Численные методы - задачи с решениями

Решение:
Метод Ньютона использует итерацию ниже, которая требует [tex]f'(x_k)\ne 0[/tex]:
[tex]x_{k+1}=x_k-\frac{f(x_k)}{f'(x_k)}[/tex]
Здесь [tex]f'(x)=3x^2-1[/tex], поэтому
[tex]f(2)=8-2=6,\qquad f'(2)=12-1=11\ne 0[/tex]
Тогда
[tex]x_1=2-\frac{6}{11}=\frac{16}{11}\approx 1{,}4545[/tex]
Шаг ведёт от [tex]x_0=2[/tex] к корню [tex]x=1[/tex] уравнения, как и ожидалось.

Решение:
Пусть [tex]f(x)=x^3+x-4[/tex]. Функция непрерывна, [tex]f(1)=-2\lt 0[/tex] и [tex]f(4)=64\gt 0[/tex], поэтому по теореме Больцано–Коши на [tex][1; 4][/tex] есть корень; так как [tex]f'(x)=3x^2+1\gt 0[/tex], функция строго возрастает и корень единственный.
Каждый шаг метода делит текущий отрезок пополам и оставляет ту половину, на концах которой [tex]f[/tex] имеет разные знаки. Поэтому после [tex]n[/tex] шагов корень лежит на отрезке длины
[tex]\frac{4-1}{2^n}=\frac{3}{2^n}[/tex]
Нужно, чтобы
[tex]\frac{3}{2^n}\lt 0{,}01\iff 2^n\gt 300[/tex]
Так как [tex]2^8=256\lt 300[/tex] и [tex]2^9=512\gt 300[/tex], наименьшее такое [tex]n[/tex] равно [tex]9[/tex].

Решение:
Алгебраическая степень точности — это наибольшее [tex]m[/tex], при котором формула точна для любого многочлена степени [tex]\le m[/tex]. Обе части линейны по [tex]f[/tex], поэтому достаточно проверить одночлены [tex]1,\ x,\ x^2,\ \ldots[/tex] до первого несовпадения:
[tex]f=1:\quad \int_0^1 1\,dx=1,\qquad \frac{3}{4}+\frac{1}{4}=1[/tex]
[tex]f=x:\quad \int_0^1 x\,dx=\frac{1}{2},\qquad \frac{3}{4}\cdot \frac{1}{3}+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}[/tex]
[tex]f=x^2:\quad \int_0^1 x^2\,dx=\frac{1}{3},\qquad \frac{3}{4}\cdot \frac{1}{9}+\frac{1}{4}=\frac{1}{12}+\frac{3}{12}=\frac{1}{3}[/tex]
[tex]f=x^3:\quad \int_0^1 x^3\,dx=\frac{1}{4},\qquad \frac{3}{4}\cdot \frac{1}{27}+\frac{1}{4}=\frac{1}{36}+\frac{9}{36}=\frac{5}{18}\ne\frac{1}{4}[/tex]
Следовательно, формула точна для всех многочленов степени [tex]\le 2[/tex], но не для [tex]x^3[/tex], т.е. её алгебраическая степень точности равна [tex]2[/tex].