Уравнения и неравенства с параметром - сложные задачи с решениями

Решение:
Когда корень существует, [tex]1+\sqrt{x^{2}+mx+5}\ge 1\gt 0[/tex], поэтому единственное условие ОДЗ — [tex]x^{2}+mx+5\ge 0[/tex].
Случай [tex]0\lt m\lt 1[/tex]. Функция [tex]\log_{m}[/tex] убывает, поэтому неравенство равносильно условию
[tex]2\le 1+\sqrt{x^{2}+mx+5}\iff x^{2}+mx+5\ge 1\iff x^{2}+mx+4\ge 0[/tex]
Дискриминант [tex]m^{2}-16\lt 0[/tex], поэтому оно выполнено при любом действительном [tex]x[/tex] (и тогда условие ОДЗ тоже выполнено): бесконечно много решений, случай отпадает.
Случай [tex]m\gt 1[/tex]. Функция [tex]\log_{m}[/tex] возрастает, поэтому неравенство равносильно условию
[tex]\sqrt{x^{2}+mx+5}\le 1\iff 0\le x^{2}+mx+5\le 1\iff -1\le x^{2}+mx+4\le 0[/tex]
Если [tex]1\lt m\lt 4[/tex], дискриминант [tex]m^{2}-16[/tex] отрицателен, поэтому [tex]x^{2}+mx+4\gt 0[/tex] при любом [tex]x[/tex]: решений нет.
Если [tex]m=4[/tex], нужно [tex](x+2)^{2}\le 0[/tex], т.е. [tex]x=-2[/tex], и действительно при этом [tex]x^{2}+4x+5=1\ge 0[/tex]: ровно одно решение.
Если [tex]m\gt 4[/tex], трёхчлен [tex]x^{2}+mx+4[/tex] имеет два различных корня; в меньшем корне он равен [tex]0[/tex], а сразу правее него отрицателен, поэтому по непрерывности он принимает значения из [tex]\left[-1 ; 0\right][/tex] на целом промежутке: бесконечно много решений.
Следовательно, [tex]m=4[/tex].

Решение:
При [tex]x\ge 0[/tex] имеем [tex]2|x|-2x=0[/tex], и уравнение принимает вид [tex]0=a-x[/tex], т.е. [tex]x=a[/tex]. Значит, положительный корень есть тогда и только тогда, когда [tex]a\gt 0[/tex], и тогда это единственный неотрицательный корень. Итак, необходимо [tex]a\gt 0[/tex].
При [tex]x\lt 0[/tex] имеем [tex]2|x|-2x=-4x[/tex], и уравнение имеет вид [tex]\sqrt{-4x}=a-x[/tex]. Так как [tex]a\gt 0[/tex] и [tex]x\lt 0[/tex], правая часть положительна, и возведение в квадрат даёт равносильное уравнение:
[tex]-4x=(a-x)^2\iff x^2+(4-2a)x+a^2=0[/tex]
Оно должно иметь два различных отрицательных корня. Условие на дискриминант:
[tex]\frac{D}{4}=(2-a)^2-a^2=4-4a\gt 0\iff a\lt 1[/tex]
По теореме Виета [tex]x_1+x_2=2a-4\lt 0[/tex] и [tex]x_1x_2=a^2\gt 0[/tex] при [tex]0\lt a\lt 1[/tex], поэтому оба корня отрицательны. При [tex]a=1[/tex] есть только двойной корень [tex]x=-1[/tex], т.е. лишь один отрицательный корень. Следовательно, [tex]a\in\left(0 ; 1\right)[/tex].

Решение:
Положим [tex]t=2^{x}\gt 0[/tex]. Так как [tex]x\mapsto 2^{x}[/tex] взаимно однозначно отображает [tex]\mathbb{R}[/tex] на [tex]\left(0 ; +\infty\right)[/tex], число корней [tex]x[/tex] равно числу различных положительных корней уравнения
[tex]f(t)=t^{2}-kt-k+3=0[/tex]
Для дискриминанта и по теореме Виета имеем
[tex]D=k^{2}+4k-12=(k+6)(k-2),\qquad t_{1}+t_{2}=k,\qquad t_{1}t_{2}=3-k[/tex]
Если [tex]k\gt 3[/tex], то [tex]t_{1}t_{2}\lt 0[/tex], корни разных знаков и ровно один положителен: один корень [tex]x[/tex].
Если [tex]k=3[/tex], уравнение имеет вид [tex]t^{2}-3t=0[/tex] с корнями [tex]0[/tex] (не подходит, так как [tex]t\gt 0[/tex]) и [tex]3[/tex]: один корень [tex]x=\log_{2}3[/tex].
Если [tex]D=0[/tex], двойной корень равен [tex]t=\frac{k}{2}[/tex]: при [tex]k=2[/tex] это [tex]t=1\gt 0[/tex], что даёт ровно один корень [tex]x=0[/tex]; при [tex]k=-6[/tex] это [tex]t=-3\lt 0[/tex], и корней нет.
Если [tex]2\lt k\lt 3[/tex], то [tex]D\gt 0[/tex], [tex]t_{1}t_{2}\gt 0[/tex] и [tex]t_{1}+t_{2}\gt 0[/tex], поэтому есть два различных положительных корня [tex]t[/tex] и, значит, два корня [tex]x[/tex].
Если [tex]k\lt -6[/tex], то [tex]t_{1}t_{2}\gt 0[/tex] и [tex]t_{1}+t_{2}=k\lt 0[/tex], поэтому оба корня [tex]t[/tex] отрицательны; если [tex]-6\lt k\lt 2[/tex], то [tex]D\lt 0[/tex] и действительных корней нет. В обоих случаях корней [tex]x[/tex] нет.
Следовательно, [tex]k\in\left\{2\right\}\cup\left[3 ; +\infty\right)[/tex].

Решение:
Положим [tex]t=2^x\gt 0[/tex]. Тогда [tex]2^{-x}=\frac{1}{t}[/tex], и после умножения на [tex]t[/tex] получаем
[tex]\left(a^2+a-6\right)t^2-2at+1=0[/tex]
Так как [tex]x=\log_2 t[/tex], различным корням [tex]t[/tex] соответствуют различные корни [tex]x[/tex], причём [tex]x\gt 0\iff t\gt 1[/tex] и [tex]x\lt 0\iff 0\lt t\lt 1[/tex]. Значит, уравнение относительно [tex]t[/tex] должно иметь один корень в [tex]\left(0 ; 1\right)[/tex] и один корень в [tex]\left(1 ; +\infty\right)[/tex].
Если [tex]a^2+a-6=0[/tex], т.е. [tex]a=2[/tex] или [tex]a=-3[/tex], уравнение линейное и имеет не более одного корня, поэтому эти значения не подходят.
Пусть [tex]c=a^2+a-6\ne 0[/tex] и [tex]f(t)=ct^2-2at+1[/tex]. Число [tex]1[/tex] лежит строго между двумя действительными корнями тогда и только тогда, когда [tex]c\,f(1)\lt 0[/tex], и тогда оба корня положительны тогда и только тогда, когда их произведение [tex]t_1t_2=\frac{1}{c}[/tex] положительно. Поэтому условия таковы:
[tex]c\gt 0,\qquad f(1)\lt 0[/tex]
Во-первых,
[tex]c\gt 0\iff (a+3)(a-2)\gt 0\iff a\lt -3\text{ или }a\gt 2[/tex]
Во-вторых,
[tex]f(1)=a^2+a-6-2a+1=a^2-a-5\lt 0\iff \frac{1-\sqrt{21}}{2}\lt a\lt \frac{1+\sqrt{21}}{2}[/tex]
Так как [tex]\frac{1-\sqrt{21}}{2}\gt -3[/tex] и [tex]\frac{1+\sqrt{21}}{2}\gt 2[/tex] (поскольку [tex]3\lt\sqrt{21}\lt 7[/tex]), пересечение есть [tex]2\lt a\lt\frac{1+\sqrt{21}}{2}[/tex], т.е. [tex]a\in\left(2 ; \frac{1+\sqrt{21}}{2}\right)[/tex].

Решение:
Положим [tex]u=3^{x^2}[/tex]. Так как [tex]x^2\ge 0[/tex], то [tex]u\ge 1[/tex]. Значению [tex]u=1[/tex] соответствует единственное решение [tex]x=0[/tex], каждому значению [tex]u\gt 1[/tex] — ровно два решения [tex]x=\pm\sqrt{\log_3 u}[/tex], а значения [tex]u\lt 1[/tex] решений не дают. Уравнение принимает вид
[tex]u^2-(2a+1)u+a^2-3=0[/tex]
Оно имеет не более двух корней. Каждый корень [tex]u\gt 1[/tex] даёт два решения, а корень [tex]u=1[/tex] — одно, поэтому три решения возможны, только если [tex]u=1[/tex] — корень, а другой корень больше [tex]1[/tex]. Значение [tex]u=1[/tex] является корнем, когда
[tex]1-(2a+1)+a^2-3=a^2-2a-3=0\iff a=3\text{ или }a=-1[/tex]
При [tex]a=3[/tex]: [tex]u^2-7u+6=0[/tex], откуда [tex]u=1[/tex] или [tex]u=6\gt 1[/tex], что даёт [tex]x=0[/tex] и [tex]x=\pm\sqrt{\log_3 6}[/tex], ровно три решения.
При [tex]a=-1[/tex]: [tex]u^2+u-2=0[/tex], откуда [tex]u=1[/tex] или [tex]u=-2\lt 1[/tex], что даёт только [tex]x=0[/tex], одно решение; не подходит. Следовательно, [tex]a=3[/tex].

Решение:
ОДЗ: [tex]kx\gt 0[/tex], [tex]x+1\gt 0[/tex] и [tex]\lg(x+1)\ne 0[/tex], т.е. [tex]x\gt -1[/tex], [tex]x\ne 0[/tex], [tex]kx\gt 0[/tex]; в частности, [tex]k\ne 0[/tex]. На ОДЗ уравнение равносильно следующему:
[tex]\lg(kx)=2\lg(x+1)=\lg\left((x+1)^2\right)\iff kx=(x+1)^2\iff x^2+(2-k)x+1=0[/tex]
При [tex]k\ne 0[/tex] число [tex]x=-1[/tex] не является корнем (подстановка даёт [tex]k=0[/tex]), поэтому каждый корень автоматически удовлетворяет условию [tex]kx=(x+1)^2\gt 0[/tex]; кроме того, [tex]x=0[/tex] никогда не является корнем. Значит, корень квадратного уравнения является корнем исходного тогда и только тогда, когда [tex]x\gt -1[/tex].
Для дискриминанта и по теореме Виета имеем
[tex]D=(2-k)^2-4=k(k-4),\qquad x_1x_2=1,\qquad x_1+x_2=k-2[/tex]
Если [tex]0\lt k\lt 4[/tex], то [tex]D\lt 0[/tex]: корней нет. Если [tex]k=4[/tex], двойной корень [tex]x=1\gt -1[/tex]: ровно один корень.
Если [tex]k\gt 4[/tex], два различных корня имеют произведение [tex]1[/tex] и сумму [tex]k-2\gt 0[/tex], поэтому оба положительны и оба подходят: два корня.
Если [tex]k\lt 0[/tex], то [tex]D\gt 0[/tex] и два различных корня имеют произведение [tex]1[/tex] и сумму [tex]k-2\lt 0[/tex], поэтому оба отрицательны; так как их произведение равно [tex]1[/tex], один из них лежит в [tex]\left(-1 ; 0\right)[/tex], а другой меньше [tex]-1[/tex]. Подходит только первый: ровно один корень.
Следовательно, [tex]k\in\left(-\infty ; 0\right)\cup\left\{4\right\}[/tex].

Решение:
ОДЗ: [tex]x\ne a[/tex], [tex]x\ne b[/tex], [tex]x\ne c[/tex]. На ней после умножения на [tex](x-a)(x-b)(x-c)\ne 0[/tex] получаем равносильное уравнение [tex]g(x)=0[/tex], где
[tex]g(x)=(x-b)(x-c)+(x-a)(x-c)+(x-a)(x-b)=3x^2-2(a+b+c)x+ab+bc+ca[/tex]
Для квадратного трёхчлена [tex]g[/tex] имеем
[tex]\frac{D}{4}=(a+b+c)^2-3(ab+bc+ca)=a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=\frac{1}{2}\left[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\right][/tex]
Так как [tex]a[/tex], [tex]b[/tex], [tex]c[/tex] различны, каждый квадрат положителен, поэтому [tex]\frac{D}{4}\gt 0[/tex] и [tex]g[/tex] имеет два различных действительных корня. Ни один из них не исключается ОДЗ, так как
[tex]g(a)=(a-b)(a-c)\ne 0,\qquad g(b)=(b-a)(b-c)\ne 0,\qquad g(c)=(c-a)(c-b)\ne 0[/tex]
Следовательно, оба корня [tex]g[/tex] являются корнями данного уравнения, а так как на ОДЗ оно равносильно уравнению [tex]g(x)=0[/tex], оно имеет ровно два различных действительных корня.

Решение:
Пусть [tex]x_{0}[/tex] — действительный корень уравнения при некотором действительном значении [tex]m[/tex]. Запишем это равенство по степеням [tex]m[/tex]:
[tex]x_{0}^{2}-2mx_{0}+2m^{2}-2m-3=0\iff 2m^{2}-2(x_{0}+1)m+x_{0}^{2}-3=0[/tex]
Это квадратное уравнение относительно [tex]m[/tex] с действительными коэффициентами, имеющее действительный корень [tex]m[/tex]. Значит, его дискриминант неотрицателен:
[tex]\frac{D}{4}=(x_{0}+1)^{2}-2(x_{0}^{2}-3)=-x_{0}^{2}+2x_{0}+7\ge 0\iff x_{0}^{2}-2x_{0}-7\le 0[/tex]
Корни уравнения [tex]x^{2}-2x-7=0[/tex] равны [tex]1\pm 2\sqrt{2}[/tex], поэтому
[tex]1-2\sqrt{2}\le x_{0}\le 1+2\sqrt{2}[/tex]
Что и требовалось доказать. Границы достигаются: при [tex]m=1+\sqrt{2}[/tex] корни равны [tex]1[/tex] и [tex]1+2\sqrt{2}[/tex], а при [tex]m=1-\sqrt{2}[/tex] — [tex]1[/tex] и [tex]1-2\sqrt{2}[/tex].

Решение:
Запишем уравнение в виде [tex]a=f(x)[/tex], где [tex]f(x)=x-\left|2|x|-1\right|[/tex]. Число решений равно числу общих точек графика [tex]f[/tex] и горизонтальной прямой [tex]y=a[/tex]. Раскрывая модули, получаем
[tex]f(x)=\left\{\begin{array}{ll} 3x+1, & x\le -\frac{1}{2} \\ -x-1, & -\frac{1}{2}\le x\le 0 \\ 3x-1, & 0\le x\le \frac{1}{2} \\ 1-x, & x\ge \frac{1}{2} \end{array}\right.[/tex]
Значит, [tex]f[/tex] возрастает от [tex]-\infty[/tex] до [tex]f\left(-\frac{1}{2}\right)=-\frac{1}{2}[/tex], убывает до [tex]f(0)=-1[/tex], возрастает до [tex]f\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2}[/tex], а затем убывает до [tex]-\infty[/tex]. Считаем общие точки с прямой [tex]y=a[/tex].
При [tex]a\gt \frac{1}{2}[/tex] решений нет, при [tex]a=\frac{1}{2}[/tex] решение одно, при [tex]-\frac{1}{2}\lt a\lt \frac{1}{2}[/tex] — два.
При [tex]a=-\frac{1}{2}[/tex] решений три: [tex]x=-\frac{1}{2}[/tex], [tex]x=\frac{1}{6}[/tex], [tex]x=\frac{3}{2}[/tex].
При [tex]-1\lt a\lt -\frac{1}{2}[/tex] решений четыре (по одному на каждом промежутке монотонности).
При [tex]a=-1[/tex] решений три: [tex]x=-\frac{2}{3}[/tex], [tex]x=0[/tex], [tex]x=2[/tex], а при [tex]a\lt -1[/tex] — два.
Следовательно, уравнение имеет ровно три решения при [tex]a=-1[/tex] и при [tex]a=-\frac{1}{2}[/tex].

Решение:
Зафиксируем [tex]a[/tex]. Выражение [tex]A\cos x+B\sin x[/tex] принимает в точности все значения из отрезка [tex]\left[-\sqrt{A^2+B^2} ; \sqrt{A^2+B^2}\right][/tex]. Здесь [tex]A=a^2-9[/tex], [tex]B=6a[/tex] и
[tex]A^2+B^2=(a^2-9)^2+36a^2=a^4+18a^2+81=(a^2+9)^2[/tex]
Следовательно, наименьшее значение левой части равно [tex]-(a^2+9)[/tex]. Неравенство имеет решение [tex]x[/tex] тогда и только тогда, когда это наименьшее значение не превосходит правую часть:
[tex]-(a^2+9)\le ab\iff a^2+ab+9\ge 0[/tex]
Это должно выполняться при всех действительных [tex]a[/tex]. Квадратный трёхчлен относительно [tex]a[/tex] с положительным старшим коэффициентом неотрицателен при всех [tex]a[/tex] тогда и только тогда, когда его дискриминант неположителен:
[tex]D=b^2-36\le 0\iff -6\le b\le 6[/tex]
При [tex]b=\pm 6[/tex] получаем [tex](a\pm 3)^2\ge 0[/tex], что верно, поэтому концы входят в ответ. Ответ: [tex]b\in\left[-6 ; 6\right][/tex].

Решение:
При [tex]x\in\left(0 ; \frac{\pi}{2}\right)[/tex] оба числа [tex]\sin x[/tex] и [tex]\cos x[/tex] положительны, и уравнение принимает вид [tex]\frac{\sin x+\cos x}{\sin x\cos x}=\lambda[/tex]. Положим
[tex]t=\sin x+\cos x=\sqrt{2}\sin \left(x+\frac{\pi}{4}\right)[/tex]
Так как [tex]x+\frac{\pi}{4}\in\left(\frac{\pi}{4} ; \frac{3\pi}{4}\right)[/tex], переменная [tex]t[/tex] принимает в точности все значения из [tex]\left(1 ; \sqrt{2}\right][/tex], причём [tex]\sin x\cos x=\frac{t^2-1}{2}[/tex]. Уравнение принимает вид
[tex]\lambda=\frac{2t}{t^2-1}=\frac{2}{t-\frac{1}{t}}[/tex]
На промежутке [tex]\left(1 ; \sqrt{2}\right][/tex] знаменатель [tex]t-\frac{1}{t}[/tex] положителен и строго возрастает — от значений, сколь угодно близких к [tex]0[/tex], до [tex]\sqrt{2}-\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}[/tex]. Значит, правая часть непрерывна и строго убывает, неограниченно растёт при [tex]t\to 1^{+}[/tex], а при [tex]t=\sqrt{2}[/tex] (т.е. при [tex]x=\frac{\pi}{4}[/tex]) равна
[tex]\frac{2}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=2\sqrt{2}[/tex]
Её множество значений — [tex]\left[2\sqrt{2} ; +\infty\right)[/tex], поэтому уравнение имеет корень на [tex]\left(0 ; \frac{\pi}{2}\right)[/tex] тогда и только тогда, когда [tex]\lambda\ge 2\sqrt{2}[/tex].

Решение:
Положим [tex]t=x^2-2x+2=(x-1)^2+1[/tex], тогда [tex]t\ge 1[/tex]. При [tex]t=1[/tex] получаем только [tex]x=1[/tex], а при [tex]t\gt 1[/tex] — два различных значения
[tex]x=1\pm\sqrt{t-1}[/tex]
Оба положительны тогда и только тогда, когда [tex]1-\sqrt{t-1}\gt 0[/tex], т.е. [tex]t\lt 2[/tex] (при [tex]t=2[/tex] одно из них равно [tex]0[/tex], а при [tex]t\gt 2[/tex] одно из них отрицательно). Различным значениям [tex]t[/tex] соответствуют различные значения [tex]x[/tex]. Уравнение принимает вид
[tex]g(t)=t^2-mt+3=0[/tex]
Оно имеет не более двух корней, и каждый из них даёт не более двух положительных значений [tex]x[/tex]. Значит, исходное уравнение имеет четыре различных положительных корня тогда и только тогда, когда [tex]g[/tex] имеет два различных корня, оба на интервале [tex]\left(1 ; 2\right)[/tex]. Условия:
[tex]D=m^2-12\gt 0,\quad g(1)=4-m\gt 0,\quad g(2)=7-2m\gt 0,\quad 1\lt \frac{m}{2}\lt 2[/tex]
Из последнего условия [tex]m\gt 0[/tex], поэтому [tex]D\gt 0[/tex] даёт [tex]m\gt 2\sqrt{3}[/tex]; остальные условия дают [tex]m\lt 4[/tex] и [tex]m\lt \frac{7}{2}[/tex]. Так как [tex]2\sqrt{3}=\sqrt{12}\lt \sqrt{\frac{49}{4}}=\frac{7}{2}[/tex], получаем
[tex]2\sqrt{3}\lt m\lt \frac{7}{2}[/tex]

Решение:
ОДЗ: [tex]x\ge 3[/tex]. Положим [tex]s=\sqrt{x-3}\ge 0[/tex]; тогда [tex]x=s^2+3[/tex], и различным [tex]s\ge 0[/tex] соответствуют различные [tex]x\ge 3[/tex]. Уравнение принимает вид
[tex]s+a\left(s^2+3\right)=2a+3\iff as^2+s+a-3=0\quad (\ast)[/tex]
Нужно, чтобы уравнение [tex](\ast)[/tex] имело ровно один неотрицательный корень [tex]s[/tex]. Если [tex]a=0[/tex], то [tex]s=3[/tex], т.е. [tex]x=12[/tex] — одно решение.
Пусть [tex]a\ne 0[/tex]. Тогда
[tex]s_1s_2=\frac{a-3}{a},\quad s_1+s_2=-\frac{1}{a},\quad D=1-4a(a-3)=-4a^2+12a+1[/tex]
Если [tex]0\lt a\lt 3[/tex], то [tex]s_1s_2\lt 0[/tex], поэтому корни действительны и разных знаков, и ровно один из них положителен — одно решение.
Если [tex]a=3[/tex], то [tex]3s^2+s=0[/tex], откуда [tex]s=0[/tex] или [tex]s=-\frac{1}{3}[/tex], и подходит только [tex]s=0[/tex] ([tex]x=3[/tex]) — одно решение.
Если [tex]a\gt 3[/tex], то [tex]s_1s_2\gt 0[/tex] и [tex]s_1+s_2\lt 0[/tex], поэтому действительные корни (если они есть) отрицательны — решений нет.
Если [tex]a\lt 0[/tex], то [tex]s_1s_2\gt 0[/tex] и [tex]s_1+s_2\gt 0[/tex], поэтому действительные корни (если они есть) положительны: при [tex]D\gt 0[/tex] решений два, при [tex]D\lt 0[/tex] их нет, а при [tex]D=0[/tex] решение одно. Имеем
[tex]D=0\iff 4a^2-12a-1=0\iff a=\frac{3\pm\sqrt{10}}{2}[/tex]
Условию [tex]a\lt 0[/tex] удовлетворяет только [tex]a=\frac{3-\sqrt{10}}{2}[/tex] (двойной корень [tex]s=-\frac{1}{2a}=3+\sqrt{10}[/tex], т.е. [tex]x=22+6\sqrt{10}[/tex]). Ответ: [tex]a\in\left\{\frac{3-\sqrt{10}}{2}\right\}\cup\left[0 ; 3\right][/tex].

Решение:
ОДЗ: основание [tex]\sqrt{2-x}[/tex] должно быть положительным и отличным от [tex]1[/tex], т.е. [tex]x\lt 2[/tex] и [tex]x\ne 1[/tex]; аргумент должен быть положительным, т.е. [tex]x^2+4a\ne 0[/tex]. На ОДЗ уравнение равносильно уравнению
[tex]\left|x^2+4a\right|=\left(\sqrt{2-x}\right)^4=(2-x)^2[/tex]
Так как [tex](2-x)^2\gt 0[/tex] при [tex]x\lt 2[/tex], каждый корень этого уравнения автоматически удовлетворяет условию [tex]x^2+4a\ne 0[/tex]. Поэтому считаем корни с [tex]x\lt 2[/tex], [tex]x\ne 1[/tex] двух уравнений [tex]x^2+4a=(2-x)^2[/tex] и [tex]x^2+4a=-(2-x)^2[/tex].
Первое даёт [tex]x^2+4a=x^2-4x+4\iff x=1-a[/tex]; этот корень допустим тогда и только тогда, когда [tex]1-a\lt 2[/tex] и [tex]1-a\ne 1[/tex], т.е. [tex]a\gt -1[/tex], [tex]a\ne 0[/tex].
Второе даёт
[tex]x^2+4a=-x^2+4x-4\iff (x-1)^2=-1-2a[/tex]
При [tex]a\gt -\frac{1}{2}[/tex] оно не имеет корней, а при [tex]a=-\frac{1}{2}[/tex] его единственный корень [tex]x=1[/tex] недопустим. При [tex]a\lt -\frac{1}{2}[/tex] положим [tex]s=\sqrt{-1-2a}\gt 0[/tex]; корни равны [tex]1-s[/tex] (всегда допустим) и [tex]1+s[/tex], который допустим тогда и только тогда, когда [tex]s\lt 1\iff -1-2a\lt 1\iff a\gt -1[/tex].
Подсчёт: если [tex]a\le -1[/tex], остаётся только [tex]x=1-s[/tex], т.е. один корень. Если [tex]a\ge -\frac{1}{2}[/tex], второе уравнение не даёт допустимых корней, а первое даёт не более одного.
Если [tex]-1\lt a\lt -\frac{1}{2}[/tex], получаем [tex]1-s[/tex] и [tex]1+s[/tex], где [tex]0\lt s\lt 1[/tex], а также [tex]x=1-a\in\left(\frac{3}{2} ; 2\right)[/tex]. При этом [tex]1-a\gt 1\gt 1-s[/tex], а равенство [tex]1-a=1+s[/tex] означало бы [tex]a^2=-1-2a[/tex], т.е. [tex](a+1)^2=0[/tex], [tex]a=-1[/tex], что исключено. Значит, корней ровно три.
Ответ: [tex]a\in\left(-1 ; -\frac{1}{2}\right)[/tex].