Квадратичная функция и парабола - задачи с решениями

Решение:
Координаты вершины:
[tex]x_V=-\frac{b}{2a}=-\frac{4}{2}=-2,\quad y_V=(-2)^2+4\cdot (-2)+5=1[/tex]
Действительно, [tex]y=(x+2)^2+1[/tex], поэтому вершина — [tex]V(-2; 1)[/tex]. Расстояние от точки до оси ординат (прямой [tex]x=0[/tex]) равно модулю её абсциссы:
[tex]d=|x_V|=|-2|=2[/tex]
(Число [tex]1[/tex] — это расстояние от вершины до оси абсцисс, а не до оси ординат.)

Решение:
Наименьшее значение [tex]0[/tex] достигается при [tex]x=1[/tex], значит, [tex](1; 0)[/tex] — вершина параболы, а её ветви направлены вверх:
[tex]f(x)=a(x-1)^2,\quad a\gt 0[/tex]
Из [tex]f(-1)=8[/tex] получаем
[tex]a\cdot (-1-1)^2=4a=8\Rightarrow a=2\gt 0[/tex]
Следовательно, [tex]f(x)=2(x-1)^2=2x^2-4x+2[/tex] и
[tex]f(-2)=2\cdot (-3)^2=18[/tex]

Решение:
Так как [tex]a=b+6[/tex], произведение является квадратичной функцией от [tex]b[/tex] с положительным старшим коэффициентом:
[tex]ab=b(b+6)=b^2+6b=(b+3)^2-9\ge -9[/tex]
Равенство достигается в вершине [tex]b=-3[/tex], т.е. при [tex]a=3[/tex], [tex]b=-3[/tex]. Значит, наименьшее значение [tex]ab[/tex] равно [tex]-9[/tex].

Решение:
Выделим полный квадрат:
[tex]f(x)=-x^2-2x+19=-(x+1)^2+20[/tex]
Ветви параболы направлены вниз, её вершина — [tex](-1; 20)[/tex]. Так как [tex]-1\in\left[-2; 1\right][/tex], наибольшее значение равно [tex]f(-1)=20[/tex]. Функция возрастает на [tex]\left[-2; -1\right][/tex] и убывает на [tex]\left[-1; 1\right][/tex], поэтому наименьшее значение достигается на одном из концов отрезка:
[tex]f(-2)=19+4-4=19,\quad f(1)=19-2-1=16[/tex]
Значит, наименьшее значение равно [tex]16[/tex], а искомая сумма равна
[tex]20+16=36[/tex]

Решение:
Пусть одна сторона прямоугольника равна [tex]x[/tex] м. Полупериметр равен [tex]4[/tex] м, поэтому другая сторона равна [tex]4-x[/tex] м, причём [tex]0\lt x\lt 4[/tex]. Площадь равна
[tex]S(x)=x(4-x)=-x^2+4x=4-(x-2)^2\le 4[/tex]
Ветви параболы направлены вниз, а её вершина [tex]x=2[/tex] лежит в интервале [tex]\left(0; 4\right)[/tex], поэтому наибольшая площадь равна [tex]S(2)=4[/tex]: окно — квадрат со стороной [tex]2[/tex] м, и его площадь равна [tex]4[/tex] квадратным метрам.

Решение:
Запишем функцию в виде
[tex]y=5+2x-x^2=-(x-1)^2+6[/tex]
Параллельный перенос не меняет старший коэффициент (форму параболы и направление её ветвей), а меняет только положение вершины. С новой вершиной [tex](4; 6)[/tex] получаем
[tex]y=-(x-4)^2+6=-x^2+8x-16+6=-x^2+8x-10[/tex]
То же самое можно получить иначе: сдвиг на [tex]3[/tex] единицы вправо означает замену [tex]x[/tex] на [tex]x-3[/tex]:
[tex]5+2(x-3)-(x-3)^2=-x^2+8x-10[/tex]
(Замена [tex]x[/tex] на [tex]x+3[/tex] перенесла бы вершину в [tex](-2; 6)[/tex], прибавление [tex]3[/tex] к функции — в [tex](1; 9)[/tex], а ветви параболы [tex]y=x^2-8x+22[/tex] направлены вверх.)

Решение:
График не имеет общих точек с осью абсцисс, значит, дискриминант отрицателен и парабола целиком лежит выше оси (при [tex]a\gt 0[/tex]) или целиком ниже неё (при [tex]a\lt 0[/tex]).
Точка [tex](1; f(1))[/tex] графика лежит выше оси, так как [tex]f(1)\gt 0[/tex], значит, вся парабола лежит выше оси. Поэтому её ветви направлены вверх и [tex]f(x)\gt 0[/tex] при всех [tex]x[/tex]; в частности, при [tex]x=0[/tex]:
[tex]a\gt 0,\quad c=f(0)\gt 0[/tex]