Функции нескольких переменных - задачи с решениями

Решение:
Функция [tex]\arcsin u[/tex] определена только при [tex]-1\le u\le 1[/tex], поэтому должно выполняться
[tex]-1\le 25x^2+9y^2\le 1[/tex]
Левое неравенство выполняется всегда, так как [tex]25x^2+9y^2\ge 0\gt -1[/tex]. Правое можно записать в виде
[tex]25x^2+9y^2\le 1\iff \frac{x^2}{\left(\frac{1}{5}\right)^2}+\frac{y^2}{\left(\frac{1}{3}\right)^2}\le 1[/tex]
Следовательно, область определения — эллипс с центром [tex]O(0; 0)[/tex] и полуосями [tex]\frac{1}{5}[/tex] (по оси [tex]Ox[/tex]) и [tex]\frac{1}{3}[/tex] (по оси [tex]Oy[/tex]) вместе с его внутренностью. Сам эллипс входит в область, так как значение [tex]\arcsin 1[/tex] определено:
[tex]D=\left\{(x,y):\ 25x^2+9y^2\le 1\right\}[/tex]

Решение:
Здесь [tex]z[/tex] зависит от [tex]t[/tex] через [tex]x[/tex] и [tex]y[/tex]. Функция [tex]e^{x-2y}[/tex] имеет непрерывные частные производные, а [tex]x[/tex] и [tex]y[/tex] — дифференцируемые функции от [tex]t[/tex], поэтому по правилу дифференцирования сложной функции
[tex]\frac{dz}{dt}=z'_x\,\frac{dx}{dt}+z'_y\,\frac{dy}{dt}[/tex]
Имеем
[tex]z'_x=e^{x-2y},\quad z'_y=-2e^{x-2y},\quad \frac{dx}{dt}=\cos t,\quad \frac{dy}{dt}=3t^2[/tex]
следовательно
[tex]\frac{dz}{dt}=e^{x-2y}\cos t-2e^{x-2y}\cdot 3t^2=e^{\sin t-2t^3}\left(\cos t-6t^2\right)[/tex]
Проверка: непосредственно [tex]z=e^{\sin t-2t^3}[/tex], а производная показателя степени равна [tex]\cos t-6t^2[/tex], что даёт тот же результат.

Решение:
При [tex]x\gt 0[/tex] функция [tex]z=x^y=e^{y\ln x}[/tex] имеет непрерывные частные производные любого порядка. Дифференцируем по [tex]x[/tex] ([tex]y[/tex] — постоянная, производная степенной функции):
[tex]z'_x=y\,x^{y-1}[/tex]
Теперь дифференцируем [tex]z'_x[/tex] по [tex]y[/tex] ([tex]x[/tex] — постоянная). Оба множителя зависят от [tex]y[/tex], поэтому применяем правило дифференцирования произведения и [tex]\left(x^{y-1}\right)'_y=x^{y-1}\ln x[/tex]:
[tex]z''_{xy}=1\cdot x^{y-1}+y\,x^{y-1}\ln x=x^{y-1}\left(1+y\ln x\right)[/tex]
Проверка в другом порядке (по теореме Шварца результат должен совпасть):
[tex]z'_y=x^y\ln x,\qquad z''_{yx}=y\,x^{y-1}\ln x+x^y\cdot \frac{1}{x}=x^{y-1}\left(1+y\ln x\right)[/tex]

Решение:
Положим [tex]F(x,y,z)=x^3+2y^3+z^2-3xyz-2y+3[/tex]. Функция [tex]F[/tex] имеет непрерывные частные производные, поэтому в точках, где [tex]F'_z\ne 0[/tex], по теореме о неявной функции
[tex]z'_y=-\frac{F'_y}{F'_z}[/tex]
Здесь
[tex]F'_y=6y^2-3xz-2,\qquad F'_z=2z-3xy[/tex]
Следовательно
[tex]z'_y=-\frac{6y^2-3xz-2}{2z-3xy}=\frac{3xz-6y^2+2}{2z-3xy}[/tex]
Тот же результат получается дифференцированием тождества по [tex]y[/tex] с учётом того, что [tex]z=z(x,y)[/tex]:
[tex]6y^2+2z\,z'_y-3xz-3xy\,z'_y-2=0\ \Rightarrow\ z'_y\left(2z-3xy\right)=3xz-6y^2+2[/tex]

Решение:
Функция имеет непрерывные частные производные в окрестности точки [tex]M[/tex] (там [tex]x^{2}+y^{2}\ne 0[/tex]), поэтому она дифференцируема в [tex]M[/tex], и её производная по направлению единичного вектора [tex]\vec{l}_0=\left(\cos\alpha; \cos\beta\right)[/tex] равна
[tex]\frac{\partial z}{\partial l}(M)=z'_x(M)\cos\alpha+z'_y(M)\cos\beta[/tex]
Используя [tex]\left(\operatorname{arcctg}u\right)'=-\frac{1}{1+u^{2}}[/tex], получаем
[tex]z'_x=-\frac{3}{1+(3x+4y)^{2}}+\frac{2x}{x^{2}+y^{2}},\qquad z'_y=-\frac{4}{1+(3x+4y)^{2}}+\frac{2y}{x^{2}+y^{2}}[/tex]
В точке [tex]M(-1; 1)[/tex] имеем [tex]3x+4y=1[/tex] и [tex]x^{2}+y^{2}=2[/tex], поэтому
[tex]z'_x(M)=-\frac{3}{2}-1=-\frac{5}{2},\qquad z'_y(M)=-2+1=-1[/tex]
Далее, [tex]\overrightarrow{MN}=(4; 3)[/tex] и [tex]\left|\overrightarrow{MN}\right|=\sqrt{16+9}=5[/tex], значит, [tex]\vec{l}_0=\left(\frac{4}{5}; \frac{3}{5}\right)[/tex]. Следовательно,
[tex]\frac{\partial z}{\partial l}(M)=-\frac{5}{2}\cdot \frac{4}{5}+(-1)\cdot \frac{3}{5}=-2-\frac{3}{5}=-\frac{13}{5}[/tex]

Решение:
Возьмём [tex]x_0=1[/tex], [tex]y_0=2[/tex], [tex]\Delta x=0{,}05[/tex], [tex]\Delta y=0{,}01[/tex]. Функция имеет непрерывные частные производные, поэтому она дифференцируема и при малых приращениях
[tex]z\left(x_0+\Delta x,\,y_0+\Delta y\right)\approx z\left(x_0,y_0\right)+dz,\qquad dz=z'_x\left(x_0,y_0\right)\Delta x+z'_y\left(x_0,y_0\right)\Delta y[/tex]
Вычисляем
[tex]z(1; 2)=3-4-\frac{\sin 2\pi}{\pi}=-1[/tex]
[tex]z'_x=6x-y^2\ \Rightarrow\ z'_x(1; 2)=6-4=2[/tex]
[tex]z'_y=-2xy-\cos \pi y\ \Rightarrow\ z'_y(1; 2)=-4-\cos 2\pi=-5[/tex]
[tex]dz=2\cdot 0{,}05+(-5)\cdot 0{,}01=0{,}1-0{,}05=0{,}05[/tex]
Следовательно
[tex]z\left(1{,}05; 2{,}01\right)\approx -1+0{,}05=-0{,}95[/tex]

Решение:
Прибыль равна
[tex]P(x,y)=R(x,y)-C(x,y)=-2x^{2}+2xy-3y^{2}+900x+1800y[/tex]
Стационарные точки:
[tex]\begin{cases}P'_x=-4x+2y+900=0\\ P'_y=2x-6y+1800=0\end{cases}[/tex]
Из первого уравнения [tex]y=2x-450[/tex]. Подставив во второе, получаем [tex]2x-12x+2700+1800=0[/tex], т.е. [tex]x=450[/tex] и [tex]y=450[/tex]. Вторые производные постоянны:
[tex]P''_{xx}=-4,\quad P''_{xy}=2,\quad P''_{yy}=-6,\qquad \Delta=P''_{xx}P''_{yy}-\left(P''_{xy}\right)^{2}=24-4=20\gt 0[/tex]
Так как [tex]\Delta\gt 0[/tex] и [tex]P''_{xx}\lt 0[/tex], точка [tex](450; 450)[/tex] — точка локального максимума. Кроме того, вторые производные одинаковы во всех точках, поэтому [tex]P[/tex] — вогнутая функция на всей плоскости, и этот максимум глобальный. Количества [tex]x=y=450[/tex] — целые числа, значит, они допустимы. Наибольшая прибыль равна
[tex]P(450; 450)=-2\cdot 450^{2}+2\cdot 450^{2}-3\cdot 450^{2}+900\cdot 450+1800\cdot 450=-607500+405000+810000=607500[/tex]
Наибольшая прибыль составляет [tex]607500[/tex] евро.