Квадратичная функция и парабола - сложные задачи с решениями

Решение:
Свободный член [tex]f(x+k)[/tex] — это её значение при [tex]x=0[/tex], т.е. [tex]f(k)[/tex]. Значит, [tex]k[/tex] должно удовлетворять уравнению
[tex]4k^2+15k-4=0,\quad D=225+64=289,\quad k=\frac{-15\pm 17}{8}[/tex]
т.е. [tex]k=\frac{1}{4}[/tex] или [tex]k=-4[/tex]. Меньшее из них — [tex]k_1=-4[/tex], и
[tex]f(x-4)=4(x-4)^2+15(x-4)-4=4x^2-32x+64+15x-60-4=4x^2-17x=x(4x-17)[/tex]
Её нули: [tex]x=0[/tex] и [tex]x=\frac{17}{4}[/tex], поэтому точки пересечения — [tex](0; 0)[/tex] и [tex]\left(\frac{17}{4}; 0\right)[/tex].
Проверка: график [tex]f(x-4)[/tex] — это график [tex]f[/tex], сдвинутый на [tex]4[/tex] единицы вправо, поэтому нули [tex]-4[/tex] и [tex]\frac{1}{4}[/tex] функции [tex]f[/tex] переходят в [tex]0[/tex] и [tex]\frac{17}{4}[/tex].

Решение:
Так как [tex]x=-1[/tex] — ось симметрии, [tex]f(x)=a(x+1)^2+n[/tex], где [tex]a\ne 0[/tex]. Из [tex]f(0)=a+n=1[/tex] получаем [tex]n=1-a[/tex], т.е.
[tex]f(x)=a(x+1)^2+1-a[/tex]
Отрезок [tex]\left[2; 4\right][/tex] лежит правее оси [tex]x=-1[/tex], поэтому [tex]f[/tex] на нём монотонна. Если [tex]a\gt 0[/tex], то [tex]f[/tex] возрастает на [tex]\left[2; 4\right][/tex] и её наименьшее значение равно
[tex]f(2)=9a+1-a=8a+1=-7\Rightarrow a=-1[/tex]
что противоречит условию [tex]a\gt 0[/tex]. Если [tex]a\lt 0[/tex], то [tex]f[/tex] убывает на [tex]\left[2; 4\right][/tex] и её наименьшее значение равно
[tex]f(4)=25a+1-a=24a+1=-7\Rightarrow a=-\frac{1}{3}\lt 0[/tex]
Следовательно,
[tex]f(x)=-\frac{1}{3}(x+1)^2+\frac{4}{3}=-\frac{1}{3}x^2-\frac{2}{3}x+1[/tex]
Проверка: [tex]f(0)=1[/tex], [tex]f(4)=-7[/tex] и [tex]f(2)=-\frac{5}{3}\gt -7[/tex].

Решение:
Старший коэффициент равен [tex]-3\lt 0[/tex], поэтому ветви параболы направлены вниз: [tex]f[/tex] возрастает на [tex]\left(-\infty; x_0\right][/tex] и убывает на [tex]\left[x_0; +\infty\right)[/tex], где
[tex]x_0=-\frac{-a}{2\cdot (-3)}=-\frac{a}{6}[/tex]
Если [tex]x_0\le -1[/tex], то [tex]\left(-1; 2\right)\subset\left[x_0; +\infty\right)[/tex] и [tex]f[/tex] убывает на интервале. Если [tex]x_0\gt -1[/tex], то [tex]f[/tex] возрастает на непустой части [tex]\left(-1; \min\left\{x_0; 2\right\}\right)[/tex] интервала, т.е. не является на нём убывающей. Значит, условие имеет вид
[tex]-\frac{a}{6}\le -1\Leftrightarrow a\ge 6[/tex]
При [tex]a=6[/tex] вершина находится ровно в точке [tex]x=-1[/tex] и [tex]f[/tex] убывает на [tex]\left[-1; +\infty\right)[/tex], поэтому значение [tex]a=6[/tex] подходит. Итак, [tex]a\in\left[6; +\infty\right)[/tex].

Решение:
Абсциссы общих точек — решения уравнения [tex]x^2-2x-3=ax^2[/tex] (каждому решению соответствует ровно одна общая точка), т.е. уравнения
[tex](1-a)x^2-2x-3=0[/tex]
При [tex]a=1[/tex] уравнение линейное: [tex]-2x-3=0[/tex], его единственное решение [tex]x=-\frac{3}{2}[/tex]; общая точка ровно одна: [tex]\left(-\frac{3}{2}; \frac{9}{4}\right)[/tex].
При [tex]a\ne 1[/tex] уравнение квадратное и имеет ровно один корень тогда и только тогда, когда его дискриминант равен нулю:
[tex]\frac{D}{4}=1+3(1-a)=4-3a=0\Leftrightarrow a=\frac{4}{3}[/tex]
Тогда уравнение принимает вид [tex]-\frac{1}{3}x^2-2x-3=0\Leftrightarrow (x+3)^2=0[/tex], и параболы касаются в точке [tex](-3; 12)[/tex]. При всех остальных значениях [tex]a[/tex] общих точек две или нет совсем.
Следовательно, [tex]a\in\left\{1; \frac{4}{3}\right\}[/tex]. Случай [tex]a=1[/tex] легко потерять, если требовать только [tex]D=0[/tex].

Решение:
Абсциссы общих точек удовлетворяют уравнению [tex]f(x)=g(x)[/tex]:
[tex]7x^2-4x-3=0\Leftrightarrow (x-1)(7x+3)=0\Leftrightarrow x=1\text{ или }x=-\frac{3}{7}[/tex]
Так как [tex]f(1)=-1[/tex] и [tex]f\left(-\frac{3}{7}\right)=\frac{18}{49}+\frac{6}{7}-1=\frac{11}{49}[/tex], это точки [tex](1; -1)[/tex] и [tex]\left(-\frac{3}{7}; \frac{11}{49}\right)[/tex]. Угловой коэффициент прямой, проходящей через них, равен
[tex]a=\frac{\frac{11}{49}+1}{-\frac{3}{7}-1}=\frac{\frac{60}{49}}{-\frac{10}{7}}=-\frac{6}{7}[/tex]
а из [tex]-1=a\cdot 1+b[/tex] получаем [tex]b=-1+\frac{6}{7}=-\frac{1}{7}[/tex].
Более короткий путь: в общей точке [tex]y=f(x)=g(x)[/tex], поэтому
[tex]7y=5f(x)+2g(x)=10x^2-10x-5-10x^2+4x+4=-6x-1[/tex]
Слагаемые с [tex]x^2[/tex] сокращаются, значит, обе точки лежат на прямой [tex]y=-\frac{6}{7}x-\frac{1}{7}[/tex], т.е. [tex]a=-\frac{6}{7}[/tex], [tex]b=-\frac{1}{7}[/tex].

Решение:
При [tex]x[/tex] новых деревьях ([tex]x[/tex] — целое неотрицательное число) всего деревьев [tex]30+x[/tex], и каждое даёт [tex]25-0{,}6x[/tex] кг. Урожай равен
[tex]R(x)=(30+x)(25-0{,}6x)=-0{,}6x^2+7x+750[/tex]
Это парабола с ветвями вниз, её вершина находится в точке
[tex]x_0=\frac{7}{2\cdot 0{,}6}=\frac{35}{6}\approx 5{,}83[/tex]
которая не является целым числом. Функция [tex]R[/tex] возрастает при [tex]x\le\frac{35}{6}[/tex], убывает при [tex]x\ge\frac{35}{6}[/tex] и симметрична относительно [tex]x_0[/tex], поэтому среди целых чисел наибольшее значение достигается в ближайшем к [tex]\frac{35}{6}[/tex] целом числе, т.е. при [tex]x=6[/tex] (его расстояние до [tex]x_0[/tex] равно [tex]\frac{1}{6}[/tex], а для [tex]x=5[/tex] оно равно [tex]\frac{5}{6}[/tex]). Проверка:
[tex]R(5)=35\cdot 22=770; \quad R(6)=36\cdot 21{,}4=770{,}4; \quad R(7)=37\cdot 20{,}8=769{,}6[/tex]
Следовательно, нужно посадить [tex]6[/tex] новых деревьев.

Решение:
Так как [tex]f(x)=(x-1)^2-1[/tex], уравнение [tex]f(x)=t[/tex] имеет два решения [tex]x=1\pm\sqrt{t+1}[/tex] при [tex]t\gt -1[/tex], одно решение [tex]x=1[/tex] при [tex]t=-1[/tex] (вершина) и не имеет решений при [tex]t\lt -1[/tex]; разным значениям [tex]t[/tex] соответствуют разные решения. Будем рассуждать с конца.
Пусть [tex]y_3=f(f(f(c)))[/tex]. Тогда [tex]f(y_3)=3\Leftrightarrow (y_3-1)^2=4[/tex], т.е. [tex]y_3\in\left\{3; -1\right\}[/tex].
Пусть [tex]y_2=f(f(c))[/tex]. Из [tex]f(y_2)=3[/tex] получаем [tex]y_2\in\left\{3; -1\right\}[/tex], а из [tex]f(y_2)=-1[/tex] — [tex]y_2=1[/tex], т.е. [tex]y_2\in\left\{3; -1; 1\right\}[/tex].
Пусть [tex]y_1=f(c)[/tex]. Из [tex]f(y_1)=3[/tex] получаем [tex]y_1\in\left\{3; -1\right\}[/tex], из [tex]f(y_1)=-1[/tex] — [tex]y_1=1[/tex], а из [tex]f(y_1)=1[/tex] — [tex](y_1-1)^2=2[/tex], т.е. [tex]y_1=1\pm\sqrt{2}[/tex]. Итак, [tex]y_1[/tex] принимает пять различных значений:
[tex]y_1\in\left\{3; -1; 1; 1+\sqrt{2}; 1-\sqrt{2}\right\}[/tex]
Наконец, решаем [tex]f(c)=y_1[/tex]: при [tex]y_1=-1[/tex] есть одно решение [tex]c=1[/tex], а каждое из остальных четырёх значений больше [tex]-1[/tex] (заметим, что [tex]1-\sqrt{2}\approx -0{,}41\gt -1[/tex]) и даёт два решения. Следовательно, количество различных чисел [tex]c[/tex] равно
[tex]1+4\cdot 2=9[/tex]

Решение:
Имеем [tex]f(-1)=a-b+c[/tex], [tex]f(1)=a+b+c[/tex] и [tex]f(3)=9a+3b+c[/tex]. Тогда
[tex]f(-1)-2f(1)+f(3)=(a-2a+9a)+(-b-2b+3b)+(c-2c+c)=8a[/tex]
По условию [tex]f(-1)\gt -4[/tex], [tex]-2f(1)\gt 0[/tex] и [tex]f(3)\gt 5[/tex]. Складывая эти неравенства, получаем
[tex]8a=f(-1)-2f(1)+f(3)\gt -4+0+5=1\Rightarrow a\gt\frac{1}{8}\gt 0[/tex]
Итак, [tex]a\gt 0[/tex], что и требовалось доказать.