Задачи на цилиндр, конус и шар - задачи с решениями

Решение:
Пусть [tex]O_1[/tex] и [tex]O_2[/tex] — центры сфер, а [tex]P[/tex] — произвольная общая точка двух сфер. Так как [tex]PO_1=PO_2=5[/tex], точка [tex]P[/tex] равноудалена от [tex]O_1[/tex] и [tex]O_2[/tex], поэтому лежит в плоскости, проходящей через середину [tex]M[/tex] отрезка [tex]O_1O_2[/tex] перпендикулярно ему. Значит, общая окружность лежит в этой плоскости.
Прямая [tex]O_1M[/tex] перпендикулярна этой плоскости, т.е. [tex]M[/tex] — основание перпендикуляра, опущенного из центра [tex]O_1[/tex] на плоскость окружности. Поэтому [tex]M[/tex] — центр общей окружности, а [tex]MP[/tex] — её радиус.
[tex]O_1M=\frac{O_1O_2}{2}=\frac{8}{2}=4[/tex]
Из прямоугольного [tex]\triangle O_1MP[/tex] ([tex]\angle O_1MP=90^{\circ}[/tex]) по теореме Пифагора
[tex]MP=\sqrt{O_1P^2-O_1M^2}=\sqrt{5^2-4^2}=\sqrt{9}=3[/tex]
Радиус окружности равен [tex]3[/tex] см.

Решение:
Так как [tex]40[/tex] мм — это [tex]4[/tex] см, радиус основания коробки и радиус каждого мяча равны [tex]r=2[/tex] см. Пять мячей, положенных один на другой, имеют общую высоту [tex]5\cdot 4=20[/tex] см, равную высоте коробки, поэтому они точно помещаются в ней.
Объём коробки:
[tex]V=\pi r^2h=\pi\cdot 2^2\cdot 20=80\pi[/tex]
Объём пяти мячей:
[tex]V_1=5\cdot \frac{4}{3}\pi r^3=5\cdot \frac{32\pi}{3}=\frac{160\pi}{3}[/tex]
Незаполненная часть имеет объём [tex]V-V_1[/tex], поэтому её доля в объёме коробки равна
[tex]\frac{V-V_1}{V}=\frac{80\pi-\frac{160\pi}{3}}{80\pi}=\frac{\frac{80\pi}{3}}{80\pi}=\frac{1}{3}[/tex]
Следовательно, [tex]\frac{1}{3}[/tex] объёма коробки остаётся незаполненной.

Решение:
Пусть [tex]K[/tex] и [tex]L[/tex] — середины [tex]AB[/tex] и [tex]CD[/tex]. В прямоугольнике серединный перпендикуляр к [tex]AB[/tex] является и серединным перпендикуляром к [tex]CD[/tex], т.е. это прямая [tex]KL[/tex]. Как серединный перпендикуляр к хорде [tex]AB[/tex], она проходит через центр [tex]O[/tex] окружности [tex]k[/tex].
Вписанный угол [tex]ABC[/tex] прямой, поэтому [tex]AC[/tex] — диаметр окружности [tex]k[/tex]:
[tex]AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{8^2+6^2}=10\Rightarrow R=\frac{AC}{2}=5[/tex]
При вращении окружности вокруг её диаметра, лежащего на [tex]KL[/tex], получается шар радиуса [tex]R=5[/tex]:
[tex]V_1=\frac{4}{3}\pi R^3=\frac{4}{3}\pi\cdot 5^3=\frac{500\pi}{3}[/tex]
При вращении прямоугольника вокруг [tex]KL[/tex] получается цилиндр с радиусом [tex]KB=\frac{AB}{2}=4[/tex] и высотой [tex]KL=BC=6[/tex]:
[tex]V_2=\pi\cdot KB^2\cdot KL=\pi\cdot 4^2\cdot 6=96\pi[/tex]
Следовательно,
[tex]\frac{V_1}{V_2}=\frac{500\pi}{3\cdot 96\pi}=\frac{125}{72}[/tex]

Решение:
Пусть [tex]O[/tex] и [tex]O_1[/tex] — центры большего и меньшего оснований, а [tex]AA_1[/tex] — образующая ([tex]A[/tex] лежит на большем основании, [tex]A_1[/tex] — на меньшем). В осевом сечении четырёхугольник [tex]OAA_1O_1[/tex] — прямоугольная трапеция с [tex]OA=R[/tex] и [tex]O_1A_1=r[/tex].
Опустим перпендикуляр [tex]A_1H[/tex] на [tex]OA[/tex]. Тогда [tex]A_1H=12[/tex] — высота и [tex]AH=R-r[/tex]; из прямоугольного треугольника [tex]AHA_1[/tex] по теореме Пифагора:
[tex]R-r=\sqrt{13^2-12^2}=5[/tex]
Площадь боковой поверхности усечённого конуса равна [tex]S=\pi(R+r)l[/tex], поэтому
[tex]\pi(R+r)\cdot 13=91\pi\Rightarrow R+r=7[/tex]
Решаем систему:
[tex]\begin{cases}R+r=7\\R-r=5\end{cases}\Rightarrow R=6; \ r=1[/tex]
Радиусы равны [tex]6[/tex] см и [tex]1[/tex] см.

Решение:
Пусть [tex]r[/tex] — радиус основания, а [tex]l[/tex] — образующая. Развёртка боковой поверхности — круговой сектор радиуса [tex]l[/tex] с центральным углом [tex]72^{\circ}[/tex], и длина его дуги равна длине окружности основания:
[tex]2\pi r=\frac{72^{\circ}}{360^{\circ}}\cdot 2\pi l=\frac{2\pi l}{5}\Rightarrow l=5r[/tex]
Площадь полной поверхности равна сумме площади основания и площади боковой поверхности:
[tex]S=\pi r^2+\pi rl=\pi r^2+5\pi r^2=6\pi r^2[/tex]
Из [tex]6\pi r^2=6\pi[/tex] получаем [tex]r^2=1[/tex], т.е. [tex]r=1[/tex] см.

Решение:
Пусть [tex]R[/tex] и [tex]r[/tex] — радиусы большего и меньшего оснований усечённого конуса, а [tex]h[/tex] — его высота. Одно основание цилиндра — меньшее основание усечённого конуса, а другое лежит в плоскости большего основания, поэтому радиус цилиндра равен [tex]r[/tex], а высота равна [tex]h[/tex] (расстоянию между плоскостями оснований).
Объёмы цилиндра и усечённого конуса равны
[tex]V_1=\pi r^2h,\qquad V_2=\frac{1}{3}\pi h\left(R^2+Rr+r^2\right)[/tex]
Из [tex]V_2=7V_1[/tex]:
[tex]\frac{1}{3}\pi h\left(R^2+Rr+r^2\right)=7\pi r^2h\Rightarrow R^2+Rr+r^2=21r^2\Rightarrow R^2+Rr-20r^2=0[/tex]
Разделим на [tex]r^2[/tex] и положим [tex]x=\frac{R}{r}[/tex]:
[tex]x^2+x-20=0\Rightarrow x_1=4; \ x_2=-5[/tex]
Так как [tex]x\gt 0[/tex], то [tex]x=4[/tex], т.е. радиус большего основания в [tex]4[/tex] раза больше радиуса меньшего.

Решение:
Пусть [tex]O[/tex] — центр сферы, а [tex]a[/tex], [tex]b[/tex], [tex]c[/tex] — измерения параллелепипеда. Две противоположные грани лежат в параллельных плоскостях, касающихся сферы, а расстояние от [tex]O[/tex] до касательной плоскости равно радиусу [tex]2[/tex].
Сфера находится внутри параллелепипеда, поэтому точка [tex]O[/tex] лежит между этими плоскостями и расстояние между ними равно [tex]2+2=4[/tex]. Это верно для каждой из трёх пар противоположных граней:
[tex]a=b=c=4[/tex]
Значит, параллелепипед — куб с ребром, равным диаметру сферы, и его объём равен [tex]V=4^3=64[/tex] куб. см.

Решение:
Осевое сечение — равнобедренная трапеция [tex]ABCD[/tex] с основаниями [tex]AB=2R=60[/tex], [tex]CD=2r=28[/tex] и боковыми сторонами [tex]AD=BC=l[/tex] (образующими), причём [tex]\angle ADC=120^{\circ}[/tex]. Так как [tex]AB\parallel CD[/tex], то [tex]\angle DAB=180^{\circ}-120^{\circ}=60^{\circ}[/tex].
Пусть [tex]DH\perp AB[/tex], [tex]H\in AB[/tex]. В равнобедренной трапеции [tex]AH=\frac{AB-CD}{2}=R-r=16[/tex], и из прямоугольного треугольника [tex]AHD[/tex]
[tex]l=AD=\frac{AH}{\cos 60^{\circ}}=\frac{16}{\frac{1}{2}}=32[/tex]
Площадь боковой поверхности и площади двух оснований равны
[tex]\pi(R+r)l=\pi\cdot 44\cdot 32=1408\pi,\quad \pi R^2=900\pi,\quad \pi r^2=196\pi[/tex]
Следовательно, площадь полной поверхности равна
[tex]S=1408\pi+900\pi+196\pi=2504\pi[/tex]

Решение:
Пусть прямой угол при вершине [tex]C[/tex], меньший катет [tex]CA=2k[/tex], больший катет [tex]CB=3k[/tex], а ось [tex]s[/tex] проходит через [tex]B[/tex] параллельно [tex]CA[/tex]. Тогда [tex]CB\perp s[/tex], и точки [tex]C[/tex] и [tex]A[/tex] находятся на расстоянии [tex]3k[/tex] от [tex]s[/tex]. Пусть [tex]B_1[/tex] — проекция [tex]A[/tex] на [tex]s[/tex]; тогда [tex]BB_1=2k[/tex] и [tex]B_1A=3k[/tex].
При вращении катет [tex]CB[/tex] описывает круг с центром [tex]B[/tex] и радиусом [tex]3k[/tex], катет [tex]CA[/tex] описывает боковую поверхность цилиндра радиуса [tex]3k[/tex] и высоты [tex]2k[/tex], а гипотенуза [tex]AB[/tex] описывает боковую поверхность конуса с вершиной [tex]B[/tex], радиусом основания [tex]B_1A=3k[/tex] и образующей [tex]AB=\sqrt{4k^2+9k^2}=k\sqrt{13}[/tex]. Значит, тело — этот цилиндр, из которого удалён конус:
[tex]V=\pi(3k)^2\cdot 2k-\frac{1}{3}\pi(3k)^2\cdot 2k=18\pi k^3-6\pi k^3=12\pi k^3=12\pi\Rightarrow k=1[/tex]
Следовательно, [tex]CA=2[/tex], [tex]CB=3[/tex], [tex]AB=\sqrt{13}[/tex]. Поверхность тела состоит из круга, боковой поверхности цилиндра и боковой поверхности удалённого конуса (другое основание цилиндра является основанием удалённого конуса и не входит в поверхность):
[tex]S=\pi\cdot 3^2+2\pi\cdot 3\cdot 2+\pi\cdot 3\cdot \sqrt{13}=9\pi+12\pi+3\sqrt{13}\pi=(21+3\sqrt{13})\pi[/tex]

Решение:
Пусть [tex]r[/tex] — радиус основания, а [tex]h[/tex] — высота цилиндра. Осевое сечение — прямоугольник со сторонами [tex]2r[/tex] (диаметр основания) и [tex]h[/tex] (образующая); он является квадратом, поэтому [tex]h=2r[/tex]. Тогда площадь боковой поверхности равна
[tex]S=2\pi rh=2\pi r\cdot 2r=4\pi r^2=12\Rightarrow \pi r^2=3[/tex]
Значит, площадь одного основания [tex]B=\pi r^2=3[/tex] (находить само [tex]r[/tex] не нужно), а площадь полной поверхности равна
[tex]S_1=S+2B=12+2\cdot 3=18[/tex]

Решение:
Разрежем цилиндр плоскостями, параллельными основаниям, на [tex]4[/tex] равных цилиндра высотой [tex]\frac{12}{4}=3[/tex]. Нить намотана равномерно и делает [tex]4[/tex] полных оборота, поэтому на каждом маленьком цилиндре она делает ровно один полный оборот, и четыре куска нити равны.
Разрежем боковую поверхность одного маленького цилиндра по образующей, проходящей через начальную точку его куска нити, и развернём её на плоскость. Получим прямоугольник со сторонами [tex]4[/tex] (длина окружности основания) и [tex]3[/tex] (высота). Так как нить поднимается равномерно, её кусок превращается в диагональ этого прямоугольника. По теореме Пифагора его длина равна
[tex]\sqrt{4^2+3^2}=5[/tex]
Следовательно, длина всей нити равна
[tex]4\cdot 5=20[/tex]

Решение:
Пусть [tex]r[/tex] — радиус косточки. Её диаметр [tex]2r[/tex] равен толщине мякоти, поэтому радиус черешни равен [tex]R=r+2r=3r[/tex]. Отношение объёмов косточки и черешни равно
[tex]\frac{\frac{4}{3}\pi r^3}{\frac{4}{3}\pi (3r)^3}=\frac{1}{27}[/tex]
Так как косточка и мякоть имеют одинаковую плотность, массы пропорциональны объёмам, т.е. косточка составляет [tex]\frac{1}{27}[/tex] массы каждой черешни, независимо от её размера. Значит, косточки в [tex]1[/tex] кг черешни весят [tex]\frac{1}{27}[/tex] кг и стоят [tex]\frac{2{,}70}{27}=0{,}10[/tex] евро, т.е. [tex]10[/tex] евроцентов.

Решение:
Пусть катеты равны [tex]a[/tex] и [tex]b[/tex], а гипотенуза равна [tex]c[/tex]. По теореме Пифагора
[tex]c^2=a^2+b^2[/tex]
Сфера с диаметром [tex]d[/tex] имеет радиус [tex]\frac{d}{2}[/tex], поэтому её площадь равна
[tex]4\pi\left(\frac{d}{2}\right)^2=\pi d^2[/tex]
Значит, площади трёх сфер равны [tex]\pi a^2[/tex], [tex]\pi b^2[/tex] и [tex]\pi c^2[/tex]. Умножив равенство Пифагора на [tex]\pi[/tex], получаем
[tex]\pi c^2=\pi a^2+\pi b^2[/tex]
т.е. площадь сферы с диаметром-гипотенузой равна сумме площадей сфер, диаметрами которых являются катеты.