Geometrijska verovatnoća - teški zadaci sa rešenjima

Rešenje:
Neka su [tex]x[/tex] i [tex]y[/tex] minuti posle [tex]10{:}00[/tex] u kojima stižu redom autobus i putnik. Tačka [tex]\left(x; y\right)[/tex] je ravnomerno raspoređena u pravougaoniku [tex]0\le x\le 5[/tex], [tex]0\le y\le 15[/tex], čija je površina
[tex]S=5\cdot 15=75[/tex]
Autobus odlazi u trenutku [tex]x+5[/tex]. Ako putnik dođe ranije, on čeka, pa stiže na autobus tačno kada je [tex]y\le x+5[/tex]. Za fiksirano [tex]x[/tex] povoljne vrednosti [tex]y[/tex] čine duž dužine [tex]x+5[/tex], pa je povoljna oblast trapez sa osnovicama [tex]5[/tex] i [tex]10[/tex] i visinom [tex]5[/tex]:
[tex]S_1=\frac{5+10}{2}\cdot 5=37{,}5,\qquad P=\frac{S_1}{S}=\frac{37{,}5}{75}=\frac{1}{2}[/tex]

Rešenje:
Merimo vreme u minutima posle [tex]10{:}00[/tex] i neka su [tex]x[/tex] i [tex]y[/tex] trenuci dolaska dve osobe. Tačka [tex]\left(x; y\right)[/tex] je ravnomerno raspoređena u kvadratu [tex]0\le x\le 60[/tex], [tex]0\le y\le 60[/tex] površine [tex]60^2=3600[/tex]. Osobe se sreću tačno kada se trenuci njihovog dolaska razlikuju za najviše [tex]5[/tex] minuta:
[tex]|x-y|\le 5[/tex]
Komplementarna oblast [tex]|x-y|\gt 5[/tex] sastoji se od dva jednakokraka pravougla trougla s katetama [tex]60-5=55[/tex]; njihova ukupna površina je
[tex]2\cdot \frac{55^2}{2}=3025\ \Rightarrow\ P=\frac{3600-3025}{3600}=\frac{575}{3600}=\frac{23}{144}[/tex]

Rešenje:
Neka su [tex]x[/tex] i [tex]y[/tex] trenuci dolaska (u časovima) redom prvog i drugog broda. Tačka [tex]\left(x; y\right)[/tex] je ravnomerno raspoređena u kvadratu [tex]0\le x\le 24[/tex], [tex]0\le y\le 24[/tex] površine [tex]24^2=576[/tex], pa su verovatnoće količnici površina. Jedan od brodova mora da čeka ako drugi brod stigne dok je prvi još na pristaništu, ili ako prvi stigne dok je drugi tamo:
[tex]x\le y\lt x+2\text{ ili }y\le x\lt y+1[/tex]
Niko ne čeka kada je [tex]y\ge x+2[/tex] ili [tex]x\ge y+1[/tex]. To su dva jednakokraka pravougla trougla u kvadratu s katetama [tex]24-2=22[/tex] i [tex]24-1=23[/tex]; njihova ukupna površina je
[tex]\frac{22^2}{2}+\frac{23^2}{2}=242+264{,}5=506{,}5[/tex]
[tex]P=1-\frac{506{,}5}{576}=\frac{69{,}5}{576}=\frac{139}{1152}[/tex]

Rešenje:
Pravougaonik se sastoji od tačaka za koje je [tex]-2\le x\le 2[/tex] i [tex]-0{,}5\le y\le 1[/tex], pa je njegova površina
[tex]S_{ABCD}=4\cdot 1{,}5=6[/tex]
Tražena verovatnoća jednaka je količniku površine dela kruga koji leži u pravougaoniku i broja [tex]6[/tex]. Svaka tačka kruga zadovoljava uslove [tex]|x|\le 1[/tex] i [tex]y\le 1[/tex], pa samo prava [tex]y=-0{,}5[/tex] odseca deo kruga: kružni odsečak čija je tetiva na rastojanju [tex]\frac{1}{2}[/tex] od centra. Ako je njegov centralni ugao [tex]2\theta[/tex], onda je
[tex]\cos\theta=\frac{1}{2}\Rightarrow\theta=\frac{\pi}{3}\Rightarrow 2\theta=\frac{2\pi}{3}[/tex]
Površina odsečka jednaka je površini isečka umanjenoj za površinu trougla:
[tex]S_1=\frac{1}{2}\cdot 1^2\cdot \frac{2\pi}{3}-\frac{1}{2}\cdot 1^2\cdot \sin \frac{2\pi}{3}=\frac{\pi}{3}-\frac{\sqrt{3}}{4}[/tex]
Dakle, deo kruga koji leži u pravougaoniku ima površinu
[tex]S=\pi-\left(\frac{\pi}{3}-\frac{\sqrt{3}}{4}\right)=\frac{2\pi}{3}+\frac{\sqrt{3}}{4}[/tex]
Prema tome,
[tex]P=\frac{S}{6}=\frac{1}{6}\left(\frac{2\pi}{3}+\frac{\sqrt{3}}{4}\right)=\frac{\pi}{9}+\frac{\sqrt{3}}{24}\approx 0{,}421[/tex]

Rešenje:
Tačka [tex](a; b)[/tex] je slučajna tačka pravougaonika površine [tex]1\cdot 2=2[/tex], pa je verovatnoća jednaka količniku površine povoljne oblasti i broja [tex]2[/tex].
Pošto je [tex]a\gt 0[/tex], jednačina je kvadratna i ima realne korene tačno onda kada je njena diskriminanta nenegativna:
[tex]D=b^2-4a\ge 0\iff a\le\frac{b^2}{4}[/tex]
Za [tex]-1\lt b\lt 1[/tex] važi [tex]\frac{b^2}{4}\lt 1[/tex], pa je povoljna oblast deo pravougaonika između prave [tex]a=0[/tex] i parabole [tex]a=\frac{b^2}{4}[/tex]. Njena površina je
[tex]S=\int_{-1}^{1}\frac{b^2}{4}\,db=\left.\frac{b^3}{12}\right|_{-1}^{1}=\frac{1}{12}+\frac{1}{12}=\frac{1}{6}[/tex]
Prema tome,
[tex]P=\frac{S}{2}=\frac{1}{12}[/tex]