Геометрическая вероятность - очень сложные задачи с решениями

Решение:
Точка [tex](X; Y; Z)[/tex] равномерно распределена в единичном кубе, объём которого равен [tex]1[/tex], поэтому вероятности равны объёмам. В силу симметрии между [tex]X[/tex] и [tex]Z[/tex] событию [tex]X\lt Z[/tex] соответствует половина куба:
[tex]P(X\lt Z)=\frac{1}{2}[/tex]
Плоскости [tex]x=y[/tex], [tex]y=z[/tex] и [tex]x=z[/tex] разрезают куб на [tex]6[/tex] равных частей, по одной для каждого порядка чисел [tex]X[/tex], [tex]Y[/tex], [tex]Z[/tex] (равенствам соответствует нулевой объём), поэтому каждый порядок имеет вероятность [tex]\frac{1}{6}[/tex]. То же получается интегрированием:
[tex]P(X\lt Y\lt Z)=\int_0^1\frac{z^2}{2}\,dz=\frac{1}{6}[/tex]
Так как из [tex]X\lt Y\lt Z[/tex] следует [tex]X\lt Z[/tex], условная вероятность равна
[tex]P\left(X\le Y\le Z\mid X\lt Z\right)=\frac{P(X\lt Y\lt Z)}{P(X\lt Z)}=\frac{\frac{1}{6}}{\frac{1}{2}}=\frac{1}{3}[/tex]
Иными словами, из трёх равновероятных порядков с [tex]X\lt Z[/tex] ([tex]Y\lt X\lt Z[/tex], [tex]X\lt Y\lt Z[/tex], [tex]X\lt Z\lt Y[/tex]) ровно в одном [tex]Y[/tex] лежит между [tex]X[/tex] и [tex]Z[/tex]. Ответ не равен [tex]\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{4}[/tex], так как события [tex]X\lt Y[/tex] и [tex]Y\lt Z[/tex] не являются независимыми.

Решение:
Пусть [tex]x[/tex] — расстояние от середины палочки до ближайшей границы, а [tex]\varphi[/tex] — угол между палочкой и границами. Тогда
[tex]0\le x\le 3 ; \quad 0\le\varphi\le\frac{\pi}{2}[/tex]
и точка [tex](\varphi; x)[/tex] равномерно распределена в прямоугольнике площади
[tex]\frac{\pi}{2}\cdot 3=\frac{3\pi}{2}[/tex]
Каждая половина палочки имеет длину [tex]3[/tex], а её проекция на направление, перпендикулярное границам, равна [tex]3\sin \varphi[/tex]. Поэтому палочка пересекает ближайшую границу тогда и только тогда, когда [tex]x\le 3\sin \varphi[/tex]; другой границы она достичь не может, так как следующая граница находится на расстоянии [tex]6-x\ge 3[/tex] от её середины. Площадь области [tex]x\le 3\sin \varphi[/tex] равна
[tex]\int_0^{\frac{\pi}{2}}3\sin \varphi\,d\varphi=\left.-3\cos\varphi\right|_0^{\frac{\pi}{2}}=3[/tex]
Вероятность того, что палочка пересечёт границу, равна отношению площадей [tex]\frac{3}{\frac{3\pi}{2}}=\frac{2}{\pi}[/tex], поэтому вероятность того, что она целиком лежит на одной полосе, равна
[tex]P=1-\frac{2}{\pi}\approx 0{,}363[/tex]
(Это задача Бюффона об игле.)

Решение:
Ответ не зависит от размера квадрата, поэтому возьмём квадрат [tex]-1\le x\le 1[/tex], [tex]-1\le y\le 1[/tex] с центром [tex]O(0; 0)[/tex]. Оси координат и диагонали делят его на [tex]8[/tex] равных треугольников, а условие симметрично относительно этих прямых, поэтому достаточно рассмотреть треугольник
[tex]T:\ 0\le y\le x\le 1 ; \quad S_T=\frac{1}{2}[/tex]
В [tex]T[/tex] ближайшая сторона — [tex]x=1[/tex], расстояние до неё равно [tex]1-x\ge 0[/tex]. Обе части неравенства неотрицательны, поэтому его можно возвести в квадрат:
[tex]\sqrt{x^2+y^2}\lt 1-x\iff x^2+y^2\lt 1-2x+x^2\iff x\lt\frac{1-y^2}{2}[/tex]
Вместе с [tex]x\ge y[/tex] это требует [tex]y\lt\frac{1-y^2}{2}[/tex], т.е. [tex]y^2+2y-1\lt 0[/tex], откуда [tex]0\le y\lt\sqrt{2}-1[/tex]. Пусть [tex]t=\sqrt{2}-1[/tex]; площадь благоприятной части треугольника [tex]T[/tex] равна
[tex]S=\int_0^{t}\left(\frac{1-y^2}{2}-y\right)dy=\frac{t}{2}-\frac{t^3}{6}-\frac{t^2}{2}=\frac{3t-t^3-3t^2}{6}[/tex]
Так как [tex]t^2=3-2\sqrt{2}[/tex] и [tex]t^3=5\sqrt{2}-7[/tex], получаем
[tex]S=\frac{3\sqrt{2}-3-5\sqrt{2}+7-9+6\sqrt{2}}{6}=\frac{4\sqrt{2}-5}{6}[/tex]
Вероятность равна отношению площадей:
[tex]P=\frac{S}{S_T}=\frac{4\sqrt{2}-5}{3}\approx 0{,}22[/tex]