Задачи с использованием формул Виета - нормальные задачи с решениями

Решение:
Сначала мы перепишем [tex]x_1^2+x_2^2[/tex] в виде элементарного симметричного полинома:

[tex]x_1^2+x_2^2=x_1^2+2x_1x_2+x_2^2-2x_1x_2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2[/tex].

По теореме Виета мы имеем [tex]x_1+x_2=-5[/tex] и [tex]x_1x_2=-3[/tex].

Подставим в выражение чтобы получить [tex]x_1^2+x_2^2=(-5)^2-2\cdot(-3)=25+6=31[/tex].

Решение:
Сначала мы перепишем выражение [tex]x_1^2+x_2^2[/tex] в виде элементарных симметричных полиномов:

[tex]x_1^2+x_2^2=x_1^2+2x_1x_2+x_2^2-2x_1x_2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2[/tex].

По формулам Виета имеем [tex]x_1+x_2=-11[/tex] и [tex]x_1x_2=12[/tex].

Подставляем в выражение, чтобы получить [tex]x_1^2+x_2^2=(-11)^2-2\cdot 12=121-24=97[/tex].

Решение:
[tex]\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_2}{x_1x_2}+\frac{x_1}{x_1x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}[/tex].

По формулам Виета имеем [tex]x_1+x_2=-9[/tex], [tex]x_1x_2=33[/tex].

Подставляем и получаем: [tex]\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}=\frac{-9}{33}=-\frac{3}{11}[/tex]

Решение:
Сначала мы перепишем выражение в виде элементарных симметричных полиномов.

[tex](x_1^3+x_2^3)+(x_1^2+x_2^2)+(x_1+x_2)=(x_1+x_2)(x_1^2+x_2^2-x_1x_2)+(x_1^2+2x_1x_2+x_2^2-2x_1x_2)+(x_1+x_2) = (x_1+x_2)(x_1^2+2x_1x_2+x_2^2-3x_1x_2)+(x_1+x_2)^2-2x_1x_2+(x_1+x_2)=(x_1+x_2)((x_1+x_2)^2-3x_1x_2)+(x_1+x_2)^2+(x_1+x_2)-2x_1x_2[/tex].

По формулам Виета знаем, что [tex]x_1+x_2=8[/tex] и [tex]x_2x_2=11[/tex].

Подставляем: [tex]8(8^2-3\cdot 11)+8^2+8-2 \cdot 11=8(64-33)+64+8-22=8 \cdot 31+50=8 \cdot 31+8 \cdot 6 +2=8 \cdot 37 + 2=298[/tex]

Решение:
Сначала мы используем следующее тождество: [tex]|a|=\sqrt{a^2}[/tex].

Таким образом, мы получим [tex]|x_1-x_2|=\sqrt{(x_1-x_2)^2}=\sqrt{x_1^2-2x_1x_2+x_2^2}=\sqrt{x_1^2+2x_1x_2+x_2^2-4x_1x_2}=\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}[/tex].

Потом, используя формулу Виета, получаем [tex]x_1+x_2=15[/tex], [tex]x_1x_2=36[/tex].

Результат равен [tex]\sqrt{15^2-4.36}=\sqrt{225-144}=\sqrt{81}=9[/tex]

Решение:
Перепишем выражение в виде: [tex]x_1-x_1^2+x_2-x_2^2=x_1+x_2-(x_1^2+x_2^2)=x_1+x_2-(x_1^2+2x_1x_2+x_2^2-2x_1x_2)=x_1+x_2-((x_1+x_2)^2-2x_1x_2)=(x_1+x_2)-(x_1+x_2)^2+2x_1x_2=(x_1+x_2)(1-(x_1+x_2))+2x_1x_2[/tex].

По формулам Виета, мы знаем, что [tex]x_1+x_2=12[/tex] и [tex]x_1x_2=19[/tex].

Подставляем и получаем [tex]12(1-12)+2\cdot 19=-12\cdot 11+38=-132+38=-94[/tex]

Решение:
Избавляемся от скобок и записываем выражение в виде элементарных симметричных полиномов:

[tex]x_1^2-2x_1\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_1^2}+x_2^2-2x_2\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_2^2}=x_1^2+x_2^2+\frac{1}{x_1^2}+\frac{1}{x_2^2}-4=x_1^2+x_2^2+\frac{x_1^2+x_2^2}{(x_1x_2)^2}-4=(x_1^2+x_2^2)(1+\frac{1}{(x_1x_2)^2})-4=((x_1+x_2)^2-2x_1x_2)(1+\frac{1}{(x_1x_2)^2})-4[/tex].

По формулам Виета мы получаем [tex]x_1+x_2=4[/tex] и [tex]x_1x_2=1[/tex].

Пдставляем и получаем: [tex](4^2-2)(1+1)-4=(16-2)\cdot 2-4=28-4=24[/tex]

Решение:
Согласно формул Виета, получаем [tex]x_1x_2=a^2-2a+1=(a-1)^2[/tex]. Так как это квадрат выражение, [tex](a-1)^2 \ge 0[/tex], которое выполняется для [tex]a=1[/tex]. Поэтому ответ есть [tex]a=1[/tex] и минимальное значение равно 0.