x_2=4[/tex] не входит в ОДЗ и уравнение не имеет корней. При [tex]a\ne 3[/tex] кандидаты различны, поэтому уравнение имеет единственный корень тогда и только тогда, когда один из них равен [tex]-1[/tex] или [tex]4[/tex], а другой — нет:
[tex]a+1=-1\Rightarrow a=-2[/tex]; тогда [tex]x_2=-6[/tex] допустим;
[tex]2a-2=-1\Rightarrow a=\frac{1}{2}[/tex]; тогда [tex]x_1=\frac{3}{2}[/tex] допустим;
[tex]a+1=4[/tex] или [tex]2a-2=4[/tex] даёт [tex]a=3[/tex], что уже отброшено.
Следовательно, уравнение имеет единственный корень при [tex]a=-2[/tex] (корень [tex]x=-6[/tex]) и при [tex]a=\frac{1}{2}[/tex] (корень [tex]x=\frac{3}{2}[/tex]):
[tex]a\in\left\{-2; \frac{1}{2}\right\}[/tex]

Решение:
Область определения: [tex]x\ge 3a[/tex]. При [tex]x=3a[/tex] корень равен [tex]0[/tex], поэтому левая часть равна [tex]0[/tex] и [tex]x=3a[/tex] является решением при любом [tex]a[/tex].
При [tex]x\gt 3a[/tex] корень положителен, и неравенство равносильно условию
[tex]x+a-1\le 0\iff x\le 1-a[/tex]
Следовательно, множество решений имеет вид
[tex]\left\{3a\right\}\cup\left(3a ; 1-a\right][/tex]
Решение ровно одно тогда и только тогда, когда промежуток [tex]\left(3a ; 1-a\right][/tex] пуст:
[tex]1-a\le 3a\iff a\ge\frac{1}{4}[/tex]
Недостаточно требовать [tex]3a=1-a[/tex]: например, при [tex]a=1[/tex] единственное решение — [tex]x=3[/tex], так как при [tex]x\gt 3[/tex] оба множителя положительны. Следовательно, [tex]a\in\left[\frac{1}{4} ; +\infty\right)[/tex].

Решение:
Пусть [tex]x_0[/tex] — общий корень. Вычитая второе уравнение из первого, получаем
[tex](a-1)x_0+8-a=0[/tex]
Если [tex]a=1[/tex], получаем [tex]7=0[/tex], что невозможно. Значит, [tex]a\ne 1[/tex] и [tex]x_0=\frac{a-8}{a-1}[/tex]. Обратно, число, удовлетворяющее второму уравнению и этой разности, удовлетворяет и первому, поэтому достаточно подставить [tex]x_0[/tex] в [tex]x_0^2+x_0+a=0[/tex] и умножить на [tex](a-1)^2[/tex]:
[tex](a-8)^2+(a-8)(a-1)+a(a-1)^2=0\iff a^3-24a+72=0[/tex]
Так как [tex]a=-6[/tex] — корень, то
[tex]a^3-24a+72=(a+6)(a^2-6a+12),\qquad a^2-6a+12=(a-3)^2+3\gt 0[/tex]
Следовательно, единственная возможность — [tex]a=-6[/tex], при этом [tex]x_0=\frac{-14}{-7}=2[/tex]. Проверка: при [tex]a=-6[/tex] уравнение [tex]x^2-6x+8=0[/tex] имеет корни [tex]2[/tex] и [tex]4[/tex], а [tex]x^2+x-6=0[/tex] — корни [tex]2[/tex] и [tex]-3[/tex]; общий корень равен [tex]2[/tex]. Ответ: [tex]a=-6[/tex].