Задачи с использованием формул Виета - сложные задачи с решениями

Решение:
Сначала мы перепишем [tex]x_1^2+x_2^2[/tex] в виде элементарного симметричного полинома:

[tex]x_1^2+x_2^2=x_1^2+2x_1x_2+x_2^2-2x_1x_2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2[/tex].

По теореме Виета мы имеем [tex]x_1+x_2=-5[/tex] и [tex]x_1x_2=-3[/tex].

Подставим в выражение чтобы получить [tex]x_1^2+x_2^2=(-5)^2-2\cdot(-3)=25+6=31[/tex].

Решение:
Сначала мы перепишем выражение [tex]x_1^2+x_2^2[/tex] в виде элементарных симметричных полиномов:

[tex]x_1^2+x_2^2=x_1^2+2x_1x_2+x_2^2-2x_1x_2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2[/tex].

По формулам Виета имеем [tex]x_1+x_2=-11[/tex] и [tex]x_1x_2=12[/tex].

Подставляем в выражение, чтобы получить [tex]x_1^2+x_2^2=(-11)^2-2\cdot 12=121-24=97[/tex].

Решение:
[tex]\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_2}{x_1x_2}+\frac{x_1}{x_1x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}[/tex].

По формулам Виета имеем [tex]x_1+x_2=-9[/tex], [tex]x_1x_2=33[/tex].

Подставляем и получаем: [tex]\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}=\frac{-9}{33}=-\frac{3}{11}[/tex]

Решение:
Так как [tex]n[/tex] — корень, то [tex]n^2-n-2018=0[/tex], т.е. [tex]n^2=n+2018[/tex].
Тогда [tex]m+n^2=m+n+2018[/tex].
По теореме Виета [tex]m+n=1[/tex], значит, [tex]m+n^2=1+2018=2019[/tex].

Решение:
Перепишем выражение в виде: [tex]x_1-x_1^2+x_2-x_2^2=x_1+x_2-(x_1^2+x_2^2)=x_1+x_2-(x_1^2+2x_1x_2+x_2^2-2x_1x_2)=x_1+x_2-((x_1+x_2)^2-2x_1x_2)=(x_1+x_2)-(x_1+x_2)^2+2x_1x_2=(x_1+x_2)(1-(x_1+x_2))+2x_1x_2[/tex].

По формулам Виета, мы знаем, что [tex]x_1+x_2=12[/tex] и [tex]x_1x_2=19[/tex].

Подставляем и получаем [tex]12(1-12)+2\cdot 19=-12\cdot 11+38=-132+38=-94[/tex]

Решение:
Сначала мы используем следующее тождество: [tex]|a|=\sqrt{a^2}[/tex].

Таким образом, мы получим [tex]|x_1-x_2|=\sqrt{(x_1-x_2)^2}=\sqrt{x_1^2-2x_1x_2+x_2^2}=\sqrt{x_1^2+2x_1x_2+x_2^2-4x_1x_2}=\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}[/tex].

Потом, используя формулу Виета, получаем [tex]x_1+x_2=15[/tex], [tex]x_1x_2=36[/tex].

Результат равен [tex]\sqrt{15^2-4 \cdot 36}=\sqrt{225-144}=\sqrt{81}=9[/tex]

Решение:
Пусть [tex]x_1=x_2+3[/tex]. По теореме Виета [tex]x_1+x_2=15[/tex], т.е. [tex]2x_2+3=15[/tex], [tex]x_2=6[/tex], [tex]x_1=9[/tex].
Тогда [tex]x_1x_2=54=k^2-10[/tex], откуда [tex]k^2=64[/tex] и [tex]k=\pm 8[/tex].
Проверка: при [tex]k=\pm 8[/tex] уравнение имеет вид [tex]x^2-15x+54=0[/tex] с корнями [tex]6[/tex] и [tex]9[/tex].

Решение:
[tex]D=9-4=5>0[/tex], [tex]x_1+x_2=3>0[/tex], [tex]x_1x_2=1>0[/tex], значит, оба корня положительны и квадратные корни определены.
Пусть [tex]A=\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}>0[/tex]. Возведём в квадрат:
[tex]A^2=x_1+x_2+2\sqrt{x_1x_2}=3+2\sqrt{1}=5[/tex].
Так как [tex]A>0[/tex], то [tex]A=\sqrt{5}[/tex].

Решение:
У противоположных корней сумма равна [tex]0[/tex]: [tex]x_1+x_2=\frac{m^2-m-12}{m}=0[/tex], т.е. [tex]m^2-m-12=0[/tex], откуда [tex]m=4[/tex] или [tex]m=-3[/tex].
Для действительных противоположных корней [tex]x[/tex] и [tex]-x[/tex] произведение равно [tex]-x^2\le 0[/tex]; здесь оно не может быть [tex]0[/tex], значит, [tex]x_1x_2=\frac{37}{m}<0[/tex], т.е. [tex]m<0[/tex].
При [tex]m=4[/tex] получаем [tex]4x^2+37=0[/tex] — действительных корней нет.
При [tex]m=-3[/tex] получаем [tex]-3x^2+37=0[/tex] с корнями [tex]\pm\sqrt{\frac{37}{3}}[/tex].
Ответ: [tex]m=-3[/tex].

Решение:
Избавляемся от скобок и записываем выражение в виде элементарных симметричных полиномов:

[tex]x_1^2-2x_1\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_1^2}+x_2^2-2x_2\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_2^2}=x_1^2+x_2^2+\frac{1}{x_1^2}+\frac{1}{x_2^2}-4=x_1^2+x_2^2+\frac{x_1^2+x_2^2}{(x_1x_2)^2}-4=(x_1^2+x_2^2)(1+\frac{1}{(x_1x_2)^2})-4=((x_1+x_2)^2-2x_1x_2)(1+\frac{1}{(x_1x_2)^2})-4[/tex].

По формулам Виета мы получаем [tex]x_1+x_2=4[/tex] и [tex]x_1x_2=1[/tex].

Пдставляем и получаем: [tex](4^2-2)(1+1)-4=(16-2)\cdot 2-4=28-4=24[/tex]

Решение:
Сначала мы перепишем выражение в виде элементарных симметричных полиномов.

[tex](x_1^3+x_2^3)+(x_1^2+x_2^2)+(x_1+x_2)=(x_1+x_2)(x_1^2+x_2^2-x_1x_2)+(x_1^2+2x_1x_2+x_2^2-2x_1x_2)+(x_1+x_2) = (x_1+x_2)(x_1^2+2x_1x_2+x_2^2-3x_1x_2)+(x_1+x_2)^2-2x_1x_2+(x_1+x_2)=(x_1+x_2)((x_1+x_2)^2-3x_1x_2)+(x_1+x_2)^2+(x_1+x_2)-2x_1x_2[/tex].

По формулам Виета знаем, что [tex]x_1+x_2=8[/tex] и [tex]x_2x_2=11[/tex].

Подставляем: [tex]8(8^2-3\cdot 11)+8^2+8-2 \cdot 11=8(64-33)+64+8-22=8 \cdot 31+50=8 \cdot 31+8 \cdot 6 +2=8 \cdot 37 + 2=298[/tex]

Решение:
[tex]\frac{D}{4}=36-28=8>0[/tex]. По теореме Виета [tex]x_1+x_2=\frac{12}{7}[/tex], [tex]x_1x_2=\frac{4}{7}[/tex].
Сумма новых корней: [tex]x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=\frac{144}{49}-\frac{56}{49}=\frac{88}{49}[/tex].
Произведение новых корней: [tex]x_1^2x_2^2=(x_1x_2)^2=\frac{16}{49}[/tex].
Уравнение: [tex]x^2-\frac{88}{49}x+\frac{16}{49}=0[/tex], т.е. [tex]49x^2-88x+16=0[/tex].

Решение:
Согласно формул Виета, получаем [tex]x_1x_2=a^2-2a+1=(a-1)^2[/tex]. Так как это квадрат выражение, [tex](a-1)^2 \ge 0[/tex], которое выполняется для [tex]a=1[/tex]. Поэтому ответ есть [tex]a=1[/tex] и минимальное значение равно 0.

Решение:
Два различных положительных корня есть тогда и только тогда, когда [tex]D>0[/tex], [tex]x_1+x_2>0[/tex] и [tex]x_1x_2>0[/tex].
[tex]D=(2m-1)^2+4(m+3)=4m^2+13>0[/tex] при любом [tex]m[/tex].
[tex]x_1+x_2=1-2m>0[/tex] даёт [tex]m\lt \frac{1}{2}[/tex].
[tex]x_1x_2=-m-3>0[/tex] даёт [tex]m\lt -3[/tex].
Все три условия выполнены при [tex]m\lt -3[/tex].

Решение:
По теореме Виета [tex]x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=k^2-2[/tex].
Условие [tex]k^2-2\le 2[/tex] даёт [tex]k^2\le 4[/tex].
Но корни должны быть действительными: [tex]D=k^2-4\ge 0[/tex], т.е. [tex]k^2\ge 4[/tex].
Оба условия выполнены только при [tex]k^2=4[/tex], т.е. [tex]k=\pm 2[/tex] (тогда уравнение имеет двойной корень [tex]\mp 1[/tex]).

Решение:
По обратной теореме Виета [tex]x[/tex] и [tex]y[/tex] — корни уравнения [tex]t^2-2at+a^2-1=0[/tex].
Число [tex]1[/tex] лежит строго между ними тогда и только тогда, когда [tex](x-1)(y-1)\lt 0[/tex]:
[tex](x-1)(y-1)=xy-(x+y)+1=a^2-1-2a+1=a^2-2a\lt 0[/tex].
Значит, [tex]a(a-2)\lt 0[/tex], т.е. [tex]0\lt a\lt 2[/tex].
Проверка: корни равны [tex]a-1[/tex] и [tex]a+1[/tex], а [tex]a-1\lt 1\lt a+1[/tex] означает [tex]0\lt a\lt 2[/tex].

Решение:
Из условия [tex]x_1=2x_2+3[/tex]. По теореме Виета [tex]x_1x_2=5[/tex]:
[tex](2x_2+3)x_2=5[/tex], т.е. [tex]2x_2^2+3x_2-5=0[/tex], откуда [tex]x_2=1[/tex] или [tex]x_2=-\frac{5}{2}[/tex].
[tex]x_2=1[/tex]: [tex]x_1=5[/tex] и [tex]a=-(x_1+x_2)=-6[/tex].
[tex]x_2=-\frac{5}{2}[/tex]: [tex]x_1=-2[/tex] и [tex]a=-(x_1+x_2)=\frac{9}{2}[/tex].
Ответ: [tex]a=-6[/tex] или [tex]a=\frac{9}{2}[/tex].

Решение:
Пусть [tex]x_1=x_2^2[/tex]. По теореме Виета:
[tex]x_2^2+x_2=\frac{15}{4}[/tex], т.е. [tex]4x_2^2+4x_2-15=0[/tex] и [tex]x_2=\frac{-4\pm 16}{8}[/tex], т.е. [tex]x_2=\frac{3}{2}[/tex] или [tex]x_2=-\frac{5}{2}[/tex].
[tex]x_1x_2=x_2^3=a^3[/tex], значит, [tex]a=x_2[/tex].
Проверка при [tex]a=\frac{3}{2}[/tex]: корни [tex]\frac{3}{2}[/tex] и [tex]\frac{9}{4}[/tex]; при [tex]a=-\frac{5}{2}[/tex]: корни [tex]-\frac{5}{2}[/tex] и [tex]\frac{25}{4}[/tex]. Оба значения подходят.
Ответ: [tex]a=\frac{3}{2}[/tex] или [tex]a=-\frac{5}{2}[/tex].

Решение:
[tex]D=(p-3)^2+4>0[/tex], т.е. корни всегда действительны, а их произведение равно [tex]-1\ne 0[/tex].
По теореме Виета [tex]x_1+x_2=3-p[/tex], [tex]x_1x_2=-1[/tex]:
[tex]\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1}=\frac{(x_1+x_2)^2-2x_1x_2}{x_1x_2}=\frac{(p-3)^2+2}{-1}[/tex].
Условие принимает вид [tex]-(p-3)^2-2+3=0[/tex], т.е. [tex](p-3)^2=1[/tex], откуда [tex]p=2[/tex] или [tex]p=4[/tex].
При [tex]p=2[/tex]: [tex]x^2-x-1=0[/tex], [tex]x_{1,2}=\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}[/tex]; при [tex]p=4[/tex]: [tex]x^2+x-1=0[/tex], [tex]x_{1,2}=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}[/tex].

Решение:
По теореме Виета [tex]S=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=4-2a^2[/tex].
Корни действительны только при [tex]\frac{D}{4}=1-a^2\ge 0[/tex], т.е. [tex]0\le a^2\le 1[/tex].
Тогда [tex]2\le 4-2a^2\le 4[/tex].
Наибольшее значение [tex]S=4[/tex] при [tex]a=0[/tex] (корни [tex]0[/tex] и [tex]2[/tex]); наименьшее значение [tex]S=2[/tex] при [tex]a=\pm 1[/tex] (двойной корень [tex]1[/tex]).
Замечание: без условия [tex]D\ge 0[/tex] можно ошибочно решить, что наименьшего значения нет.

Решение:
Действительные корни: [tex]D=a^2-4a-12=(a-6)(a+2)\ge 0[/tex], т.е. [tex]a\le -2[/tex] или [tex]a\ge 6[/tex].
Обе части неравенства [tex]|x_1-x_2|\le 3[/tex] неотрицательны, поэтому его можно возвести в квадрат:
[tex](x_1-x_2)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2=a^2-4(a+3)=a^2-4a-12\le 9[/tex].
[tex]a^2-4a-21\le 0[/tex], т.е. [tex](a-7)(a+3)\le 0[/tex], откуда [tex]-3\le a\le 7[/tex].
Пересекая с первым условием, получаем [tex]a\in[-3; -2]\cup[6; 7][/tex].

Решение:
[tex]x_1x_2=-(m^2+2m+2)=-\left((m+1)^2+1\right)<0[/tex] при любом [tex]m[/tex], значит, корни действительны и разных знаков.
Пусть [tex]x_1>x_2[/tex] и [tex]x_1-x_2=6[/tex]. Тогда [tex](x_1-x_2)^2=36[/tex]:
[tex](x_1-x_2)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2=4(m+1)^2+4\left((m+1)^2+1\right)=8(m+1)^2+4[/tex].
[tex]8(m+1)^2+4=36[/tex], т.е. [tex](m+1)^2=4[/tex] и [tex]m+1=\pm 2[/tex].
Ответ: [tex]m=1[/tex] или [tex]m=-3[/tex].

Решение:
Так как [tex]\alpha[/tex] и [tex]\beta[/tex] — корни, то [tex]\alpha^2=1-\alpha[/tex], [tex]\beta^2=1-\beta[/tex]. По теореме Виета [tex]\alpha+\beta=-1[/tex], т.е. [tex]\beta=-1-\alpha[/tex] и [tex]\beta^2=1-\beta=2+\alpha[/tex].
[tex]f(\alpha)=\beta^2[/tex]: [tex]1-\alpha+P\alpha+Q=2+\alpha[/tex], т.е. [tex](P-2)\alpha+(Q-1)=0[/tex].
Аналогично [tex]f(\beta)=\alpha^2[/tex] даёт [tex](P-2)\beta+(Q-1)=0[/tex].
Вычитаем: [tex](P-2)(\alpha-\beta)=0[/tex]. Так как [tex]D=5>0[/tex], то [tex]\alpha\ne\beta[/tex], значит, [tex]P=2[/tex], а тогда [tex]Q=1[/tex].

Решение:
По теореме Виета: [tex](k+1)x_2=-\frac{b}{a}[/tex] и [tex]kx_2^2=\frac{c}{a}[/tex].
Если [tex]k\ne -1[/tex], то [tex]x_2=-\frac{b}{a(k+1)}[/tex]; подставим во второе равенство:
[tex]k\cdot\frac{b^2}{a^2(k+1)^2}=\frac{c}{a}[/tex], т.е. [tex]kb^2=(k+1)^2ac[/tex].
Если [tex]k=-1[/tex] (противоположные корни), то [tex]b=0[/tex], что тоже согласуется с [tex]kb^2=(k+1)^2ac[/tex].
Ответ: [tex]kb^2=(k+1)^2ac[/tex].
Пример: для [tex]x^2-3x+2=0[/tex] (корни [tex]2[/tex] и [tex]1[/tex], [tex]k=2[/tex]): [tex]2\cdot 9=9\cdot 2[/tex].

Решение:
Так как [tex]x_1[/tex] — корень, то [tex]ax_1^2+bx_1+c=0[/tex]. Умножим на [tex]x_1^{n-2}[/tex]:
[tex]ax_1^n+bx_1^{n-1}+cx_1^{n-2}=0[/tex].
Аналогично [tex]ax_2^n+bx_2^{n-1}+cx_2^{n-2}=0[/tex].
Сложим два равенства: [tex]a(x_1^n+x_2^n)+b(x_1^{n-1}+x_2^{n-1})+c(x_1^{n-2}+x_2^{n-2})=0[/tex], т.е. [tex]aS_n+bS_{n-1}+cS_{n-2}=0[/tex].
Это позволяет вычислять суммы степеней шаг за шагом. Например, для [tex]x^2-x-1=0[/tex]: [tex]S_0=2[/tex], [tex]S_1=1[/tex], [tex]S_n=S_{n-1}+S_{n-2}[/tex], откуда [tex]S_2=3[/tex], [tex]S_3=4[/tex], [tex]S_4=7[/tex], [tex]S_5=11[/tex].