Функциональные уравнения - задачи с решениями

Решение:
Найдём значение [tex]x[/tex], при котором аргумент [tex]5x-4[/tex] равен [tex]6[/tex]:
[tex]5x-4=6\Rightarrow x=2[/tex]
Подставив [tex]x=2[/tex] в данное равенство, получаем
[tex]f(6)=f(5\cdot 2-4)=2\cdot 2+1=5[/tex]

Решение:
Подставив в условие [tex]x=1[/tex] и [tex]x=0[/tex], получаем систему
[tex]\left\{\begin{array}{l} 2f(1)+f(0)=1 \\ f(1)+2f(0)=-1 \end{array}\right.[/tex]
Из первого уравнения [tex]f(0)=1-2f(1)[/tex]. Подставляем во второе:
[tex]f(1)+2-4f(1)=-1\Rightarrow 3f(1)=3\Rightarrow f(1)=1[/tex]
(Такая функция существует: [tex]f(x)=2x-1[/tex] удовлетворяет условию, так как [tex]2(2x-1)+\left(2(1-x)-1\right)=2x-1[/tex].)

Решение:
Для каждой функции вычислим сумму [tex]f(x)+f(-x)[/tex]:
[tex]f(x)=\frac{x^2}{2}:\quad \frac{x^2}{2}+\frac{x^2}{2}=x^2[/tex]
[tex]f(x)=\frac{x^2+x}{2}:\quad \frac{x^2+x}{2}+\frac{x^2-x}{2}=x^2[/tex]
[tex]f(x)=\frac{x^2}{2}+5x-x^3:\quad \left(\frac{x^2}{2}+5x-x^3\right)+\left(\frac{x^2}{2}-5x+x^3\right)=x^2[/tex]
[tex]f(x)=\frac{x^2+5x+1}{2}:\quad \frac{x^2+5x+1}{2}+\frac{x^2-5x+1}{2}=x^2+1\ne x^2[/tex]
Следовательно, первые три функции принадлежат классу [tex]2[/tex], и только [tex]f(x)=\frac{x^2+5x+1}{2}[/tex] ему не принадлежит (например, при [tex]x=0[/tex] сумма равна [tex]1\ne 0[/tex]).

Решение:
Пусть [tex]P(x)=ax^2+bx+c[/tex], где [tex]a\ne 0[/tex]. Из [tex]P(0)=5[/tex] получаем [tex]c=5[/tex]. Далее,
[tex]P(x+1)-P(x)=a(x+1)^2+b(x+1)+c-ax^2-bx-c=2ax+a+b[/tex]
Это выражение должно равняться [tex]8x+3[/tex] при любом [tex]x[/tex], поэтому коэффициенты при одинаковых степенях [tex]x[/tex] совпадают:
[tex]\left\{\begin{array}{l} 2a=8 \\ a+b=3 \end{array}\right.\Rightarrow a=4; b=-1[/tex]
Следовательно, [tex]P(x)=4x^2-x+5[/tex]. Проверка:
[tex]4(x+1)^2-(x+1)+5-\left(4x^2-x+5\right)=8x+4-1=8x+3[/tex]

Решение:
Выберем [tex]x[/tex] и [tex]y[/tex] так, чтобы неизвестные значения [tex]f(2x+y)[/tex] и [tex]f(3x-y)[/tex] совпали: [tex]2x+y=3x-y[/tex], т.е. [tex]x=2y[/tex]. Так как нужно найти [tex]f(10)[/tex], положим [tex]x=10[/tex], [tex]y=5[/tex]; тогда [tex]2x+y=3x-y=25[/tex] и условие принимает вид
[tex]f(10)+f(25)+5\cdot 10\cdot 5=f(25)+2\cdot 10^2+1[/tex]
[tex]f(10)+250=201\Rightarrow f(10)=-49[/tex]
(Такая функция существует: при [tex]x=2y[/tex] условие даёт [tex]f(2y)+10y^2=8y^2+1[/tex], откуда [tex]f(t)=1-\frac{t^2}{2}[/tex], и непосредственная проверка показывает, что эта функция удовлетворяет условию при всех [tex]x[/tex] и [tex]y[/tex].)

Решение:
Положим [tex]a=4[/tex], [tex]b=1[/tex]. Так как [tex]\frac{4+2}{3}=2[/tex], получаем
[tex]f(2)=\frac{f(4)+2f(1)}{3}=\frac{8+4}{3}=4[/tex]
Положим [tex]a=1[/tex], [tex]b=4[/tex]. Так как [tex]\frac{1+8}{3}=3[/tex], получаем
[tex]f(3)=\frac{f(1)+2f(4)}{3}=\frac{2+16}{3}=6[/tex]
Теперь положим [tex]a=n[/tex], [tex]b=n+3[/tex]. Так как [tex]\frac{n+2(n+3)}{3}=n+2[/tex], получаем [tex]f(n+2)=\frac{f(n)+2f(n+3)}{3}[/tex], т.е.
[tex]f(n+3)=\frac{3f(n+2)-f(n)}{2}[/tex]
Докажем по индукции, что [tex]f(n)=2n[/tex] для любого натурального [tex]n[/tex]. Это верно при [tex]n=1; 2; 3[/tex]. Если [tex]f(m)=2m[/tex] для всех [tex]m\le n+2[/tex], то
[tex]f(n+3)=\frac{3\cdot 2(n+2)-2n}{2}=\frac{4n+12}{2}=2(n+3)[/tex]
Следовательно,
[tex]f(1999)=2\cdot 1999=3998[/tex]
(Функция [tex]f(x)=2x[/tex] удовлетворяет всем условиям, так что данные непротиворечивы.)

Решение:
Так как из [tex]x\ne 0[/tex] следует [tex]\frac{1}{x}\ne 0[/tex], можно заменить [tex]x[/tex] на [tex]\frac{1}{x}[/tex]:
[tex]f\left(\frac{1}{x}\right)+3f(x)=\frac{1}{x^2}[/tex]
Умножим это равенство на [tex]3[/tex] и вычтем исходное:
[tex]8f(x)=\frac{3}{x^2}-x^2\Rightarrow f(x)=\frac{1}{8}\left(\frac{3}{x^2}-x^2\right)[/tex]
Проверка: [tex]f(x)+3f\left(\frac{1}{x}\right)=\frac{1}{8}\left(\frac{3}{x^2}-x^2+9x^2-\frac{3}{x^2}\right)=x^2[/tex].
Теперь условие на [tex]u[/tex]. Так как [tex]\log_2 t\ge 0\Leftrightarrow t\ge 1[/tex], а основание [tex]\frac{1}{2}[/tex] меньше [tex]1[/tex], неравенство равносильно
[tex]\log_{\frac{1}{2}}\frac{u-1}{u+1}\ge 1\Leftrightarrow 0\lt\frac{u-1}{u+1}\le\frac{1}{2}[/tex]
Левое неравенство даёт [tex]u\lt -1[/tex] или [tex]u\gt 1[/tex], а правое —
[tex]\frac{u-1}{u+1}-\frac{1}{2}=\frac{u-3}{2(u+1)}\le 0\Leftrightarrow -1\lt u\le 3[/tex]
Итак, [tex]u\in\left(1; 3\right][/tex]. На этом промежутке обе функции [tex]\frac{3}{u^2}[/tex] и [tex]-u^2[/tex] убывают, поэтому [tex]f(u)[/tex] убывает и принимает наименьшее значение при [tex]u=3[/tex]:
[tex]f(3)=\frac{1}{8}\left(\frac{1}{3}-9\right)=-\frac{13}{12}[/tex]
(Значение [tex]f(1)=\frac{1}{4}[/tex] не достигается, так как [tex]u=1[/tex] не удовлетворяет условию.)

Решение:
Идея: выбрать [tex]y[/tex] так, чтобы [tex]xy=x+y[/tex]; тогда [tex]f(xy)[/tex] и [tex]f(x+y)[/tex] сократятся. При [tex]x\ne 1[/tex] положим [tex]y=\frac{x}{x-1}[/tex]. Тогда
[tex]xy=\frac{x^2}{x-1},\quad x+y=\frac{x(x-1)+x}{x-1}=\frac{x^2}{x-1}[/tex]
т.е. [tex]xy=x+y[/tex], и данное неравенство принимает вид [tex]f(x-y)\ge 0[/tex], где
[tex]x-y=\frac{x(x-1)-x}{x-1}=\frac{x^2-2x}{x-1}[/tex]
Осталось показать, что любое действительное число [tex]a[/tex] можно записать в таком виде при некотором [tex]x\ne 1[/tex]. При [tex]x\ne 1[/tex]
[tex]\frac{x^2-2x}{x-1}=a\Leftrightarrow x^2-(a+2)x+a=0[/tex]
Дискриминант этого квадратного уравнения равен [tex](a+2)^2-4a=a^2+4\gt 0[/tex], поэтому оно имеет действительные корни, причём [tex]x=1[/tex] не является корнем, так как [tex]1-(a+2)+a=-1\ne 0[/tex].
Взяв такой корень [tex]x[/tex] и [tex]y=\frac{x}{x-1}[/tex], получаем [tex]x-y=a[/tex], а значит, [tex]f(a)\ge 0[/tex]. Так как [tex]a[/tex] — произвольное действительное число, [tex]f(x)\ge 0[/tex] для любого действительного [tex]x[/tex].

Решение:
Воспользуемся тождествами [tex]3xy(x+y)=(x+y)^3-x^3-y^3[/tex] и [tex]18xy=9\left((x+y)^2-x^2-y^2\right)[/tex]. Из них
[tex]3xy(x+y+6)=\left[(x+y)^3+9(x+y)^2\right]-\left[x^3+9x^2\right]-\left[y^3+9y^2\right][/tex]
Пусть [tex]h(x)=f(x)-x^3-9x^2-8[/tex]. При подстановке [tex]f(x)=h(x)+x^3+9x^2+8[/tex] в уравнение кубические и квадратичные члены сокращаются, а для констант имеем [tex]8=8+8-8[/tex]. Получаем уравнение Коши
[tex]h(x+y)=h(x)+h(y),\quad x,y\in\mathbb{Q}[/tex]
При [tex]x=y=0[/tex] получаем [tex]h(0)=0[/tex]. По индукции [tex]h(nx)=nh(x)[/tex] для любого натурального [tex]n[/tex], так как [tex]h((n+1)x)=h(nx)+h(x)[/tex]. При [tex]y=-x[/tex] получаем [tex]h(-x)=-h(x)[/tex], поэтому [tex]h(nx)=nh(x)[/tex] для любого целого [tex]n[/tex]. Для [tex]x=\frac{p}{q}[/tex], где [tex]p\in\mathbb{Z}[/tex], [tex]q\in\mathbb{N}[/tex]:
[tex]q\,h\left(\frac{p}{q}\right)=h(p)=p\,h(1)\Rightarrow h\left(\frac{p}{q}\right)=\frac{p}{q}\,h(1)[/tex]
Следовательно, [tex]h(x)=cx[/tex], где [tex]c=h(1)[/tex], т.е. [tex]f(x)=x^3+9x^2+cx+8[/tex]. Обратно, любая такая функция удовлетворяет уравнению, так как [tex]h(x)=cx[/tex] аддитивна. Условие [tex]f(-8)=0[/tex] даёт
[tex]-512+576-8c+8=0\Rightarrow c=9[/tex]
Следовательно, единственная такая функция — [tex]f(x)=x^3+9x^2+9x+8=(x+8)\left(x^2+x+1\right)[/tex].

Решение:
При [tex]n=1[/tex]: [tex]2P(1)=P(1)[/tex], т.е. [tex]P(1)=0[/tex]. Вычитая равенство для [tex]n-1[/tex] из равенства для [tex]n[/tex] ([tex]n\ge 2[/tex]), получаем [tex]P(2n-1)=2nP(n)-2(n-1)P(n-1)[/tex]. Обе части — многочлены от [tex]n[/tex], совпадающие при бесконечно многих значениях, поэтому тождественно
[tex]P(2x-1)=2xP(x)-2(x-1)P(x-1)[/tex]
[tex]P[/tex] — ненулевой многочлен, так как [tex]P(2)=6[/tex]. Пусть [tex]d=\deg P[/tex], а [tex]a\ne 0[/tex] — его старший коэффициент. Старший член левой части равен [tex]2^da\,x^d[/tex]. При [tex]Q(x)=xP(x)[/tex] правая часть равна [tex]2\left(Q(x)-Q(x-1)\right)[/tex], и так как [tex]x^{d+1}-(x-1)^{d+1}=(d+1)x^d+\ldots[/tex], её старший член равен [tex]2a(d+1)x^d[/tex]. Следовательно,
[tex]2^d=2(d+1)[/tex]
Это неверно при [tex]d=0; 1; 2[/tex] ([tex]1\ne 2[/tex], [tex]2\ne 4[/tex], [tex]4\ne 6[/tex]) и верно при [tex]d=3[/tex]; при [tex]d\ge 4[/tex] имеем [tex]2^d\gt 2(d+1)[/tex] (верно при [tex]d=4[/tex], а при увеличении [tex]d[/tex] на [tex]1[/tex] левая часть удваивается, тогда как правая растёт лишь на [tex]2[/tex]). Значит, [tex]\deg P=3[/tex].
Ещё значения: при [tex]n=2[/tex] имеем [tex]4P(2)=P(1)+P(3)[/tex], т.е. [tex]P(3)=24[/tex]; при [tex]n=3[/tex] имеем [tex]6P(3)=P(1)+P(3)+P(5)[/tex], т.е. [tex]P(5)=144-24=120[/tex].
Кубический многочлен [tex]x^3-x[/tex] принимает значения [tex]0; 6; 24; 120[/tex] при [tex]x=1; 2; 3; 5[/tex]. Два многочлена степени не выше [tex]3[/tex], совпадающие в [tex]4[/tex] точках, равны (их разность имеет степень не выше [tex]3[/tex] и [tex]4[/tex] корня), поэтому
[tex]P(x)=x^3-x=(x-1)x(x+1)[/tex]
Проверка: [tex]\sum_{k=1}^{n}(2k-1)^3=n^2\left(2n^2-1\right)[/tex] и [tex]\sum_{k=1}^{n}(2k-1)=n^2[/tex], откуда
[tex]P(1)+P(3)+\ldots+P(2n-1)=2n^4-2n^2=2n\left(n^3-n\right)=2nP(n)[/tex]
Следовательно,
[tex]P(2009)=2008\cdot 2009\cdot 2010=8108484720[/tex]

Решение:
Функция [tex]f(n)=n[/tex] удовлетворяет условию: [tex]3n-2n=n[/tex].
Обратно, пусть [tex]f[/tex] удовлетворяет условию; положим [tex]g(n)=f(n)-n[/tex] (функция [tex]g[/tex] принимает целые значения). Условие можно записать в виде [tex]2f(f(n))-2f(n)=f(n)-n[/tex], т.е.
[tex]2g\left(f(n)\right)=g(n),\quad n\in\mathbb{Z}[/tex]
Зафиксируем целое [tex]n[/tex] и положим [tex]n_0=n[/tex], [tex]n_{k+1}=f(n_k)[/tex]; все [tex]n_k[/tex] — целые числа. Применяя соотношение к [tex]n_k[/tex], получаем [tex]g(n_{k+1})=\frac{g(n_k)}{2}[/tex], поэтому по индукции для любого натурального [tex]k[/tex]
[tex]g(n_k)=\frac{g(n)}{2^k}[/tex]
Так как [tex]g(n_k)[/tex] — целое число, [tex]g(n)[/tex] делится на [tex]2^k[/tex] при любом натуральном [tex]k[/tex]. Если [tex]g(n)\ne 0[/tex], выберем [tex]k[/tex] так, что [tex]2^k\gt\left|g(n)\right|[/tex]; ненулевое целое число не может делиться на число, большее его модуля, — противоречие. Следовательно, [tex]g(n)=0[/tex], т.е. [tex]f(n)=n[/tex] для любого целого [tex]n[/tex].

Решение:
Предположим, что такая функция существует, и пусть [tex]g(x)=x^2-x-1[/tex], т.е. [tex]f(f(x))=g(x)[/tex].
Шаг [tex]1[/tex]. [tex]f[/tex] перестановочна с [tex]g[/tex]: для любого [tex]x[/tex]
[tex]f(g(x))=f\left(f(f(x))\right)=g\left(f(x)\right)[/tex]
Шаг [tex]2[/tex]. Неподвижные точки [tex]g[/tex]: [tex]x^2-x-1=x\Leftrightarrow x^2-2x-1=0[/tex], т.е. они образуют множество [tex]A=\left\{1-\sqrt{2}; 1+\sqrt{2}\right\}[/tex]. Для уравнения [tex]g(g(x))=x[/tex] имеем
[tex]g(g(x))-x=\left(x^2-x-1\right)^2-\left(x^2-x-1\right)-1-x[/tex]
[tex]=x^4-2x^3-2x^2+2x+1=\left(x^2-2x-1\right)\left(x^2-1\right)[/tex]
поэтому его решения образуют множество [tex]B=\left\{1-\sqrt{2}; 1+\sqrt{2}; -1; 1\right\}[/tex]. Заметим, что [tex]g(1)=-1[/tex] и [tex]g(-1)=1[/tex].
Шаг [tex]3[/tex]. Если [tex]g(p)=p[/tex], то по шагу [tex]1[/tex] получаем [tex]g(f(p))=f(g(p))=f(p)[/tex], т.е. [tex]f[/tex] отображает [tex]A[/tex] в [tex]A[/tex]. Если [tex]g(g(t))=t[/tex], то [tex]g\left(g(f(t))\right)=f\left(g(g(t))\right)=f(t)[/tex], т.е. [tex]f[/tex] отображает [tex]B[/tex] в [tex]B[/tex].
Шаг [tex]4[/tex]. По шагу [tex]3[/tex] имеем [tex]f(1)\in B[/tex]. Если [tex]f(1)\in A[/tex], то и [tex]f(f(1))\in A[/tex]; но [tex]f(f(1))=g(1)=-1\notin A[/tex]. Значит, [tex]f(1)\in\{1; -1\}[/tex]. Если [tex]f(1)=1[/tex], то [tex]g(1)=f(f(1))=f(1)=1[/tex], что противоречит равенству [tex]g(1)=-1[/tex]. Итак, [tex]f(1)=-1[/tex].
Тогда [tex]f(-1)=f(f(1))=g(1)=-1[/tex], откуда [tex]g(-1)=f(f(-1))=f(-1)=-1[/tex], что противоречит равенству [tex]g(-1)=1[/tex]. Следовательно, такой функции не существует.