Уравнения и неравенства с параметром - очень сложные задачи с решениями

Решение:
На отрезке [tex]\left[0 ; \pi\right][/tex] функция [tex]\cos x[/tex] строго убывает и принимает каждое значение из [tex]\left[-1 ; 1\right][/tex] ровно один раз, а [tex]3^{c}[/tex] строго возрастает. Поэтому при [tex]t=3^{\cos x}[/tex] решения [tex]x\in\left[0 ; \pi\right][/tex] взаимно однозначно соответствуют решениям [tex]t\in\left[\frac{1}{3} ; 3\right][/tex] уравнения
[tex]t+\frac{3}{t}=a\iff t^2-at+3=0[/tex]
При [tex]t\gt 0[/tex] имеем [tex]t+\frac{3}{t}\ge 2\sqrt{3}[/tex], поэтому при [tex]a\lt 2\sqrt{3}[/tex] решений нет. Пусть [tex]a\ge 2\sqrt{3}[/tex]. По теореме Виета произведение корней равно [tex]3[/tex], значит, корни равны [tex]\tau[/tex] и [tex]\frac{3}{\tau}[/tex], где [tex]\tau\in\left(0 ; \sqrt{3}\right][/tex] — меньший из них, и
[tex]a=h(\tau)=\tau+\frac{3}{\tau}[/tex]
Если [tex]\tau\lt \frac{1}{3}[/tex], то [tex]\frac{3}{\tau}\gt 9[/tex], и ни один корень не лежит в [tex]\left[\frac{1}{3} ; 3\right][/tex] — решений нет.
Если [tex]\frac{1}{3}\le \tau\lt 1[/tex], то [tex]\frac{3}{\tau}\in\left(3 ; 9\right][/tex] лежит вне отрезка, поэтому решение ровно одно.
Если [tex]1\le \tau\lt \sqrt{3}[/tex], то и [tex]\frac{3}{\tau}\in\left(\sqrt{3} ; 3\right][/tex], поэтому решений два.
Если [tex]\tau=\sqrt{3}[/tex] (двойной корень, [tex]a=2\sqrt{3}[/tex]), решение ровно одно.
Функция [tex]h[/tex] строго убывает на [tex]\left(0 ; \sqrt{3}\right][/tex], так как при [tex]0\lt t_1\lt t_2\le \sqrt{3}[/tex]
[tex]h(t_1)-h(t_2)=\left(t_2-t_1\right)\left(\frac{3}{t_1t_2}-1\right)\gt 0[/tex]
Следовательно, [tex]\tau\in\left[\frac{1}{3} ; 1\right)[/tex] соответствует в точности [tex]a\in\left(h(1) ; h\left(\frac{1}{3}\right)\right]=\left(4 ; \frac{28}{3}\right][/tex]. Ответ: [tex]a\in\left\{2\sqrt{3}\right\}\cup\left(4 ; \frac{28}{3}\right][/tex].

Решение:
Так как [tex]x^2-2x-3=(x-3)(x+1)[/tex], ОДЗ: [tex]x\ne 3[/tex], [tex]x\ne -1[/tex], и на ней уравнение принимает вид
[tex]\frac{|x-2|}{x+1}=a[/tex]
Случай [tex]1[/tex]: [tex]x\ge 2[/tex], [tex]x\ne 3[/tex]. Тогда [tex]x-2=a(x+1)[/tex], т.е. [tex](1-a)x=a+2[/tex]. При [tex]a=1[/tex] получаем [tex]0=3[/tex] — корней нет. Иначе [tex]x=\frac{a+2}{1-a}[/tex], и
[tex]x\ge 2\iff \frac{a+2}{1-a}-2=\frac{3a}{1-a}\ge 0\iff 0\le a\lt 1[/tex]
Кроме того, [tex]x=3[/tex] ровно тогда, когда [tex]a+2=3(1-a)[/tex], т.е. [tex]a=\frac{1}{4}[/tex], и тогда этот корень исключается. Итак, случай [tex]1[/tex] даёт один корень при [tex]a\in\left[0 ; \frac{1}{4}\right)\cup\left(\frac{1}{4} ; 1\right)[/tex] и ни одного при остальных [tex]a[/tex].
Случай [tex]2[/tex]: [tex]x\lt 2[/tex], [tex]x\ne -1[/tex]. Тогда [tex]2-x=a(x+1)[/tex], т.е. [tex](1+a)x=2-a[/tex]. При [tex]a=-1[/tex] получаем [tex]0=3[/tex] — корней нет. Иначе [tex]x=\frac{2-a}{1+a}[/tex]; это число никогда не равно [tex]-1[/tex] (иначе [tex]2-a=-1-a[/tex]), и
[tex]x\lt 2\iff \frac{2-a}{1+a}-2=\frac{-3a}{1+a}\lt 0\iff a\lt -1\text{ или }a\gt 0[/tex]
Подсчёт: при [tex]a\lt -1[/tex] один корень (случай [tex]2[/tex]); при [tex]-1\le a\lt 0[/tex] корней нет; при [tex]a=0[/tex] один корень [tex]x=2[/tex] (только из случая [tex]1[/tex]).
При [tex]0\lt a\lt 1[/tex], [tex]a\ne \frac{1}{4}[/tex], корней два; при [tex]a=\frac{1}{4}[/tex] корень один, [tex]x=\frac{7}{5}[/tex], так как кандидат [tex]x=3[/tex] из случая [tex]1[/tex] не входит в ОДЗ; при [tex]a\ge 1[/tex] один корень (случай [tex]2[/tex]).
Следовательно, решение единственно при [tex]a\in\left(-\infty ; -1\right)\cup\left\{0 ; \frac{1}{4}\right\}\cup\left[1 ; +\infty\right)[/tex].

Решение:
Пусть [tex]P(x)=x^2-2mx-4(m^2+1)[/tex] и [tex]Q(x)=x^2-4x-2m(m^2+1)[/tex]. Корни уравнения — это корни [tex]P[/tex] вместе с корнями [tex]Q[/tex]. Для дискриминантов имеем
[tex]\frac{D_P}{4}=m^2+4(m^2+1)=5m^2+4\gt 0,\qquad \frac{D_Q}{4}=4+2m(m^2+1)=2(m+1)(m^2-m+2)[/tex]
Значит, [tex]P[/tex] всегда имеет два различных действительных корня, а так как [tex]m^2-m+2\gt 0[/tex], то [tex]Q[/tex] имеет действительные корни тогда и только тогда, когда [tex]m\ge -1[/tex]. При [tex]m\lt -1[/tex] уравнение имеет только два корня [tex]P[/tex], поэтому [tex]m\ge -1[/tex]. Ровно три различных корня возможны в двух случаях: (а) [tex]Q[/tex] имеет двойной корень, не являющийся корнем [tex]P[/tex]; (б) [tex]Q[/tex] имеет два различных корня, и ровно один из них является корнем [tex]P[/tex].
(а) [tex]D_Q=0[/tex] даёт [tex]m=-1[/tex]. Тогда [tex]Q(x)=(x-2)^2[/tex] и [tex]P(x)=x^2+2x-8=(x-2)(x+4)[/tex], т.е. корни только [tex]2[/tex] и [tex]-4[/tex]; не подходит.
(б) Пусть [tex]m\gt -1[/tex] и [tex]x_0[/tex] — общий корень. Тогда [tex]P(x_0)-Q(x_0)=0[/tex], т.е.
[tex](4-2m)x_0+(2m-4)(m^2+1)=0\iff (m-2)\left(m^2+1-x_0\right)=0[/tex]
Если [tex]m=2[/tex], то [tex]P(x)=Q(x)=x^2-4x-20[/tex] и уравнение имеет только два корня; не подходит. Иначе [tex]P\ne Q[/tex], поэтому у них не более одного общего корня, [tex]x_0=m^2+1[/tex]. Подставим его в [tex]P[/tex]:
[tex](m^2+1)^2-2m(m^2+1)-4(m^2+1)=(m^2+1)(m^2-2m-3)=(m^2+1)(m-3)(m+1)=0[/tex]
Так как [tex]m\gt -1[/tex], получаем [tex]m=3[/tex]. Проверка:
[tex]P(x)=x^2-6x-40=(x-10)(x+4),\qquad Q(x)=x^2-4x-60=(x-10)(x+6)[/tex]
Корни: [tex]10[/tex], [tex]-4[/tex] и [tex]-6[/tex], т.е. ровно три различных корня. Ответ: [tex]m=3[/tex].

Решение:
Пусть [tex]f(x)=(2a-1)x^{2}+2(a+2)x+2[/tex]. Если [tex]a=\frac{1}{2}[/tex], неравенство имеет вид [tex]5x+2\gt 0[/tex], т.е. [tex]x\gt -\frac{2}{5}[/tex], и содержит бесконечно много целых чисел. Если [tex]a\gt \frac{1}{2}[/tex], старший коэффициент положителен и [tex]f(x)\gt 0[/tex] при всех достаточно больших [tex]x[/tex] — снова бесконечно много целых чисел. Значит, [tex]a\lt \frac{1}{2}[/tex] и ветви параболы направлены вниз. Её дискриминант
[tex]\frac{D}{4}=(a+2)^{2}-2(2a-1)=a^{2}+6\gt 0[/tex]
поэтому есть два корня [tex]x_1\lt x_2[/tex] и множество решений — интервал [tex]\left(x_1 ; x_2\right)[/tex]. Кроме того,
[tex]f(-1)=(2a-1)-2(a+2)+2=-3\lt 0,\qquad f(0)=2\gt 0[/tex]
откуда [tex]-1\lt x_1\lt 0\lt x_2[/tex]. Интервал не содержит отрицательных целых чисел, а целые числа в нём — это [tex]0; 1; 2; \ldots[/tex] до [tex]x_2[/tex]. Их ровно три тогда и только тогда, когда [tex]2[/tex] — решение, а [tex]3[/tex] — нет, т.е. [tex]f(2)\gt 0[/tex] и [tex]f(3)\le 0[/tex]:
[tex]f(2)=12a+6\gt 0\iff a\gt -\frac{1}{2},\qquad f(3)=24a+5\le 0\iff a\le -\frac{5}{24}[/tex]
Оба условия согласуются с [tex]a\lt \frac{1}{2}[/tex]. При [tex]a=-\frac{5}{24}[/tex] число [tex]3[/tex] — корень, поэтому оно не удовлетворяет строгому неравенству и этот конец включается; при [tex]a=-\frac{1}{2}[/tex] число [tex]2[/tex] — корень и остаются только [tex]0[/tex] и [tex]1[/tex]. Ответ: [tex]a\in\left(-\frac{1}{2} ; -\frac{5}{24}\right][/tex].

Решение:
При [tex]x=0[/tex] имеем [tex]f(0)=8\gt 0[/tex] при любом [tex]m[/tex]. Для [tex]x=k[/tex] и [tex]x=-k[/tex], где [tex]k\in\mathbb{N}[/tex], условия имеют вид
[tex]k^2-2mk+8\ge 0\iff m\le \frac{k}{2}+\frac{4}{k},\qquad k^2+2mk+8\ge 0\iff m\ge -\left(\frac{k}{2}+\frac{4}{k}\right)[/tex]
Значит, нужно [tex]|m|\le h(k)=\frac{k}{2}+\frac{4}{k}[/tex] для всех [tex]k\in\mathbb{N}[/tex], т.е. [tex]|m|[/tex] не должно превосходить наименьшего значения [tex]h(k)[/tex] на натуральных числах. Имеем [tex]h(3)=\frac{3}{2}+\frac{4}{3}=\frac{17}{6}[/tex] и для любого натурального [tex]k[/tex]
[tex]h(k)-\frac{17}{6}=\frac{3k^2-17k+24}{6k}=\frac{(3k-8)(k-3)}{6k}\ge 0[/tex]
поскольку строго между [tex]\frac{8}{3}[/tex] и [tex]3[/tex] нет целых чисел. Значит, наименьшее значение равно [tex]\frac{17}{6}[/tex] (при [tex]k=3[/tex]) и условие имеет вид [tex]-\frac{17}{6}\le m\le \frac{17}{6}[/tex].
Это множество шире, чем [tex]\left[-2\sqrt{2} ; 2\sqrt{2}\right][/tex], которое получается из условия [tex]D\le 0[/tex] (неравенство при всех действительных [tex]x[/tex]): например, при [tex]m=\frac{17}{6}[/tex] корни [tex]f[/tex] равны [tex]\frac{8}{3}[/tex] и [tex]3[/tex], а [tex]f[/tex] отрицательна лишь строго между ними, где нет целых чисел. Ответ: [tex]m\in\left[-\frac{17}{6} ; \frac{17}{6}\right][/tex].

Решение:
Действительное число [tex]u[/tex] является корнем уравнения при некотором действительном [tex]a[/tex] тогда и только тогда, когда уравнение, рассматриваемое как квадратное относительно [tex]a[/tex],
[tex]a^2+6(1-u)a+3u^2-u-3=0[/tex]
имеет действительное решение [tex]a[/tex], т.е. когда его дискриминант неотрицателен:
[tex]\frac{D}{4}=9(1-u)^2-\left(3u^2-u-3\right)=6u^2-17u+12=(2u-3)(3u-4)\ge 0[/tex]
Значит, возможные действительные корни — это в точности числа [tex]u\in\left(-\infty ; \frac{4}{3}\right]\cup\left[\frac{3}{2} ; +\infty\right)[/tex]. Так как [tex]\frac{4}{3}\lt \sqrt{2}\lt \frac{3}{2}[/tex], ближайшие к [tex]\sqrt{2}[/tex] возможные значения — [tex]\frac{4}{3}[/tex] и [tex]\frac{3}{2}[/tex]. Сравним расстояния:
[tex]\sqrt{2}-\frac{4}{3}\lt \frac{3}{2}-\sqrt{2}\iff 2\sqrt{2}\lt \frac{17}{6}\iff 12\sqrt{2}\lt 17\iff 288\lt 289[/tex]
что верно. Значит, минимум [tex]\left|u-\sqrt{2}\right|[/tex] достигается при [tex]u=\frac{4}{3}[/tex]. Для него дискриминант относительно [tex]a[/tex] равен нулю, поэтому [tex]a=-3(1-u)=3u-3=1[/tex]. Проверка: при [tex]a=1[/tex] уравнение имеет вид [tex]3x^2-7x+4=0[/tex] с корнями [tex]1[/tex] и [tex]\frac{4}{3}[/tex]. Ответ: [tex]a=1[/tex].

Решение:
Левая часть определена только при [tex]a\ne 0[/tex] и [tex]\sin x\ne 0[/tex]. Положим [tex]u=\left|a\sin x\right|\gt 0[/tex]. Так как [tex]a^{2}\sin ^{2}x+9\gt 0[/tex], левая часть равна
[tex]\frac{u^{2}+9}{u}=u+\frac{9}{u}=6+\frac{(u-3)^{2}}{u}\ge 6[/tex]
причём равенство достигается только при [tex]u=3[/tex]. Для правой части
[tex]-25\cos^{2}x+30\cos x-3=6-(5\cos x-3)^{2}\le 6[/tex]
причём равенство достигается только при [tex]\cos x=\frac{3}{5}[/tex]. Поэтому неравенство может выполняться, только если обе части равны [tex]6[/tex], т.е. [tex]\cos x=\frac{3}{5}[/tex] и [tex]\left|a\sin x\right|=3[/tex]. Из [tex]\cos x=\frac{3}{5}[/tex] получаем [tex]\left|\sin x\right|=\frac{4}{5}[/tex], поэтому [tex]\frac{4}{5}|a|=3[/tex] и [tex]|a|=\frac{15}{4}[/tex].
Обратно, при [tex]a=\pm\frac{15}{4}[/tex] число [tex]x=\arccos\frac{3}{5}[/tex] даёт [tex]\left|a\sin x\right|=3[/tex] и обе части равны [tex]6[/tex], т.е. неравенство имеет решение. Ответ: [tex]a=\pm\frac{15}{4}[/tex].

Решение:
При любом [tex]x[/tex] имеем [tex]1+\sin ^2(ax)\ge 1[/tex] и [tex]\cos x\le 1[/tex]. Поэтому равенство выполняется тогда и только тогда, когда [tex]\cos x=1[/tex] и [tex]\sin (ax)=0[/tex]. Первое условие даёт [tex]x=2k\pi[/tex], [tex]k\in\mathbb{Z}[/tex], и тогда второе принимает вид
[tex]\sin (2k\pi a)=0\iff 2ka\in\mathbb{Z}[/tex]
При [tex]k=0[/tex] это всегда верно, т.е. [tex]x=0[/tex] — решение при любом [tex]a[/tex]. Решение единственно тогда и только тогда, когда [tex]2ka\notin\mathbb{Z}[/tex] для всех целых [tex]k\ne 0[/tex].
Если [tex]a[/tex] рационально, [tex]a=\frac{p}{q}[/tex], где [tex]p\in\mathbb{Z}[/tex], [tex]q\in\mathbb{N}[/tex], то при [tex]k=q[/tex] получаем [tex]2qa=2p\in\mathbb{Z}[/tex], т.е. [tex]x=2q\pi\ne 0[/tex] — второе решение. Если [tex]a[/tex] иррационально, то [tex]2ka[/tex] иррационально при любом целом [tex]k\ne 0[/tex], поэтому [tex]x=0[/tex] — единственное решение.
Следовательно, уравнение имеет единственное решение тогда и только тогда, когда [tex]a[/tex] иррационально, т.е. [tex]a\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}[/tex].

Решение:
Пусть [tex]f(x)=8x^2+bx+c[/tex]. Тогда [tex]f(0)=c[/tex], [tex]f\left(\frac{1}{2}\right)=2+\frac{b}{2}+c[/tex], [tex]f(1)=8+b+c[/tex] и, следовательно, при всех [tex]b[/tex] и [tex]c[/tex]
[tex]f(0)-2f\left(\frac{1}{2}\right)+f(1)=c-4-b-2c+8+b+c=4[/tex]
Пусть [tex]\left|f(x)\right|\le 1[/tex] на [tex]\left[0 ; 1\right][/tex]. Тогда [tex]f(0)\le 1[/tex], [tex]-2f\left(\frac{1}{2}\right)\le 2[/tex] и [tex]f(1)\le 1[/tex], т.е. левая часть тождества не больше [tex]4[/tex]. Так как она равна [tex]4[/tex], все три оценки обращаются в равенства: [tex]f(0)=1[/tex], [tex]f\left(\frac{1}{2}\right)=-1[/tex], [tex]f(1)=1[/tex]. Отсюда [tex]c=1[/tex] и [tex]b=-8[/tex] (и действительно [tex]f\left(\frac{1}{2}\right)=2-4+1=-1[/tex]), т.е. другая пара невозможна.
Обратно, при [tex]b=-8[/tex], [tex]c=1[/tex]:
[tex]f(x)=8x^2-8x+1=2(2x-1)^2-1[/tex]
При [tex]x\in\left[0 ; 1\right][/tex] имеем [tex](2x-1)^2\in\left[0 ; 1\right][/tex], поэтому [tex]f(x)\in\left[-1 ; 1\right][/tex], т.е. [tex]\left|f(x)\right|\le 1[/tex]. Единственная пара: [tex]b=-8[/tex], [tex]c=1[/tex].

Решение:
Пусть [tex]A=4x^2-(8a-1)x+5a^2[/tex] и [tex]B=x^2-2(a+1)x-a^2[/tex]; ОДЗ: [tex]A\gt 0[/tex], [tex]B\gt 0[/tex]. Заметим, что
[tex]A-B=3x^2-(6a-3)x+6a^2=3\left(x^2+(1-2a)x+2a^2\right)[/tex]
поэтому уравнение можно записать в виде [tex]\frac{A-B}{3}+\lg A=\lg B[/tex], т.е.
[tex]\lg A+\frac{A}{3}=\lg B+\frac{B}{3}[/tex]
Функция [tex]g(t)=\lg t+\frac{t}{3}[/tex] строго возрастает на [tex]\left(0 ; +\infty\right)[/tex], поэтому [tex]g(A)=g(B)\iff A=B[/tex]. Значит, уравнение равносильно условию [tex]Q(x)=x^2+(1-2a)x+2a^2=0[/tex] вместе с [tex]B\gt 0[/tex] (тогда автоматически [tex]A=B\gt 0[/tex]). Для корня [tex]Q[/tex] имеем [tex]x^2=(2a-1)x-2a^2[/tex], поэтому
[tex]B=(2a-1)x-2a^2-2(a+1)x-a^2=-3x-3a^2,\qquad B\gt 0\iff x\lt -a^2[/tex]
Значит, нужно, чтобы [tex]Q[/tex] имел ровно один корень, меньший [tex]-a^2[/tex]. Для дискриминанта [tex]D[/tex] многочлена [tex]Q[/tex], абсциссы [tex]x_v[/tex] вершины параболы и значения в точке [tex]-a^2[/tex] имеем
[tex]D=(1-2a)^2-8a^2=1-4a-4a^2,\qquad x_v=a-\frac{1}{2},\qquad Q\left(-a^2\right)=a^4+2a^3+a^2=a^2(a+1)^2\ge 0[/tex]
Если [tex]D\lt 0[/tex], решений нет. Если [tex]D=0[/tex], т.е. [tex]a=\frac{-1\pm\sqrt{2}}{2}[/tex], то [tex]4a^2+4a=1[/tex] и [tex]x_v+a^2=\frac{2a^2+2a-1}{2}=-\frac{1}{4}\lt 0[/tex], т.е. двойной корень удовлетворяет условию [tex]x\lt -a^2[/tex]: ровно одно решение.
Если [tex]D\gt 0[/tex], т.е. [tex]\frac{-1-\sqrt{2}}{2}\lt a\lt \frac{-1+\sqrt{2}}{2}[/tex], то [tex]4a^2+4a\lt 1[/tex], поэтому [tex]x_v+a^2=\frac{2a^2+2a-1}{2}\lt 0[/tex] и вершина лежит левее [tex]-a^2[/tex]. Если [tex]Q\left(-a^2\right)\gt 0[/tex], оба корня меньше [tex]-a^2[/tex]: два решения. Если [tex]Q\left(-a^2\right)=0[/tex], т.е. [tex]a=0[/tex] или [tex]a=-1[/tex] (оба значения лежат в этом интервале), то число [tex]-a^2[/tex] само является корнем (не подходит, так как тогда [tex]B=0[/tex]), а другой корень меньше: ровно одно решение ([tex]x=-1[/tex] при [tex]a=0[/tex], [tex]x=-2[/tex] при [tex]a=-1[/tex]).
Ответ: [tex]a\in\left\{\frac{-1-\sqrt{2}}{2} ; -1 ; 0 ; \frac{-1+\sqrt{2}}{2}\right\}[/tex].

Решение:
Каждое решение определяется своим [tex]x[/tex], так как [tex]y=\left|x^2-kx\right|-k[/tex]. Подставляя это [tex]y[/tex] в первое уравнение, видим, что число решений равно числу действительных корней уравнения
[tex]x^2+\left(\left|x^2-kx\right|-k\right)^2=k^2\iff x^2\left(1+(x-k)^2\right)=2k\left|x\right|\left|x-k\right|\qquad (1)[/tex]
Число [tex]x=0[/tex] всегда является корнем (оно даёт решение [tex](0 ; -k)[/tex]).
Случай [tex]k\le 0[/tex]. Правая часть [tex](1)[/tex] неположительна, а левая неотрицательна и обращается в нуль только при [tex]x=0[/tex]. Значит, [tex]x=0[/tex] — единственный корень, и система имеет ровно одно решение.
Случай [tex]0\lt k\lt 6[/tex]. При [tex]x\ne 0[/tex] разделим [tex](1)[/tex] на [tex]\left|x\right|[/tex]:
[tex]\left|x\right|\left(1+(x-k)^2\right)=2k\left|x-k\right|\qquad (2)[/tex]
Число [tex]x=k[/tex] не является корнем, так как тогда левая часть равна [tex]k\ne 0[/tex], а правая равна [tex]0[/tex].
(а) При [tex]x\gt k[/tex] положим [tex]u=x-k\gt 0[/tex]. Разность левой и правой частей [tex](2)[/tex] равна
[tex](u+k)\left(1+u^2\right)-2ku=u^3+u+k(u-1)^2\gt 0[/tex]
поэтому корней с [tex]x\gt k[/tex] нет.
(б) При [tex]0\lt x\lt k[/tex] уравнение [tex](2)[/tex] принимает вид [tex]h(x)=x\left(1+(x-k)^2\right)-2k(k-x)=0[/tex]. Здесь [tex]h(0)=-2k^2\lt 0[/tex], [tex]h(k)=k\gt 0[/tex] и
[tex]h'(x)=1+2k+(x-k)(3x-k)\ge 1+2k-\frac{k^2}{3}=\frac{12-(k-3)^2}{3}\gt 0[/tex]
так как квадратный трёхчлен [tex](x-k)(3x-k)=3x^2-4kx+k^2[/tex] имеет наименьшее значение [tex]-\frac{k^2}{3}[/tex] (при [tex]x=\frac{2k}{3}[/tex]), а из [tex]0\lt k\lt 6[/tex] следует [tex](k-3)^2\lt 9[/tex]. Значит, [tex]h[/tex] непрерывна и строго возрастает на [tex]\left[0 ; k\right][/tex], поэтому имеет ровно один корень на [tex]\left(0 ; k\right)[/tex].
(в) При [tex]x\lt 0[/tex] уравнение [tex](2)[/tex] принимает вид [tex]g(x)=-x\left(1+(x-k)^2\right)-2k(k-x)=0[/tex]. При [tex]x\lt 0[/tex] имеем [tex](x-k)(3x-k)=3x^2-4kx+k^2\gt k^2[/tex], откуда
[tex]g'(x)=2k-1-(x-k)(3x-k)\lt 2k-1-k^2=-(k-1)^2\le 0[/tex]
поэтому [tex]g[/tex] строго убывает на [tex]\left(-\infty ; 0\right][/tex]. Так как [tex]g(x)\to +\infty[/tex] при [tex]x\to -\infty[/tex] (старший член равен [tex]-x^3[/tex]) и [tex]g(0)=-2k^2\lt 0[/tex], функция [tex]g[/tex] имеет ровно один корень на [tex]\left(-\infty ; 0\right)[/tex].
Значит, при [tex]0\lt k\lt 6[/tex] система имеет ровно [tex]3[/tex] решения. Итак, при любом [tex]k\lt 6[/tex] число решений равно [tex]1[/tex] или [tex]3[/tex], т.е. нечётно.