Численные методы - сложные задачи с решениями

Решение:
Для [tex]f\in C^2[a; b][/tex] остаточный член составной формулы трапеций с [tex]m[/tex] равными частичными отрезками длины [tex]h=\frac{b-a}{m}[/tex] равен
[tex]R=-\frac{(b-a)h^2}{12}f''(\xi)=-\frac{(b-a)^3}{12m^2}f''(\xi),\qquad \xi\in(a; b)[/tex]
Функция [tex]f(x)=\frac{1}{x+2}[/tex] гладкая на [tex][1; 11][/tex], так как там [tex]x+2\gt 0[/tex], и
[tex]f'(x)=-\frac{1}{(x+2)^2},\qquad f''(x)=\frac{2}{(x+2)^3}[/tex]
Вторая производная положительна и убывает на [tex][1; 11][/tex], поэтому
[tex]M_2=\max_{[1; 11]}|f''(x)|=f''(1)=\frac{2}{27}[/tex]
При [tex]b-a=10[/tex] и [tex]m=5[/tex] (шаг [tex]h=2[/tex]):
[tex]|R|\le\frac{10^3}{12\cdot 25}\cdot \frac{2}{27}=\frac{10}{3}\cdot \frac{2}{27}=\frac{20}{81}\approx 0{,}247[/tex]
Проверка: формула трапеций даёт [tex]\frac{1}{3}+2\left(\frac{1}{5}+\frac{1}{7}+\frac{1}{9}+\frac{1}{11}\right)+\frac{1}{13}\approx 1{,}5000[/tex], а точное значение равно [tex]\ln\frac{13}{3}\approx 1{,}4663[/tex]; фактическая погрешность [tex]\approx 0{,}034[/tex] действительно не превышает оценку.

Решение:
По формуле Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа для каждого [tex]x[/tex] существует точка [tex]\xi[/tex] между [tex]0[/tex] и [tex]x[/tex], для которой
[tex]e^x=T_6(x)+\frac{f^{(7)}(\xi)}{7!}x^7[/tex]
Так как [tex]f^{(7)}(x)=e^x[/tex], погрешность равна
[tex]|e^x-T_6(x)|=\frac{e^{\xi}|x|^7}{7!}[/tex]
При [tex]x\in[-1; 1][/tex] точка [tex]\xi[/tex] тоже лежит в [tex][-1; 1][/tex], а так как [tex]e^x[/tex] возрастает, [tex]e^{\xi}\le e[/tex]; кроме того, [tex]|x|^7\le 1[/tex]. Следовательно,
[tex]|e^x-T_6(x)|\le\frac{e}{7!}=\frac{e}{5040}\approx 5{,}4\cdot 10^{-4}[/tex]
Например, [tex]T_6(1)=\frac{1957}{720}\approx 2{,}71806[/tex] приближает [tex]e\approx 2{,}71828[/tex] с фактической погрешностью [tex]\approx 2{,}3\cdot 10^{-4}[/tex], не превышающей оценку. Множитель [tex]e^{\xi}[/tex] нельзя отбросить: оценка [tex]\frac{1}{7!}\approx 1{,}98\cdot 10^{-4}[/tex] неверна при [tex]x=1[/tex].

Решение:
Пусть [tex]\varphi(x)=1+0{,}5\sin x[/tex], т.е. [tex]x_{k+1}=\varphi(x_k)[/tex]. По теореме Лагранжа о конечных приращениях для любых [tex]a,b\in\mathbb{R}[/tex] найдётся [tex]c[/tex] между ними, при котором [tex]\varphi(a)-\varphi(b)=0{,}5\cos c\,(a-b)[/tex]. Так как [tex]|\cos c|\le 1[/tex],
[tex]|\varphi(a)-\varphi(b)|\le\frac{1}{2}|a-b|[/tex]
т.е. [tex]\varphi[/tex] — сжимающее отображение с константой [tex]q=\frac{1}{2}\lt 1[/tex]. Следовательно,
[tex]|x_{k+1}-x_k|=|\varphi(x_k)-\varphi(x_{k-1})|\le\frac{1}{2}|x_k-x_{k-1}|\le\ldots\le\frac{1}{2^k}|x_1-x_0|[/tex]
Для [tex]p\gt k[/tex] неравенство треугольника даёт
[tex]|x_p-x_k|\le\sum_{j=k}^{p-1}|x_{j+1}-x_j|\le|x_1-x_0|\sum_{j=k}^{\infty}\frac{1}{2^j}=\frac{|x_1-x_0|}{2^{k-1}}[/tex]
что стремится к [tex]0[/tex] при [tex]k\to\infty[/tex]. Значит, [tex](x_k)[/tex] — фундаментальная последовательность (последовательность Коши), и в силу полноты [tex]\mathbb{R}[/tex] она сходится к некоторому [tex]\xi[/tex]. Так как [tex]\varphi[/tex] непрерывна, переходя к пределу при [tex]k\to\infty[/tex] в равенстве [tex]x_{k+1}=\varphi(x_k)[/tex], получаем
[tex]\xi=\varphi(\xi)=1+0{,}5\sin \xi[/tex]
т.е. предел является корнем уравнения. Кроме того, корень единственный: если также [tex]\eta=\varphi(\eta)[/tex], то [tex]|\xi-\eta|=|\varphi(\xi)-\varphi(\eta)|\le\frac{1}{2}|\xi-\eta|[/tex], откуда [tex]\xi=\eta[/tex]. Поэтому любое начальное приближение приводит к одному и тому же корню [tex]\xi\approx 1{,}4987[/tex].