Квадратичная функция и парабола - очень сложные задачи с решениями

Решение:
Подставим координаты трёх точек:
[tex]\left\{\begin{array}{l} 4a-2b+c=7 \\ a-b+c=3 \\ 9a+3b+c=7 \end{array}\right.[/tex]
Вычитая первое уравнение из третьего, получаем [tex]5a+5b=0[/tex], т.е. [tex]b=-a[/tex]; тогда [tex]6a+c=7[/tex] и [tex]2a+c=3[/tex], откуда [tex]a=1[/tex], [tex]b=-1[/tex], [tex]c=1[/tex] и
[tex]f(x)=x^2-x+1[/tex]
Угловой коэффициент прямой [tex]BD[/tex] равен [tex]\frac{7-3}{3+1}=1[/tex], поэтому её уравнение [tex]y=x+4[/tex], а [tex]BD=\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt{2}[/tex]. Диагональ [tex]BD[/tex] делит [tex]ABCD[/tex] на треугольники [tex]ABD[/tex] и [tex]CBD[/tex], причём [tex]A[/tex] и [tex]C[/tex] лежат по разные стороны от [tex]BD[/tex].
Треугольник [tex]ABD[/tex] фиксирован: [tex]AD[/tex] лежит на прямой [tex]y=7[/tex], [tex]AD=5[/tex], а расстояние от [tex]B[/tex] до этой прямой равно [tex]4[/tex], поэтому
[tex]S_{ABD}=\frac{1}{2}\cdot 5\cdot 4=10[/tex]
Точка [tex]A[/tex] лежит выше прямой [tex]BD[/tex] (при [tex]x=-2[/tex] на прямой [tex]y=2\lt 7[/tex]), значит, [tex]C[/tex] должна лежать ниже неё:
[tex]x^2-x+1\lt x+4\Leftrightarrow (x+1)(x-3)\lt 0\Leftrightarrow -1\lt x\lt 3[/tex]
Пусть [tex]C\left(t; t^2-t+1\right)[/tex], где [tex]-1\lt t\lt 3[/tex]. Расстояние по вертикали от [tex]C[/tex] до прямой равно [tex](t+4)-(t^2-t+1)=4-(t-1)^2[/tex], а так как прямая образует с осями угол [tex]45^\circ[/tex], расстояние от [tex]C[/tex] до [tex]BD[/tex] равно [tex]\frac{4-(t-1)^2}{\sqrt{2}}[/tex]. Следовательно,
[tex]S_{CBD}=\frac{1}{2}\cdot 4\sqrt{2}\cdot \frac{4-(t-1)^2}{\sqrt{2}}=2\left(4-(t-1)^2\right)\le 8[/tex]
причём равенство достигается только при [tex]t=1[/tex], т.е. для [tex]C(1; 1)[/tex] (точка, в которой касательная [tex]y=x[/tex] параллельна [tex]BD[/tex]). Для [tex]C(1; 1)[/tex] отрезки [tex]AC[/tex] и [tex]BD[/tex] пересекаются в точке [tex]\left(-\frac{1}{3}; \frac{11}{3}\right)[/tex], внутренней для обоих, так что [tex]ABCD[/tex] действительно выпуклый четырёхугольник с диагоналями [tex]AC[/tex] и [tex]BD[/tex]. Наибольшая площадь равна
[tex]S_{ABCD}=S_{ABD}+S_{CBD}=10+8=18[/tex]

Решение:
Пусть [tex]A(x_1; 0)[/tex] и [tex]B(x_2; 0)[/tex], где [tex]x_1\ne x_2[/tex] — корни уравнения [tex]x^2+px+q=0[/tex], и [tex]C(0; q)[/tex]. Так как [tex]q\ne 0[/tex], точка [tex]C[/tex] не лежит на оси абсцисс, поэтому [tex]A[/tex], [tex]B[/tex], [tex]C[/tex] не лежат на одной прямой и через них проходит ровно одна окружность. Пусть её уравнение имеет вид
[tex]x^2+y^2+Dx+Ey+F=0[/tex]
Её общие точки с осью абсцисс ([tex]y=0[/tex]) удовлетворяют уравнению [tex]x^2+Dx+F=0[/tex]. Так как [tex]A[/tex] и [tex]B[/tex] лежат на окружности, это уравнение имеет различные корни [tex]x_1[/tex] и [tex]x_2[/tex], поэтому
[tex]x^2+Dx+F=(x-x_1)(x-x_2)=x^2+px+q\Rightarrow D=p,\quad F=q[/tex]
Точка [tex]C(0; q)[/tex] лежит на окружности, а [tex]q\ne 0[/tex]:
[tex]q^2+Eq+q=0\Rightarrow q+E+1=0\Rightarrow E=-(q+1)[/tex]
Значит, окружность, проходящая через [tex]A[/tex], [tex]B[/tex], [tex]C[/tex], имеет уравнение
[tex]x^2+y^2+px-(q+1)y+q=0[/tex]
Подставим координаты точки [tex]P(0; 1)[/tex]:
[tex]0+1+0-(q+1)+q=0[/tex]
что верно. Следовательно, и [tex]P[/tex] лежит на этой окружности, т.е. точки [tex]A[/tex], [tex]B[/tex], [tex]C[/tex] и [tex]P[/tex] лежат на одной окружности. (Если [tex]q=1[/tex], то [tex]C=P[/tex] и утверждение очевидно.)

Решение:
Пусть [tex]g(x)=ax^2+bx+c[/tex]. Для любой такой функции
[tex]g(4)-3g(3)+3g(2)-g(1)=a(16-27+12-1)+b(4-9+6-1)+c(1-3+3-1)=0[/tex]
поэтому
[tex]g(4)=g(1)-3g(2)+3g(3)[/tex]
Числа [tex]1[/tex], [tex]2[/tex], [tex]3[/tex] принадлежат отрезку [tex]\left[1; 3\right][/tex], поэтому [tex]|g(1)|\le 1[/tex], [tex]|g(2)|\le 1[/tex], [tex]|g(3)|\le 1[/tex]. Следовательно,
[tex]g(4)\le |g(1)|+3|g(2)|+3|g(3)|\le 1+3+3=7[/tex]
Оценка достигается: функция [tex]g(x)=2(x-2)^2-1=2x^2-8x+7[/tex] удовлетворяет условию [tex]-1\le g(x)\le 1[/tex] на [tex]\left[1; 3\right][/tex] (её наименьшее значение там [tex]g(2)=-1[/tex], а наибольшее [tex]g(1)=g(3)=1[/tex]), и [tex]g(4)=7[/tex].

Решение:
Сначала заметим, что [tex]a\ne 0[/tex]: при [tex]a=0[/tex] условие приняло бы вид [tex](b-c)^2\lt 0[/tex], что невозможно. Возьмём
[tex]x_0=\frac{c-b}{2a},\qquad ax_0=\frac{c-b}{2}[/tex]
Тогда
[tex]f(x_0)=x_0^2+\frac{c-b}{2}+b=x_0^2+\frac{b+c}{2},\qquad g(x_0)=x_0^2-\frac{c-b}{2}+c=x_0^2+\frac{b+c}{2}[/tex]
Следовательно, в силу условия,
[tex]f(x_0)=g(x_0)=\frac{(b-c)^2}{4a^2}+\frac{b+c}{2}=\frac{(b-c)^2+2a^2(b+c)}{4a^2}\lt 0[/tex]
Каждая из функций [tex]f[/tex] и [tex]g[/tex] имеет старший коэффициент [tex]1\gt 0[/tex] (ветви её параболы направлены вверх) и принимает отрицательное значение в точке [tex]x_0[/tex]. Значит, её наименьшее значение [tex]-\frac{D}{4}[/tex] отрицательно, т.е. её дискриминант [tex]D[/tex] положителен, и её парабола пересекает ось абсцисс в двух точках, по одной с каждой стороны от [tex]x_0[/tex]. Следовательно, каждое из уравнений [tex]f(x)=0[/tex] и [tex]g(x)=0[/tex] имеет два различных действительных корня.

Решение:
Пусть [tex]f(x)=x^2-2mx+8[/tex]. Тогда
[tex]\frac{D}{4}=m^2-8[/tex]
Если [tex]m^2\le 8[/tex], т.е. [tex]|m|\le 2\sqrt{2}[/tex], то [tex]f(x)\ge 0[/tex] при всех действительных [tex]x[/tex], в частности при всех целых [tex]x[/tex].
Пусть [tex]m^2\gt 8[/tex]. Тогда [tex]f[/tex] имеет корни [tex]x_1\lt x_2[/tex] и [tex]f(x)\lt 0[/tex] ровно при [tex]x\in\left(x_1; x_2\right)[/tex], поэтому условие означает, что этот интервал не содержит целых чисел. Выражение не меняется при замене [tex]m[/tex] и [tex]x[/tex] на [tex]-m[/tex] и [tex]-x[/tex], а [tex]-x[/tex] целое тогда и только тогда, когда [tex]x[/tex] целое; значит, множество подходящих [tex]m[/tex] симметрично относительно [tex]0[/tex] и достаточно рассмотреть [tex]m\gt 2\sqrt{2}[/tex]. По теореме Виета
[tex]x_1+x_2=2m\gt 0,\quad x_1x_2=8\Rightarrow 0\lt x_1\lt 2\sqrt{2}\lt x_2[/tex]
Так как [tex]2\lt 2\sqrt{2}\lt 3[/tex], интервал [tex]\left(x_1; x_2\right)[/tex] не содержит целых чисел тогда и только тогда, когда [tex]x_1\ge 2[/tex] и [tex]x_2\le 3[/tex]. Поскольку [tex]x_2\gt 2[/tex], условие [tex]x_1\ge 2[/tex] равносильно [tex]f(2)\ge 0[/tex]; поскольку [tex]x_1\lt 3[/tex], условие [tex]x_2\le 3[/tex] равносильно [tex]f(3)\ge 0[/tex]:
[tex]f(2)=12-4m\ge 0\Rightarrow m\le 3,\qquad f(3)=17-6m\ge 0\Rightarrow m\le\frac{17}{6}[/tex]
Так как [tex]\left(\frac{17}{6}\right)^2=\frac{289}{36}\gt 8[/tex], получаем [tex]2\sqrt{2}\lt m\le\frac{17}{6}[/tex]. При [tex]m=\frac{17}{6}[/tex] корни равны [tex]\frac{8}{3}[/tex] и [tex]3[/tex], а [tex]f(3)=0[/tex] допустимо, поэтому этот конец включается. По симметрии также [tex]-\frac{17}{6}\le m\lt -2\sqrt{2}[/tex]. Вместе с [tex]|m|\le 2\sqrt{2}[/tex] получаем
[tex]m\in\left[-\frac{17}{6}; \frac{17}{6}\right][/tex]

Решение:
Выделим полный квадрат:
[tex]f(x)=(2x-a)^2-2a+2[/tex]
Ветви параболы направлены вверх, её вершина находится в точке [tex]x_0=\frac{a}{2}[/tex] и [tex]f(x_0)=2-2a[/tex]. Рассмотрим положение [tex]x_0[/tex] относительно отрезка [tex]\left[0; 2\right][/tex].
Случай [tex]1[/tex]: [tex]\frac{a}{2}\lt 0[/tex], т.е. [tex]a\lt 0[/tex]. Тогда [tex]f[/tex] возрастает на [tex]\left[0; 2\right][/tex] и её наименьшее значение равно [tex]f(0)[/tex]:
[tex]a^2-2a+2=3\Rightarrow a^2-2a-1=0\Rightarrow a=1\pm\sqrt{2}[/tex]
Условию случая удовлетворяет только [tex]a=1-\sqrt{2}\lt 0[/tex].
Случай [tex]2[/tex]: [tex]0\le\frac{a}{2}\le 2[/tex], т.е. [tex]0\le a\le 4[/tex]. Наименьшее значение достигается в вершине:
[tex]2-2a=3\Rightarrow a=-\frac{1}{2}\notin\left[0; 4\right][/tex]
поэтому этот случай решений не даёт.
Случай [tex]3[/tex]: [tex]\frac{a}{2}\gt 2[/tex], т.е. [tex]a\gt 4[/tex]. Тогда [tex]f[/tex] убывает на [tex]\left[0; 2\right][/tex] и её наименьшее значение равно [tex]f(2)[/tex]:
[tex]16-8a+a^2-2a+2=3\Rightarrow a^2-10a+15=0\Rightarrow a=5\pm\sqrt{10}[/tex]
Так как [tex]5-\sqrt{10}\lt 2\lt 4[/tex], условию случая удовлетворяет только [tex]a=5+\sqrt{10}[/tex]. Следовательно,
[tex]a\in\left\{1-\sqrt{2}; 5+\sqrt{10}\right\}[/tex]

Решение:
Ось симметрии параболы — прямая [tex]x=1[/tex], поэтому
[tex]f(x)=a(x-1)^2+k,\quad a\lt 0[/tex]
Парабола касается (невертикальной) прямой ровно тогда, когда уравнение [tex]a(x-1)^2+k=-2x-3[/tex], т.е. [tex]ax^2+(2-2a)x+a+k+3=0[/tex], имеет двойной корень:
[tex]\frac{D}{4}=(1-a)^2-a(a+k+3)=1-5a-ak=0\Rightarrow k=\frac{1-5a}{a}=\frac{1}{a}-5[/tex]
Парабола пересекает ось ординат в точке с ординатой
[tex]f(0)=a+k=a+\frac{1}{a}-5[/tex]
При [tex]a\lt 0[/tex] по неравенству о среднем арифметическом и среднем геометрическом
[tex]a+\frac{1}{a}=-\left(|a|+\frac{1}{|a|}\right)\le -2[/tex]
причём равенство достигается только при [tex]a=-1[/tex]. Значит, наибольшее значение [tex]f(0)[/tex] равно [tex]-2-5=-7[/tex] и достигается при [tex]a=-1[/tex], [tex]k=-6[/tex]:
[tex]f(x)=-(x-1)^2-6=-x^2+2x-7[/tex]
Проверка: [tex]-x^2+2x-7=-2x-3\Leftrightarrow (x-2)^2=0[/tex], поэтому парабола касается прямой в точке [tex](2; -7)[/tex].