Задачи с использованием формул Виета - задачи с решениями

Решение:
Дискриминант [tex]D=(-7)^2-4\cdot 1\cdot(-44)=49+176=225>0[/tex], значит, уравнение имеет два различных действительных корня.
По теореме Виета:
[tex]x_1+x_2=-\frac{b}{a}=7[/tex]
[tex]x_1x_2=\frac{c}{a}=-44[/tex]
Проверка: корни равны [tex]11[/tex] и [tex]-4[/tex]; действительно, [tex]11+(-4)=7[/tex] и [tex]11\cdot(-4)=-44[/tex].

Решение:
По теореме, обратной теореме Виета, числа [tex]x_1[/tex] и [tex]x_2[/tex] являются корнями уравнения [tex]x^2-(x_1+x_2)x+x_1x_2=0[/tex].
[tex]x_1+x_2=-8+5=-3[/tex]
[tex]x_1x_2=-8\cdot 5=-40[/tex]
Искомое уравнение: [tex]x^2+3x-40=0[/tex].

Решение:
Из формулы Виета мы имеем [tex]-(x_1+x_2)=-54[/tex], откуда [tex]x_1+x_2=54[/tex]. Мы заменяем [tex]x_1[/tex] его значением и получаем [tex]2+x_2=54[/tex], то есть [tex]x_2=52[/tex].

Решение:
Если два числа имеют сумму [tex]24[/tex] и произведение [tex]128[/tex], то по теореме, обратной теореме Виета, они являются корнями уравнения
[tex]t^2-24t+128=0[/tex].
[tex]D=24^2-4\cdot 128=576-512=64[/tex], [tex]\sqrt{D}=8[/tex]
[tex]t_{1,2}=\frac{24\pm 8}{2}[/tex], т.е. [tex]t_1=16[/tex], [tex]t_2=8[/tex].
Искомые числа: [tex]8[/tex] и [tex]16[/tex].

Решение:
По теореме Виета корни должны удовлетворять условиям
[tex]x_1+x_2=2m-1[/tex] и [tex]x_1x_2=m^2-m=m(m-1)[/tex].
Числа [tex]m[/tex] и [tex]m-1[/tex] удовлетворяют обоим условиям: [tex]m+(m-1)=2m-1[/tex] и [tex]m(m-1)=m^2-m[/tex].
По обратной теореме Виета корни равны [tex]x_1=m[/tex] и [tex]x_2=m-1[/tex].

Решение:
[tex]D=6^2-4\cdot 3\cdot(-16)=36+192=228>0[/tex], значит, есть два различных действительных корня.
[tex]x_1x_2=\frac{c}{a}=-\frac{16}{3}<0[/tex], значит, корни разных знаков.
[tex]x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-2<0[/tex], значит, отрицательный корень больше по модулю.

Решение:
Раскроем скобки и сгруппируем:
[tex]x_1(x_2-2)+x_2(x_1-2)=2x_1x_2-2(x_1+x_2)[/tex].
[tex]D=9+20=29>0[/tex], а по теореме Виета [tex]x_1+x_2=3[/tex], [tex]x_1x_2=-5[/tex].
Значение выражения: [tex]2\cdot(-5)-2\cdot 3=-10-6=-16[/tex].

Решение:
Пусть [tex]x_2=5x_1[/tex]. По теореме Виета:
[tex]x_1+x_2=-\frac{36}{3}=-12[/tex], т.е. [tex]6x_1=-12[/tex], [tex]x_1=-2[/tex], [tex]x_2=-10[/tex].
[tex]x_1x_2=-\frac{m}{3}[/tex], т.е. [tex](-2)\cdot(-10)=20=-\frac{m}{3}[/tex].
Следовательно, [tex]m=-60[/tex].

Решение:
По теореме Виета [tex]x_1+x_2=9[/tex], т.е. [tex]x_2=9-x_1[/tex].
Подставим: [tex]4x_1+3(9-x_1)=34[/tex], откуда [tex]x_1+27=34[/tex], [tex]x_1=7[/tex] и [tex]x_2=2[/tex].
Тогда [tex]q=x_1x_2=7\cdot 2=14[/tex].

Решение:
По теореме Виета [tex]x_1+x_2=8[/tex], значит, второй корень [tex]x_2=8-(4-\sqrt{3})=4+\sqrt{3}[/tex].
Тогда [tex]x_1x_2=(4-\sqrt{3})(4+\sqrt{3})=16-3=13[/tex].
Так как [tex]x_1x_2=13c[/tex], получаем [tex]13c=13[/tex], т.е. [tex]c=1[/tex].

Решение:
Корни имеют разные знаки тогда и только тогда, когда их произведение отрицательно: [tex]x_1x_2=2k+3<0[/tex], т.е. [tex]k<-\frac{3}{2}[/tex].
Отдельно проверять дискриминант не нужно: если [tex]\frac{c}{a}<0[/tex], то [tex]-4ac>0[/tex] и [tex]D=b^2-4ac>0[/tex] автоматически.

Решение:
Пусть [tex]x=-3+\sqrt{2}[/tex]. Тогда [tex]x+3=\sqrt{2}[/tex]; возведём в квадрат: [tex]x^2+6x+9=2[/tex], т.е. [tex]x^2+6x+7=0[/tex].
Проверка по теореме Виета: второй корень равен [tex]-3-\sqrt{2}[/tex];
[tex](-3+\sqrt{2})+(-3-\sqrt{2})=-6=-p[/tex]
[tex](-3+\sqrt{2})(-3-\sqrt{2})=9-2=7=q[/tex]
Ответ: [tex]x^2+6x+7=0[/tex].

Решение:
[tex]D=25+96=121>0[/tex]. По теореме Виета [tex]x_1+x_2=\frac{5}{4}[/tex] и [tex]x_1x_2=\frac{6}{-4}=-\frac{3}{2}[/tex].
Новые корни [tex]y_1=2x_1[/tex], [tex]y_2=2x_2[/tex]:
[tex]y_1+y_2=2(x_1+x_2)=\frac{5}{2}[/tex]
[tex]y_1y_2=4x_1x_2=-6[/tex]
Уравнение: [tex]y^2-\frac{5}{2}y-6=0[/tex], а после умножения на [tex]2[/tex]: [tex]2y^2-5y-12=0[/tex].

Решение:
Определим коэффициенты данного уравнения. Квадратное уравнение: $2x^{2}+5x+3=0$.
Сравнивая с общей формой $ax^{2}+bx+c=0$, получаем: $a=2$, $b=5$, $c=3$.

Используем формулы Виета, чтобы найти сумму и произведение корней.

Сумма корней: $\alpha +\beta =-\frac{b}{a}=-\frac{5}{2}$

Произведение корней: $\alpha \beta =\frac{c}{a}=\frac{3}{2}$

Выразим искомое значение через сумму и произведение корней.
Найдем $\frac{\alpha }{\beta }+\frac{\beta }{\alpha }$.
Объединим дроби: $\frac{\alpha }{\beta }+\frac{\beta }{\alpha }=\frac{\alpha ^{2}+\beta ^{2}}{\alpha \beta }$.

Используем тождество $(\alpha +\beta )^{2}=\alpha ^{2}+2\alpha \beta +\beta ^{2}$, чтобы переписать числитель: $\alpha ^{2}+\beta ^{2}=(\alpha +\beta )^{2}-2\alpha \beta $.

Подставим: $\frac{\alpha ^{2}+\beta ^{2}}{\alpha \beta }=\frac{(\alpha +\beta )^{2}-2\alpha \beta }{\alpha \beta }$.

Подставим значения: $\frac{(-\frac{5}{2})^{2}-2(\frac{3}{2})}{\frac{3}{2}}$.

Упрощаем: $\frac{\frac{25}{4}-\frac{6}{2}}{\frac{3}{2}}=\frac{\frac{25}{4}-\frac{12}{4}}{\frac{3}{2}}=\frac{\frac{13}{4}}{\frac{3}{2}}$.

Делим на дробь, умножая на обратную: $\frac{13}{4}\times \frac{2}{3}=\frac{26}{12}$.

Сокращаем: $\frac{26}{12}=\frac{13}{6}$.

Решение:
Данное уравнение: $x^2 - 10x + 5 = 0$

По теореме Виета
$\alpha + \beta = -\frac{b}{a} = -\frac{-10}{1} = 10$

$\alpha\beta = \frac{c}{a} = \frac{5}{1} = 5$

Так как $\alpha^2+\beta^2 = (\alpha + \beta )^2 - 2\alpha\beta= 10^2- 2\cdot5= 100 - 10$

$\alpha^2+\beta^2 = 90$

Теперь значение выражения $\frac{\alpha^2 + \beta^2}{\alpha^2\beta + \alpha\beta^2}= \frac{\alpha^2 + \beta^2}{\alpha\beta(\alpha + \beta)}= \frac{90}{5\times 10}= \frac{90}{50}= 1{,}8$