Схема Бернулли и биномиальная вероятность - задачи с решениями

Решение:
Так как шар возвращают после каждого извлечения, [tex]10[/tex] извлечений — это независимые повторения одного и того же испытания. При одном извлечении красный шар вынимают с вероятностью [tex]p=\frac{1}{3}[/tex], поэтому он не вынимается с вероятностью
[tex]q=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}[/tex]
Красный шар не вынимается ни разу ровно тогда, когда это происходит во всех [tex]10[/tex] извлечениях (ноль успехов в схеме Бернулли с [tex]n=10[/tex], [tex]p=\frac{1}{3}[/tex]), поэтому
[tex]P=q^{10}=\left(\frac{2}{3}\right)^{10}=\frac{1024}{59049}\approx 0{,}0173[/tex]

Решение:
Каждый ребёнок — это независимое испытание с вероятностью успеха (светловолосый) [tex]p=\frac{1}{3}[/tex] и вероятностью неудачи [tex]q=\frac{2}{3}[/tex]. Это схема Бернулли с [tex]n=4[/tex] испытаниями, и нужно ровно [tex]k=2[/tex] успеха. Двух светловолосых детей можно выбрать [tex]\binom{4}{2}=6[/tex] способами, и каждый такой выбор имеет вероятность [tex]p^2q^2[/tex]. Значит,
[tex]P_4(2)=\binom{4}{2}p^2q^2=6\cdot \frac{1}{9}\cdot \frac{4}{9}=\frac{24}{81}=\frac{8}{27}[/tex]

Решение:
Партии — это независимые испытания, в каждом из которых первый шахматист выигрывает с вероятностью [tex]p=\frac{1}{2}[/tex], поэтому применима формула Бернулли:
[tex]P_n(k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}=\frac{\binom{n}{k}}{2^n}[/tex]
Отсюда
[tex]P_4(3)=\frac{\binom{4}{3}}{2^4}=\frac{4}{16}=\frac{1}{4},\qquad P_8(5)=\frac{\binom{8}{5}}{2^8}=\frac{56}{256}=\frac{7}{32}[/tex]
Так как [tex]\frac{1}{4}=\frac{8}{32}\gt\frac{7}{32}[/tex], более вероятно выиграть ровно [tex]3[/tex] партии из [tex]4[/tex]. Заметим, что [tex]\frac{3}{4}[/tex] и [tex]\frac{5}{8}[/tex] — это лишь доли выигранных партий, а не вероятности.

Решение:
Проверка [tex]6[/tex] изделий — это серия из [tex]n=6[/tex] независимых испытаний, каждое из которых — успех (качественное изделие) с вероятностью [tex]p=0{,}9[/tex] и неудача с вероятностью [tex]q=0{,}1[/tex]. Места [tex]4[/tex] качественных изделий можно выбрать [tex]\binom{6}{4}=15[/tex] способами, и каждое такое расположение имеет вероятность [tex]p^4q^2[/tex]. По формуле Бернулли
[tex]P_6(4)=\binom{6}{4}p^4q^2=15\cdot 0{,}6561\cdot 0{,}01=0{,}098415[/tex]

Решение:
Пять бросков — это независимые повторения одного и того же испытания с вероятностью успеха [tex]p=0{,}9[/tex] и вероятностью неудачи [tex]q=0{,}1[/tex], т.е. это схема Бернулли и [tex]P_5(k)=\binom{5}{k}p^kq^{5-k}[/tex]. Не менее [tex]4[/tex] успехов означает ровно [tex]4[/tex] или ровно [tex]5[/tex] успехов:
[tex]P_5(4)=\binom{5}{4}\cdot 0{,}9^4\cdot 0{,}1=5\cdot 0{,}6561\cdot 0{,}1=0{,}32805[/tex]
[tex]P_5(5)=0{,}9^5=0{,}59049[/tex]
Эти два события несовместны, поэтому
[tex]P=P_5(4)+P_5(5)=0{,}32805+0{,}59049=0{,}91854[/tex]

Решение:
Броски — это [tex]11[/tex] независимых повторений одного и того же испытания, и при каждом броске орёл выпадает с вероятностью [tex]p=\frac{1}{2}[/tex] и не выпадает с вероятностью [tex]q=\frac{1}{2}[/tex]. В этой схеме Бернулли с [tex]n=11[/tex] вероятность того, что орёл выпадет ровно [tex]k[/tex] раз, равна
[tex]P_{11}(k)=\binom{11}{k}p^kq^{11-k}=\frac{\binom{11}{k}}{2^{11}}[/tex]
Не более [tex]4[/tex] раз означает [tex]k\in\left\{0; 1; 2; 3; 4\right\}[/tex], причём эти случаи несовместны:
[tex]P=\frac{\binom{11}{0}+\binom{11}{1}+\binom{11}{2}+\binom{11}{3}+\binom{11}{4}}{2^{11}}=\frac{1+11+55+165+330}{2048}=\frac{562}{2048}=\frac{281}{1024}[/tex]

Решение:
На каждой монете орёл выпадает с вероятностью [tex]\frac{1}{2}[/tex] независимо от остальных, поэтому это схема Бернулли с [tex]n=100[/tex] и [tex]p=q=\frac{1}{2}[/tex]. По формуле Бернулли
[tex]P_{100}(50)=\binom{100}{50}\left(\frac{1}{2}\right)^{50}\left(\frac{1}{2}\right)^{50}=\frac{\binom{100}{50}}{2^{100}}[/tex]
То же самое получается и напрямую: имеется [tex]2^{100}[/tex] равновозможных исходов, а [tex]50[/tex] монет, на которых выпал орёл, можно выбрать [tex]\binom{100}{50}[/tex] способами. Эта вероятность составляет лишь около [tex]0{,}08[/tex], т.е. далека от [tex]\frac{1}{2}[/tex]: хотя [tex]50[/tex] — наивероятнейшее число орлов, каждое отдельное значение этого числа маловероятно.

Решение:
Ответы на [tex]100[/tex] заданий — это [tex]100[/tex] независимых повторений одного и того же испытания: успех (верный ответ) с вероятностью [tex]p=\frac{1}{4}[/tex] и неудача с вероятностью [tex]q=\frac{3}{4}[/tex]. По формуле Бернулли вероятность ровно [tex]k=90[/tex] успехов в [tex]n=100[/tex] испытаниях равна
[tex]P_{100}(90)=\binom{100}{90}p^{90}q^{10}=\binom{100}{90}\cdot \frac{1}{4^{90}}\cdot \frac{3^{10}}{4^{10}}=\binom{100}{90}\cdot \frac{3^{10}}{4^{100}}[/tex]
Множитель [tex]\binom{100}{90}[/tex] — это число способов выбрать [tex]90[/tex] заданий с верным ответом, а множитель [tex]q^{10}[/tex] нужен потому, что остальные [tex]10[/tex] ответов должны быть неверными.