Графики функций - сложные задачи с решениями

Решение:
Из условия на площадь [tex]xy=400[/tex], т.е. [tex]y=\frac{400}{x}[/tex] при [tex]x\gt 0[/tex]. Вырезанный прямоугольник должен помещаться в картоне со сторонами, параллельными сторонам картона, и его можно расположить двумя способами.
Если сторона [tex]x[/tex] идёт вдоль стороны длины [tex]20[/tex], то [tex]x\le 20[/tex] и [tex]y\le 40[/tex]:
[tex]x\le 20,\quad \frac{400}{x}\le 40\iff x\ge 10\qquad\Rightarrow\qquad 10\le x\le 20[/tex]
Если сторона [tex]x[/tex] идёт вдоль стороны длины [tex]40[/tex], то [tex]x\le 40[/tex] и [tex]y\le 20[/tex]:
[tex]x\le 40,\quad \frac{400}{x}\le 20\iff x\ge 20\qquad\Rightarrow\qquad 20\le x\le 40[/tex]
Подходит любое [tex]x[/tex] из любого из двух случаев, поэтому область определения — объединение двух отрезков:
[tex]\left[10; 20\right]\cup\left[20; 40\right]=\left[10; 40\right][/tex]
График — дуга гиперболы [tex]y=\frac{400}{x}[/tex] от [tex](10; 40)[/tex] до [tex](40; 10)[/tex]. (Если рассмотреть только одно расположение, получится [tex]\left[10; 20\right][/tex] или [tex]\left[20; 40\right][/tex]; если забыть об условии на [tex]y[/tex], получится [tex]\left(0; 40\right][/tex].)

Решение:
Построим графики [tex]y_1=\left|x\right|[/tex] (угол с вершиной [tex](0; 0)[/tex]) и [tex]y_2=\left|x+1\right|[/tex] (тот же угол, сдвинутый на [tex]1[/tex] единицу влево, с вершиной [tex](-1; 0)[/tex]). Они симметричны относительно прямой [tex]x=-\frac{1}{2}[/tex] и пересекаются только там, где убывающая ветвь [tex]y_1[/tex] пересекает возрастающую ветвь [tex]y_2[/tex]:
[tex]-x=x+1\Rightarrow x=-\frac{1}{2},\quad y=\frac{1}{2}[/tex]
Левее точки пересечения [tex]\left(-\frac{1}{2}; \frac{1}{2}\right)[/tex] график [tex]y_1[/tex] лежит выше графика [tex]y_2[/tex] (например, при [tex]x=-2[/tex]: [tex]2\gt 1[/tex]), а правее — ниже (при [tex]x=0[/tex]: [tex]0\lt 1[/tex]). Неравенство строгое, поэтому точка [tex]x=-\frac{1}{2}[/tex], где значения равны, исключается:
[tex]x\lt -\frac{1}{2}[/tex]
Алгебраическая проверка: обе части неотрицательны, поэтому их можно возвести в квадрат:
[tex]x^2\gt x^2+2x+1\iff 2x+1\lt 0\iff x\lt -\frac{1}{2}[/tex]

Решение:
Выражения под знаками модуля обращаются в нуль при [tex]x=0[/tex] и [tex]x=1[/tex]; на каждом из трёх промежутков функция линейна:
[tex]f(x)=\left\{\begin{array}{ll}-x-(1-x)=-1, & x\lt 0\\ x-(1-x)=2x-1, & 0\le x\lt 1\\ x-(x-1)=1, & x\ge 1\end{array}\right.[/tex]
График состоит из горизонтального луча [tex]y=-1[/tex] при [tex]x\lt 0[/tex], отрезка от [tex](0; -1)[/tex] до [tex](1; 1)[/tex] и горизонтального луча [tex]y=1[/tex] при [tex]x\ge 1[/tex]. Его проекция на ось ординат — отрезок [tex]\left[-1; 1\right][/tex]; оба конца достигаются:
[tex]f(0)=-1,\qquad f(1)=1[/tex]
Та же оценка следует и из неравенства треугольника:
[tex]\left|f(x)\right|=\left|\,\left|x\right|-\left|x-1\right|\,\right|\le\left|x-(x-1)\right|=1[/tex]
Следовательно, множество значений — [tex]\left[-1; 1\right][/tex].

Решение:
Вычислим значения на концах участков:
[tex]f(1)=3\cdot 1-3=0,\quad 3\cdot 2-3=3=f(2),\quad f(5)=10{,}5-7{,}5=3,\quad f(7)=10{,}5-10{,}5=0[/tex]
Итак, график — это отрезок от [tex](1; 0)[/tex] до [tex](2; 3)[/tex], горизонтальный отрезок от [tex](2; 3)[/tex] до [tex](5; 3)[/tex] и отрезок от [tex](5; 3)[/tex] до [tex](7; 0)[/tex]. Части стыкуются, поэтому график — ломаная [tex](1; 0)\to(2; 3)\to(5; 3)\to(7; 0)[/tex], лежащая на оси абсцисс или выше неё. Вместе с отрезком оси абсцисс от [tex]1[/tex] до [tex]7[/tex] она ограничивает трапецию с основаниями [tex]7-1=6[/tex] и [tex]5-2=3[/tex] и высотой [tex]3[/tex]:
[tex]S=\frac{6+3}{2}\cdot 3=\frac{27}{2}[/tex]
Проверка по частям (два треугольника и прямоугольник):
[tex]S=\frac{1}{2}\cdot 1\cdot 3+3\cdot 3+\frac{1}{2}\cdot 2\cdot 3=\frac{3}{2}+9+3=\frac{27}{2}[/tex]

Решение:
Функция определена только там, где знаменатель отличен от нуля, т.е. при [tex]x\ne 0[/tex]. Для таких [tex]x[/tex] можно сократить:
[tex]f(x)=\frac{x^3}{x^2}=x,\qquad x\ne 0[/tex]
Следовательно, график — это прямая [tex]y=x[/tex] (биссектриса первой и третьей координатных четвертей) без точки [tex]O(0; 0)[/tex], которая изображается выколотой.
Горизонтальная прямая [tex]y=m[/tex] пересекает прямую [tex]y=x[/tex] в единственной точке [tex](m; m)[/tex]. Эта точка принадлежит графику [tex]f[/tex] тогда и только тогда, когда [tex]m\ne 0[/tex]. При [tex]m=0[/tex] прямая [tex]y=0[/tex] проходит через выколотую точку, и уравнение [tex]f(x)=0[/tex] не имеет решений. Следовательно,
[tex]m\ne 0[/tex]

Решение:
Функция имеет смысл только при [tex]a\ne 0[/tex]. Тогда
[tex]y=\frac{-2a-1}{a}\cdot \frac{1}{x}\ \Rightarrow\ k=\frac{-2a-1}{a}=-2-\frac{1}{a}[/tex]
При целом [tex]a[/tex] число [tex]k[/tex] целое тогда и только тогда, когда [tex]\frac{1}{a}[/tex] — целое число, т.е. при [tex]a=1[/tex] или [tex]a=-1[/tex]:
[tex]a=1\ \Rightarrow\ k=-3,\ \ y=-\frac{3}{x}\qquad\qquad a=-1\ \Rightarrow\ k=\frac{2-1}{-1}=-1,\ \ y=-\frac{1}{x}[/tex]
Гипербола [tex]y=\frac{k}{x}[/tex] расположена во второй и четвёртой четвертях тогда и только тогда, когда [tex]k\lt 0[/tex] (тогда [tex]y\gt 0[/tex] при [tex]x\lt 0[/tex] и [tex]y\lt 0[/tex] при [tex]x\gt 0[/tex]). Оба значения дают [tex]k\lt 0[/tex], поэтому оба подходят:
[tex]a\in\left\{-1; 1\right\}[/tex]

Решение:
Выражения под модулями меняют знак при [tex]x=-1[/tex] и [tex]x=\frac{1}{2}[/tex]. На каждом промежутке раскроем модули:
[tex]x\lt -1:\quad f(x)=-(2x-1)+(x+1)+x+2=4[/tex]
[tex]-1\le x\lt\frac{1}{2}:\quad f(x)=-(2x-1)-(x+1)+x+2=2-2x[/tex]
[tex]x\ge\frac{1}{2}:\quad f(x)=(2x-1)-(x+1)+x+2=2x[/tex]
Следовательно, график состоит из горизонтального луча [tex]y=4[/tex] при [tex]x\le -1[/tex], отрезка от [tex](-1; 4)[/tex] до [tex]\left(\frac{1}{2}; 1\right)[/tex] и луча [tex]y=2x[/tex] при [tex]x\ge\frac{1}{2}[/tex]. Наименьшее значение функции равно [tex]f\left(\frac{1}{2}\right)=1[/tex].
Пусть [tex]c=k+2[/tex]; будем двигать горизонтальную прямую [tex]y=c[/tex]. При [tex]c\lt 1[/tex] общих точек нет; при [tex]c=1[/tex] одна точка ([tex]x=\frac{1}{2}[/tex]).
При [tex]1\lt c\lt 4[/tex] две точки: [tex]x=\frac{2-c}{2}\in\left(-1; \frac{1}{2}\right)[/tex] на отрезке и [tex]x=\frac{c}{2}\gt\frac{1}{2}[/tex] на луче.
При [tex]c=4[/tex] бесконечно много (любое [tex]x\le -1[/tex], а также [tex]x=2[/tex]); при [tex]c\gt 4[/tex] одна точка ([tex]x=\frac{c}{2}[/tex]).
Ровно два решения получаются только при [tex]1\lt c\lt 4[/tex]:
[tex]1\lt k+2\lt 4\ \Leftrightarrow\ -1\lt k\lt 2\ \Leftrightarrow\ k\in\left(-1; 2\right)[/tex]

Решение:
Прямая [tex]g[/tex] проходит через [tex]B[/tex] и [tex]A[/tex]:
[tex]g(0)=n=\frac{16}{3},\qquad g(8)=8k+\frac{16}{3}=0\ \Rightarrow\ k=-\frac{2}{3},\qquad g(x)=-\frac{2}{3}x+\frac{16}{3}[/tex]
Функция [tex]f[/tex]. Если [tex]x\ge 1[/tex], то [tex]\left|1-x\right|=x-1[/tex] и [tex]3x+1-(x-1)=2x+2\gt 0[/tex], поэтому
[tex]f(x)=2x+2-2x=2[/tex]
Если [tex]x\lt 1[/tex], то [tex]\left|1-x\right|=1-x[/tex] и [tex]3x+1-(1-x)=4x[/tex], поэтому [tex]f(x)=\left|4x\right|-2x[/tex]:
[tex]0\le x\lt 1:\ f(x)=4x-2x=2x,\qquad x\lt 0:\ f(x)=-4x-2x=-6x[/tex]
Следовательно, график [tex]f[/tex] — это луч [tex]y=-6x[/tex] при [tex]x\lt 0[/tex], отрезок от [tex]O(0; 0)[/tex] до [tex]C(1; 2)[/tex] и горизонтальный луч [tex]y=2[/tex] при [tex]x\ge 1[/tex]. Точки пересечения с [tex]g[/tex]:
[tex]-6x=-\frac{2}{3}x+\frac{16}{3}\ \Rightarrow\ x=-1\lt 0,\quad P(-1; 6)[/tex]
[tex]2=-\frac{2}{3}x+\frac{16}{3}\ \Rightarrow\ x=5\ge 1,\quad Q(5; 2)[/tex]
Уравнение [tex]2x=-\frac{2}{3}x+\frac{16}{3}[/tex] даёт [tex]x=2[/tex], но этот корень отбрасываем, так как формула [tex]f(x)=2x[/tex] верна только при [tex]0\le x\lt 1[/tex].
Графики пересекаются только в точках [tex]P[/tex] и [tex]Q[/tex], а при [tex]x=0[/tex] имеем [tex]g(0)=\frac{16}{3}\gt 0=f(0)[/tex], поэтому при [tex]-1\lt x\lt 5[/tex] прямая [tex]g[/tex] лежит выше графика [tex]f[/tex]; обе функции там неотрицательны. Искомая фигура имеет вершины [tex]P(-1; 6)[/tex], [tex]O(0; 0)[/tex], [tex]C(1; 2)[/tex], [tex]Q(5; 2)[/tex], и её площадь равна площади под [tex]g[/tex] минус площадь под [tex]f[/tex] на отрезке [tex]\left[-1; 5\right][/tex].
Под [tex]g[/tex]: трапеция с основаниями [tex]g(-1)=6[/tex] и [tex]g(5)=2[/tex] и высотой [tex]6[/tex]. Под [tex]f[/tex]: два треугольника и прямоугольник:
[tex]S_g=\frac{6+2}{2}\cdot 6=24,\qquad S_f=\frac{1}{2}\cdot 1\cdot 6+\frac{1}{2}\cdot 1\cdot 2+4\cdot 2=3+1+8=12[/tex]
[tex]S=S_g-S_f=24-12=12[/tex]