Линейное программирование и оптимизация - задачи с решениями

Решение:
Пусть [tex]x_1\ge 0[/tex] и [tex]x_2\ge 0[/tex] — количества продуктов [tex]P_1[/tex] и [tex]P_2[/tex] в смеси. Нужно минимизировать стоимость [tex]Z[/tex] при ограничениях:
[tex]Z=3x_1+2x_2\to\min,\qquad 5x_1+x_2\ge 10,\quad x_1+x_2\ge 6,\quad x_1+2x_2\ge 8[/tex]
Каждое ограничение задаёт полуплоскость над соответствующей граничной прямой, поэтому допустимое множество неограниченно. Его вершины — точки пересечения последовательных граничных прямых:
[tex]x_1=0,\ 5x_1+x_2=10\Rightarrow A\left(0 ; 10\right)[/tex]
[tex]5x_1+x_2=10,\ x_1+x_2=6\Rightarrow 4x_1=4\Rightarrow B\left(1 ; 5\right)[/tex]
[tex]x_1+x_2=6,\ x_1+2x_2=8\Rightarrow x_2=2\Rightarrow C\left(4 ; 2\right)[/tex]
[tex]x_1+2x_2=8,\ x_2=0\Rightarrow D\left(8 ; 0\right)[/tex]
Каждая из этих точек удовлетворяет всем ограничениям (например, в [tex]B[/tex]: [tex]x_1+2x_2=11\ge 8[/tex]). Хотя множество неограниченно, коэффициенты [tex]Z[/tex] положительны, поэтому [tex]Z\ge 0[/tex] ограничена снизу и её минимум достигается в вершине:
[tex]Z(A)=20,\quad Z(B)=13,\quad Z(C)=16,\quad Z(D)=24[/tex]
Проверка без чертежа: для любой допустимой точки
[tex]3x_1+2x_2=\frac{1}{4}\left(5x_1+x_2\right)+\frac{7}{4}\left(x_1+x_2\right)\ge\frac{10}{4}+\frac{42}{4}=13[/tex]
Самая дешёвая смесь ([tex]x_1=1[/tex], [tex]x_2=5[/tex]) стоит [tex]13[/tex] евро.

Решение:
Допустимое множество [tex]D[/tex] — выпуклый многогранник; оно непусто (содержит начало координат) и ограничено (так как [tex]0\le x_i\le 1[/tex]). Линейная функция непрерывна, поэтому на связном компактном множестве [tex]D[/tex] она принимает ровно все значения отрезка [tex]\left[z_{\min} ; z_{\max}\right][/tex].
Так как [tex]x_1, x_2, x_3\ge 0[/tex], имеем [tex]z\le 0[/tex], а в допустимой точке [tex]\left(0 ; 0 ; 0\right)[/tex] выполнено [tex]z=0[/tex]:
[tex]z_{\max}=0[/tex]
Из третьего ограничения [tex]z=-\left(x_1+x_2+x_3\right)\ge -1[/tex]. Точка [tex]\left(1 ; 0 ; 0\right)[/tex] допустима ([tex]3\le 6[/tex], [tex]1\le 6[/tex], [tex]1\le 1[/tex]), и в ней [tex]z=-1[/tex]:
[tex]z_{\min}=-1[/tex]
(Первые два ограничения на самом деле лишние: [tex]3x_1+3x_2+x_3\le 3\left(x_1+x_2+x_3\right)\le 3\lt 6[/tex] и аналогично [tex]x_1+x_2+3x_3\le 3\lt 6[/tex].) Множество значений — [tex]\left[-1 ; 0\right][/tex].

Решение:
При цене [tex]x[/tex] фирма продаёт [tex]d(x)=400-10x[/tex] изделий, что имеет смысл при [tex]0\le x\le 40[/tex]. Прибыль равна выручке минус общие затраты:
[tex]P(x)=x\left(400-10x\right)-10\left(400-10x\right)-2000=\left(x-10\right)\left(400-10x\right)-2000=-10x^2+500x-6000[/tex]
Производная обращается в нуль при [tex]x=25\in\left[0 ; 40\right][/tex], а так как [tex]P''(x)=-20\lt 0[/tex] (ветви параболы направлены вниз), эта критическая точка — глобальный максимум:
[tex]P'(x)=-20x+500=0\Rightarrow x=25,\qquad d(25)=150[/tex]
[tex]P(25)=15\cdot 150-2000=2250-2000=250[/tex]
Наибольшая прибыль равна [tex]250[/tex] евро (при цене [tex]25[/tex] евро за изделие).