Системы нелинейных уравнений - сложные задачи с решениями

Решение:
Делить первое уравнение на [tex]x-y[/tex] нельзя: это выражение может равняться нулю, и решения будут потеряны. Перенесём всё в левую часть и разложим на множители:
[tex](x-y)(x^2+xy+y^2)-8(x-y)=0\iff (x-y)(x^2+xy+y^2-8)=0[/tex]
Если [tex]x=y[/tex], то второе уравнение даёт [tex]2x^2=8[/tex], т.е. [tex]x=\pm 2[/tex]: пары [tex](2; 2)[/tex] и [tex](-2; -2)[/tex].
Если [tex]x^2+xy+y^2=8[/tex], то, вычитая второе уравнение [tex]x^2+y^2=8[/tex], получаем [tex]xy=0[/tex]. При [tex]x=0[/tex] имеем [tex]y^2=8[/tex], [tex]y=\pm 2\sqrt{2}[/tex]; при [tex]y=0[/tex] имеем [tex]x=\pm 2\sqrt{2}[/tex].
Все шесть пар удовлетворяют обоим уравнениям, поэтому решения системы:
[tex](2; 2),\ (-2; -2),\ (0; 2\sqrt{2}),\ (0; -2\sqrt{2}),\ (2\sqrt{2}; 0),\ (-2\sqrt{2}; 0)[/tex]

Решение:
Сложим уравнения и положим [tex]u=x+y[/tex]:
[tex]x^2+2xy+y^2+(x+y)=72\iff u^2+u-72=0\Rightarrow u=8\text{ или }u=-9[/tex]
Если [tex]x+y=-9[/tex], то из второго уравнения [tex]xy=\frac{38+9}{2}=\frac{47}{2}[/tex]. Тогда [tex]x[/tex] и [tex]y[/tex] были бы корнями уравнения [tex]t^2+9t+\frac{47}{2}=0[/tex], дискриминант которого [tex]81-94\lt 0[/tex], поэтому в этом случае действительных решений нет.
Если [tex]x+y=8[/tex], то [tex]xy=\frac{38-8}{2}=15[/tex], и по теореме, обратной теореме Виета, [tex]x[/tex] и [tex]y[/tex] — корни уравнения
[tex]t^2-8t+15=0\Rightarrow t_1=3,\ t_2=5[/tex]
Решения системы: [tex](3; 5)[/tex] и [tex](5; 3)[/tex], поэтому [tex]\frac{x}{y}[/tex] равно [tex]\frac{3}{5}[/tex] или [tex]\frac{5}{3}[/tex]. Наибольшее значение равно [tex]\frac{5}{3}[/tex].

Решение:
Разложим левую часть первого уравнения на множители:
[tex]x^4+x^2y^2+y^4=(x^2+y^2)^2-x^2y^2=(x^2+xy+y^2)(x^2-xy+y^2)[/tex]
С учётом второго уравнения первое принимает вид [tex]37(x^2-xy+y^2)=481[/tex], откуда [tex]x^2-xy+y^2=13[/tex]. Значит, система равносильна системе
[tex]\left\{\begin{array}{l} x^2+xy+y^2=37 \\ x^2-xy+y^2=13 \end{array}\right.[/tex]
Вычитая уравнения, получаем [tex]2xy=24[/tex], т.е. [tex]xy=12[/tex], а складывая — [tex]2(x^2+y^2)=50[/tex], т.е. [tex]x^2+y^2=25[/tex]. Тогда
[tex](x+y)^2=x^2+y^2+2xy=25+24=49\Rightarrow x+y=\pm 7[/tex]
Если [tex]x+y=7[/tex] и [tex]xy=12[/tex], то [tex]x[/tex] и [tex]y[/tex] — корни уравнения [tex]t^2-7t+12=0[/tex], т.е. [tex]3[/tex] и [tex]4[/tex].
Если [tex]x+y=-7[/tex] и [tex]xy=12[/tex], то они — корни уравнения [tex]t^2+7t+12=0[/tex], т.е. [tex]-3[/tex] и [tex]-4[/tex].
Решения системы: [tex](3; 4)[/tex], [tex](4; 3)[/tex], [tex](-3; -4)[/tex], [tex](-4; -3)[/tex].

Решение:
Второе уравнение имеет вид [tex]xy(x-y)=6[/tex]. Воспользуемся тождеством
[tex]x^{3}-y^{3}=(x-y)^{3}+3xy(x-y)[/tex]
Тогда первое уравнение принимает вид
[tex](x-y)^{3}+3\cdot 6=26\Rightarrow (x-y)^{3}=8[/tex]
Действительный кубический корень единствен, поэтому [tex]x-y=2[/tex], и тогда [tex]xy=\frac{6}{2}=3[/tex]. Подставляя [tex]x=y+2[/tex], получаем
[tex]y(y+2)=3\Rightarrow y^{2}+2y-3=0\Rightarrow y_{1}=1,\ y_{2}=-3[/tex]
откуда [tex]x_{1}=3[/tex], [tex]x_{2}=-1[/tex]. Проверка: [tex]27-1=26[/tex], [tex]3\cdot 2=6[/tex] и [tex]-1+27=26[/tex], [tex]3\cdot 2=6[/tex].
Решения системы: [tex](3; 1)[/tex] и [tex](-1; -3)[/tex].

Решение:
Так как [tex]5\cdot 44=4\cdot 55=220[/tex], умножим первое уравнение на [tex]5[/tex], второе на [tex]4[/tex] и вычтем:
[tex]10x^2-5xy+25y^2-(4x^2-12xy+28y^2)=0\Rightarrow 6x^2+7xy-3y^2=0\Rightarrow (3x-y)(2x+3y)=0[/tex]
Это уравнение вместе с первым уравнением равносильно системе. Следовательно, [tex]y=3x[/tex] или [tex]x=-\frac{3y}{2}[/tex].
Если [tex]y=3x[/tex], первое уравнение даёт [tex]2x^2-3x^2+45x^2=44x^2=44[/tex], т.е. [tex]x=\pm 1[/tex]: пары [tex](1; 3)[/tex] и [tex](-1; -3)[/tex].
Если [tex]x=-\frac{3y}{2}[/tex], получаем [tex]\frac{9y^2}{2}+\frac{3y^2}{2}+5y^2=11y^2=44[/tex], т.е. [tex]y=\pm 2[/tex]: пары [tex](-3; 2)[/tex] и [tex](3; -2)[/tex].
Проверка во втором уравнении: [tex]1-9+63=55[/tex] для [tex](1; 3)[/tex] и [tex]9+18+28=55[/tex] для [tex](-3; 2)[/tex]; противоположные пары дают те же значения.
Решения системы: [tex](1; 3)[/tex], [tex](-1; -3)[/tex], [tex](3; -2)[/tex], [tex](-3; 2)[/tex].

Решение:
Умножим первое уравнение на [tex]2[/tex] и разложим на множители:
[tex]2x^2-5xy+2y^2=0\Rightarrow (x-2y)(2x-y)=0[/tex]
Следовательно, [tex]x=2y[/tex] или [tex]y=2x[/tex].
Если [tex]x=2y[/tex], второе уравнение принимает вид [tex]y=\frac{2y^2}{4}[/tex], т.е. [tex]y(y-2)=0[/tex], откуда [tex]y=0[/tex] или [tex]y=2[/tex]: пары [tex](0; 0)[/tex] и [tex](4; 2)[/tex].
Если [tex]y=2x[/tex], второе уравнение принимает вид [tex]-x=\frac{2x^2}{4}[/tex], т.е. [tex]x(x+2)=0[/tex], откуда [tex]x=0[/tex] или [tex]x=-2[/tex]: пары [tex](0; 0)[/tex] и [tex](-2; -4)[/tex].
Проверка: для [tex](4; 2)[/tex] имеем [tex]16+4=20=\frac{5}{2}\cdot 8[/tex] и [tex]4-2=2=\frac{8}{4}[/tex]; для [tex](-2; -4)[/tex] имеем [tex]4+16=20=\frac{5}{2}\cdot 8[/tex] и [tex]-2+4=2=\frac{8}{4}[/tex]; пара [tex](0; 0)[/tex] очевидно является решением.
Решение [tex](0; 0)[/tex] легко потерять, если делить на [tex]xy[/tex] или на [tex]x-y[/tex], которые могут равняться [tex]0[/tex]. Решения системы: [tex](0; 0)[/tex], [tex](4; 2)[/tex], [tex](-2; -4)[/tex].

Решение:
Арифметический квадратный корень неотрицателен, поэтому [tex]x\ge 0[/tex] и [tex]y\ge 0[/tex]. При этих условиях система равносильна системе
[tex]\left\{\begin{array}{l} x^2+5x-6=y^2 \\ y^2+5y-6=x^2 \end{array}\right.[/tex]
Вычтем второе уравнение из первого:
[tex]x^2-y^2+5(x-y)=y^2-x^2\Rightarrow 2(x-y)(x+y)+5(x-y)=0\Rightarrow (x-y)(2x+2y+5)=0[/tex]
Так как [tex]x,y\ge 0[/tex], то [tex]2x+2y+5\gt 0[/tex], значит, [tex]x=y[/tex]. Тогда [tex]x^2+5x-6=x^2[/tex], откуда [tex]x=\frac{6}{5}[/tex].
Проверка: [tex]x^2+5x-6=\frac{36}{25}[/tex] и [tex]\sqrt{\frac{36}{25}}=\frac{6}{5}=y[/tex], т.е. [tex]x=y=\frac{6}{5}[/tex] удовлетворяют системе. Следовательно,
[tex]xy=\frac{36}{25}[/tex]

Решение:
ОДЗ: [tex]x\ne 0[/tex], [tex]y\ne 0[/tex], [tex]x-y\gt 0[/tex], [tex]x+y\gt 0[/tex]. Так как [tex]4^{t}=2^{2t}[/tex] и [tex]32=2^5[/tex], из первого уравнения получаем
[tex]2\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)=5[/tex]
Положим [tex]t=\frac{x}{y}[/tex]:
[tex]t+\frac{1}{t}=\frac{5}{2}\Rightarrow 2t^2-5t+2=0[/tex]
откуда [tex]t=2[/tex] или [tex]t=\frac{1}{2}[/tex], т.е. [tex]x=2y[/tex] или [tex]y=2x[/tex]. Второе уравнение имеет вид [tex]\log_3(x-y)+\log_3(x+y)=1[/tex], т.е. [tex](x-y)(x+y)=3[/tex], поэтому
[tex]x^2-y^2=3[/tex]
Если [tex]y=2x[/tex], то [tex]x^2-4x^2=-3x^2=3[/tex], что невозможно. Если [tex]x=2y[/tex], то [tex]3y^2=3[/tex], т.е. [tex]y=\pm 1[/tex].
При [tex]y=1[/tex], [tex]x=2[/tex] имеем [tex]x-y=1\gt 0[/tex] и [tex]x+y=3\gt 0[/tex], т.е. пара допустима. При [tex]y=-1[/tex], [tex]x=-2[/tex] имеем [tex]x-y=-1\lt 0[/tex], т.е. [tex]\log_3(x-y)[/tex] не определён и пара отбрасывается.
Проверка: [tex]4^{2+\frac{1}{2}}=4^{\frac{5}{2}}=32[/tex] и [tex]\log_3 1=0=1-\log_3 3[/tex]. Решение системы: [tex](2; 1)[/tex].

Решение:
Запишем систему в виде [tex]\sqrt{5y-x}=3-x[/tex], [tex]\sqrt{2y-x}=3-x-y[/tex]. Арифметический квадратный корень неотрицателен, поэтому нужно [tex]3-x\ge 0[/tex] и [tex]3-x-y\ge 0[/tex]; при этих условиях возведение в квадрат — равносильное преобразование:
[tex]\left\{\begin{array}{l} 5y-x=(3-x)^2 \\ 2y-x=(3-x-y)^2 \end{array}\right.[/tex]
Вычтем второе уравнение из первого:
[tex]3y=(3-x)^2-(3-x-y)^2=y(6-2x-y)[/tex]
Если [tex]y=0[/tex], первое уравнение принимает вид [tex]-x=(3-x)^2[/tex], т.е. [tex]x^2-5x+9=0[/tex]; его дискриминант [tex]25-36[/tex] отрицателен, поэтому решений нет.
Если [tex]y\ne 0[/tex], то [tex]6-2x-y=3[/tex], т.е. [tex]y=3-2x[/tex]. Подставим в [tex]5y-x=(3-x)^2[/tex]:
[tex]15-11x=9-6x+x^2\Rightarrow x^2+5x-6=0\Rightarrow x_1=1,\ x_2=-6[/tex]
При [tex]x=1[/tex]: [tex]y=1[/tex], [tex]3-x=2\ge 0[/tex], [tex]3-x-y=1\ge 0[/tex], и действительно [tex]\sqrt{4}+1=3[/tex], [tex]\sqrt{1}+1+1=3[/tex].
При [tex]x=-6[/tex]: [tex]y=15[/tex], но [tex]3-x-y=-6\lt 0[/tex]; действительно, [tex]\sqrt{2y-x}+x+y=\sqrt{36}+9=15\ne 3[/tex], т.е. эта пара — посторонний корень, появившийся при возведении в квадрат.
Единственное решение: [tex](1; 1)[/tex].

Решение:
Правая часть второго уравнения должна быть неотрицательной: [tex]x+y\ge 0[/tex]. При этом условии возведение в квадрат — равносильное преобразование (тогда [tex]x+y^{2}=(x+y)^{2}\ge 0[/tex] автоматически):
[tex]x+y^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}\Rightarrow x^{2}+2xy-x=0\Rightarrow x(x+2y-1)=0[/tex]
Если [tex]x=0[/tex], условие принимает вид [tex]y\ge 0[/tex], а первое уравнение даёт
[tex]2\cdot 2^{y+1}=9\Rightarrow 2^{y+2}=9\Rightarrow y=\log_{2}9-2=\log_{2}\frac{9}{4}[/tex]
Так как [tex]\frac{9}{4}\gt 1[/tex], то [tex]y\gt 0[/tex], следовательно, [tex]\left(0; \log_{2}\frac{9}{4}\right)[/tex] — решение.
Если [tex]x=1-2y[/tex], условие [tex]x+y=1-y\ge 0[/tex] даёт [tex]y\le 1[/tex]. Первое уравнение принимает вид [tex]2^{1-2y}\cdot 2^{y+1}+2^{y+1}=9[/tex], т.е. [tex]2^{2-y}+2\cdot 2^{y}=9[/tex]. Положим [tex]t=2^{y}\gt 0[/tex]:
[tex]\frac{4}{t}+2t=9\Rightarrow 2t^{2}-9t+4=0\Rightarrow t_{1}=4,\ t_{2}=\frac{1}{2}[/tex]
При [tex]t=4[/tex] получаем [tex]y=2\gt 1[/tex], что не подходит: для пары [tex](-3; 2)[/tex] имеем [tex]\sqrt{1}=1\ne -1[/tex] (посторонний корень, появившийся при возведении в квадрат).
При [tex]t=\frac{1}{2}[/tex] получаем [tex]y=-1[/tex], [tex]x=3[/tex]. Проверка: [tex](8+1)\cdot 2^{0}=9[/tex] и [tex]\sqrt{3+1}=2=3+(-1)[/tex].
Решения системы: [tex]\left(0; \log_{2}\frac{9}{4}\right)[/tex] и [tex](3; -1)[/tex].

Решение:
Из [tex]a^{2}+b^{2}+c^{2}=1[/tex] следует, что каждый квадрат не больше [tex]1[/tex], поэтому [tex]a\le 1[/tex], [tex]b\le 1[/tex], [tex]c\le 1[/tex]. Вычтем второе равенство из первого:
[tex]a^{2}(1-a)+b^{2}(1-b)+c^{2}(1-c)=0[/tex]
Каждое слагаемое — произведение квадрата и неотрицательного числа, т.е. оно неотрицательно. Сумма неотрицательных чисел равна [tex]0[/tex] только тогда, когда каждое слагаемое равно [tex]0[/tex], поэтому [tex]a^{2}(1-a)=0[/tex], т.е. [tex]a=0[/tex] или [tex]a=1[/tex]; то же верно для [tex]b[/tex] и [tex]c[/tex].
Для [tex]t=0[/tex] и [tex]t=1[/tex] выполнено [tex]t^{2}=t[/tex], поэтому
[tex]a+b+c=a^{2}+b^{2}+c^{2}=1[/tex]
(На самом деле ровно одно из чисел равно [tex]1[/tex], а два других равны [tex]0[/tex].)