Математическая статистика - задачи с решениями

Решение:
Общее число оценок равно
[tex]n=2+4+6+10+1=23[/tex]
Так как [tex]n[/tex] нечётно, медиана — это средний член упорядоченного ряда, т.е. член с номером
[tex]\frac{n+1}{2}=\frac{23+1}{2}=12[/tex]
Упорядочим оценки по возрастанию и накопим частоты: оценка [tex]2[/tex] занимает места [tex]1[/tex] и [tex]2[/tex], оценка [tex]3[/tex] — места с [tex]3[/tex] по [tex]6[/tex], оценка [tex]4[/tex] — с [tex]7[/tex] по [tex]12[/tex], оценка [tex]5[/tex] — с [tex]13[/tex] по [tex]22[/tex], а оценка [tex]6[/tex] — место [tex]23[/tex]. Значит, [tex]12[/tex]-й член равен [tex]4[/tex]:
[tex]Me=4[/tex]

Решение:
Сумма [tex]m[/tex] чисел равна их среднему арифметическому, умноженному на [tex]m[/tex]. Поэтому суммы десяти, девяти и восьми чисел равны
[tex]10\cdot 17=170,\qquad 9\cdot 16=144,\qquad 8\cdot 15=120[/tex]
Первое удалённое число равно разности первых двух сумм, а второе — разности последних двух сумм:
[tex]x=170-144=26,\qquad y=144-120=24[/tex]
Их произведение равно
[tex]xy=26\cdot 24=624[/tex]

Решение:
Разобьём сумму на две суммы:
[tex]\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})=\sum_{i=1}^{n}x_i-\sum_{i=1}^{n}\bar{x}[/tex]
Число [tex]\bar{x}[/tex] не зависит от [tex]i[/tex], поэтому вторая сумма состоит из [tex]n[/tex] равных слагаемых, а по определению среднего арифметического первая сумма тоже равна [tex]n\bar{x}[/tex]:
[tex]\sum_{i=1}^{n}\bar{x}=n\bar{x},\qquad \bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i\ \Rightarrow\ \sum_{i=1}^{n}x_i=n\bar{x}[/tex]
Следовательно,
[tex]\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})=n\bar{x}-n\bar{x}=0[/tex]
что и требовалось доказать. Иначе говоря, положительные и отрицательные отклонения от среднего всегда полностью компенсируют друг друга; поэтому меры рассеяния используют квадраты (или модули) отклонений.

Решение:
Оценкой математического ожидания служит выборочное среднее:
[tex]\bar{x}=\frac{2{,}1+3{,}2+4{,}6+2{,}9+3{,}5+4{,}1}{6}=\frac{20{,}4}{6}=3{,}4[/tex]
Отклонения от среднего равны [tex]-1{,}3; \ -0{,}2; \ 1{,}2; \ -0{,}5; \ 0{,}1; \ 0{,}7[/tex], а сумма их квадратов равна
[tex]\sum_{i=1}^{6}(x_i-\bar{x})^2=1{,}69+0{,}04+1{,}44+0{,}25+0{,}01+0{,}49=3{,}92[/tex]
Несмещённая оценка дисперсии получается делением на [tex]n-1=5[/tex], а не на [tex]n[/tex] (деление на [tex]n[/tex] даёт смещённую оценку, так как одна степень свободы уходит на оценивание среднего):
[tex]s^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2=\frac{3{,}92}{5}=0{,}784[/tex]

Решение:
Среднее квадратическое отклонение равно
[tex]\sigma=\sqrt{4}=2[/tex]
По неравенству Чебышёва, которое верно для любого набора данных независимо от его распределения, при каждом [tex]k\gt 1[/tex] доля данных, лежащих в интервале [tex]\left[\bar{x}-k\sigma; \bar{x}+k\sigma\right][/tex], не меньше [tex]1-\frac{1}{k^2}[/tex]. Эта гарантированная доля не меньше [tex]\frac{8}{9}[/tex] тогда и только тогда, когда
[tex]1-\frac{1}{k^2}\ge\frac{8}{9}\iff k^2\ge 9\iff k\ge 3[/tex]
поэтому самый узкий такой интервал получается при [tex]k=3[/tex]:
[tex]\left[60-3\cdot 2; 60+3\cdot 2\right]=\left[54; 66\right][/tex]
Обратите внимание, что на [tex]k[/tex] умножается среднее квадратическое отклонение [tex]2[/tex], а не дисперсия [tex]4[/tex].

Решение:
Точечной оценкой энергии служит выборочное среднее:
[tex]\bar{x}=\frac{260+216+259+206+265+284+291+229+249}{9}=\frac{2259}{9}=251[/tex]
Генеральная совокупность распределена нормально и [tex]\sigma[/tex] известно, поэтому [tex]\frac{\bar{X}-\mu}{\sigma}\sqrt{n}[/tex] имеет стандартное нормальное распределение, и [tex]95\%[/tex]-й доверительный интервал имеет вид [tex]\bar{x}\pm z_{0{,}975}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}[/tex]. Предельная погрешность равна
[tex]z_{0{,}975}\cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}=1{,}96\cdot \frac{10}{3}\approx 6{,}53[/tex]
Следовательно,
[tex]\mu\in\left[251-6{,}53; 251+6{,}53\right]=\left[244{,}47; 257{,}53\right][/tex]