Чётные и нечётные функции - задачи с решениями

Решение:
Так как [tex]f[/tex] нечётная, [tex]f(-x)=-f(x)[/tex] для любого действительного [tex]x[/tex]. Формула [tex]x^4[/tex] верна только при [tex]x\ge 0[/tex], поэтому применим её при [tex]x=1[/tex]:
[tex]f(1)=1^4=1\Rightarrow f(-1)=-f(1)=-1[/tex]
(Если подставить [tex]x=-1[/tex] прямо в [tex]x^4[/tex], получится неверный результат [tex]1[/tex].)

Решение:
Функция [tex]f[/tex] чётная, если её область определения симметрична относительно [tex]0[/tex] и [tex]f(-x)=f(x)[/tex] для любого [tex]x[/tex] из неё.
Так как [tex]x^2+1\gt 0[/tex], область определения — [tex]\mathbb{R}[/tex], она симметрична. Используя равенство [tex]\sin (-x)=-\sin x[/tex], получаем
[tex]f(-x)=\sqrt{(-x)^2+1}\,(-\sin x)^2=\sqrt{x^2+1}\,\sin ^2 x=f(x)[/tex]
Следовательно, функция [tex]f[/tex] чётная.

Решение:
Функция [tex]g[/tex] чётная, если её область определения симметрична относительно [tex]0[/tex] и [tex]g(-x)=g(x)[/tex] для любого [tex]x[/tex] из неё.
Область определения: [tex]x\ne \frac{\pi}{2}+k\pi[/tex], [tex]k\in\mathbb{Z}[/tex]. Она симметрична: если [tex]-x=\frac{\pi}{2}+k\pi[/tex], то [tex]x=\frac{\pi}{2}+(-k-1)\pi[/tex], т.е. [tex]x[/tex] и [tex]-x[/tex] исключаются одновременно. Используя равенство [tex]\operatorname{tg} (-x)=-\operatorname{tg} x[/tex], получаем
[tex]g(-x)=(-x)^2-(-\operatorname{tg} x)^2=x^2-\operatorname{tg} ^2 x=g(x)[/tex]
Следовательно, функция [tex]g[/tex] чётная.

Решение:
Функция [tex]h[/tex] чётная, если её область определения симметрична относительно [tex]0[/tex] и [tex]h(-x)=h(x)[/tex] для любого [tex]x[/tex] из неё.
Должны существовать [tex]\operatorname{tg} x[/tex] и [tex]\operatorname{ctg} x[/tex], т.е. [tex]x\ne\frac{k\pi}{2}[/tex], [tex]k\in\mathbb{Z}[/tex]. Для таких [tex]x[/tex] знаменатель не равен нулю:
[tex]\operatorname{tg} x+\operatorname{ctg} x=\frac{\sin ^2 x+\cos^2 x}{\sin x\cos x}=\frac{1}{\sin x\cos x}\ne 0[/tex]
Значит, область определения — [tex]x\ne\frac{k\pi}{2}[/tex], [tex]k\in\mathbb{Z}[/tex], она симметрична относительно [tex]0[/tex]. Используя равенства [tex]\sin (-x)=-\sin x[/tex], [tex]\operatorname{tg} (-x)=-\operatorname{tg} x[/tex] и [tex]\operatorname{ctg} (-x)=-\operatorname{ctg} x[/tex], получаем
[tex]h(-x)=\frac{-\sin x}{-\operatorname{tg} x-\operatorname{ctg} x}=\frac{\sin x}{\operatorname{tg} x+\operatorname{ctg} x}=h(x)[/tex]
Следовательно, функция [tex]h[/tex] чётная.

Решение:
График симметричен относительно начала координат тогда и только тогда, когда функция нечётная: её область определения симметрична относительно [tex]0[/tex] и [tex]f(-x)=-f(x)[/tex] для любого [tex]x[/tex] из неё.
Для [tex]f(x)=\frac{2(x-1)}{x+1}[/tex] область определения [tex]x\ne -1[/tex] не симметрична ([tex]1[/tex] ей принадлежит, а [tex]-1[/tex] нет), поэтому функция не является нечётной.
Для [tex]f(x)=x^3-x^2-x-1[/tex] имеем [tex]f(1)=-2[/tex] и [tex]f(-1)=-2[/tex], т.е. [tex]f(-1)\ne -f(1)[/tex], и функция не является нечётной.
Для [tex]f(x)=2^{1-x^2}[/tex] имеем [tex]f(-x)=f(x)[/tex] и [tex]f(0)=2\ne 0[/tex], поэтому функция чётная, а не нечётная (у нечётной функции, определённой в точке [tex]0[/tex], [tex]f(0)=0[/tex]).
Для [tex]f(x)=x\sqrt{1-x^2}[/tex] область определения [tex]\left[-1 ; 1\right][/tex] симметрична и
[tex]f(-x)=-x\sqrt{1-(-x)^2}=-x\sqrt{1-x^2}=-f(x)[/tex]
Значит, эта функция нечётная, и её график симметричен относительно начала координат.

Решение:
Область определения — [tex]\mathbb{R}[/tex], она симметрична. Имеем
[tex]f(-x)=2^{(a-2)x^2-(a-1)x-1}[/tex]
Так как [tex]2^t[/tex] строго возрастает, два её значения равны только при равных показателях. Поэтому [tex]f(-x)=f(x)[/tex] для любого [tex]x[/tex] равносильно тому, что
[tex](a-2)x^2-(a-1)x-1=(a-2)x^2+(a-1)x-1\iff 2(a-1)x=0[/tex]
для любого действительного [tex]x[/tex]. При [tex]x=1[/tex] получаем [tex]a=1[/tex]. Обратно, при [tex]a=1[/tex] имеем [tex]f(x)=2^{-x^2-1}[/tex] — чётную функцию. Следовательно, [tex]a=1[/tex].

Решение:
При [tex]x\ge 0[/tex] имеем
[tex]f(x)=g(x)=x(x+4)(x-2)(x+2)[/tex]
и так как там [tex]x+4\gt 0[/tex] и [tex]x+2\gt 0[/tex], то [tex]f(x)=0[/tex] только при [tex]x=0[/tex] и [tex]x=2[/tex].
При [tex]x\lt 0[/tex] имеем [tex]-x\gt 0[/tex], и так как [tex]f[/tex] нечётная, [tex]f(x)=-f(-x)[/tex]. Следовательно,
[tex]f(x)=0\iff f(-x)=0\iff -x=2\iff x=-2[/tex]
Нули [tex]-4[/tex] и [tex]-2[/tex] формулы для [tex]g[/tex] нельзя брать автоматически, так как эта формула задаёт [tex]f[/tex] только при [tex]x\ge 0[/tex]. Например,
[tex]f(-4)=-f(4)=-g(4)=-4\cdot 8\cdot 12=-384\ne 0[/tex]
Итак, решения: [tex]-2[/tex], [tex]0[/tex] и [tex]2[/tex], т.е. уравнение имеет [tex]3[/tex] решения.

Решение:
Пусть [tex]x_0[/tex] — единственный корень, т.е. [tex]x_0[/tex] принадлежит области определения и [tex]f(x_0)=5[/tex]. Область определения чётной функции симметрична относительно [tex]0[/tex], поэтому [tex]-x_0[/tex] тоже ей принадлежит, и в силу чётности
[tex]f(-x_0)=f(x_0)=5[/tex]
Значит, [tex]-x_0[/tex] тоже корень уравнения. Так как корень единственный,
[tex]-x_0=x_0\Rightarrow 2x_0=0\Rightarrow x_0=0[/tex]

Решение:
Область определения [tex]f[/tex]: [tex]x\ne -c[/tex], а область определения нечётной функции симметрична относительно [tex]0[/tex]. Если [tex]c\ne 0[/tex], то [tex]x=c[/tex] принадлежит области определения (так как [tex]c\ne -c[/tex]), а [tex]-c[/tex] — нет; противоречие. Следовательно, [tex]c=0[/tex] и
[tex]f(x)=\frac{ax^2+b}{x}=ax+\frac{b}{x}[/tex]
которая нечётна при любых [tex]a[/tex] и [tex]b[/tex]. Из [tex]f(1)=a+b=2[/tex] получаем [tex]b=2-a[/tex]. При [tex]x\gt 0[/tex] после умножения на [tex]x[/tex] условие [tex]f(x)\ge 2[/tex] принимает вид [tex]p(x)\ge 0[/tex] при всех [tex]x\gt 0[/tex], где
[tex]p(x)=ax^2-2x+2-a=(x-1)\left(ax-(2-a)\right)[/tex]
Если [tex]a=0[/tex], то [tex]p(x)=-2(x-1)\lt 0[/tex] при [tex]x\gt 1[/tex], что невозможно.
Если [tex]a\ne 0[/tex] и второй корень [tex]\frac{2-a}{a}\ne 1[/tex], то [tex]x=1[/tex] — простой корень [tex]p[/tex], поэтому [tex]p[/tex] меняет знак в точке [tex]x=1[/tex] и отрицателен при некотором положительном [tex]x[/tex], близком к [tex]1[/tex], что невозможно. Следовательно,
[tex]\frac{2-a}{a}=1\Rightarrow a=1\Rightarrow b=2-a=1[/tex]
Проверка: при [tex]a=b=1[/tex], [tex]c=0[/tex] функция [tex]f(x)=\frac{x^2+1}{x}=x+\frac{1}{x}[/tex] нечётная, [tex]f(1)=2[/tex], и при [tex]x\gt 0[/tex]
[tex]f(x)-2=\frac{(x-1)^2}{x}\ge 0[/tex]
Итак, единственная такая функция — [tex]f(x)=\frac{x^2+1}{x}[/tex].