Уравнения высших степеней - сложные задачи с решениями

Решение:
Пусть [tex]f(x)=3x^4+4x^3-12x^2+1[/tex]; как многочлен, [tex]f[/tex] непрерывна на [tex]\mathbb{R}[/tex]. Вычисляем
[tex]f(-3)=243-108-108+1=28\gt 0,\quad f(-1)=3-4-12+1=-12\lt 0,\quad f(0)=1\gt 0[/tex]
[tex]f(1)=3+4-12+1=-4\lt 0,\quad f(2)=48+32-48+1=33\gt 0[/tex]
Итак, [tex]f[/tex] принимает значения разных знаков на концах каждого из интервалов [tex]\left(-3; -1\right)[/tex], [tex]\left(-1; 0\right)[/tex], [tex]\left(0; 1\right)[/tex] и [tex]\left(1; 2\right)[/tex]. По теореме Больцано–Коши (о промежуточном значении) [tex]f[/tex] имеет нуль в каждом из этих интервалов.
Эти интервалы попарно не пересекаются, поэтому четыре нуля различны. Многочлен степени [tex]4[/tex] имеет не более [tex]4[/tex] корней, следовательно, уравнение имеет ровно четыре действительных корня, и они различны.

Решение:
Уравнение биквадратное. После замены [tex]t=x^{2}[/tex] получаем
[tex]3t^{2}-2\left(2a^{2}+2b^{2}-ab\right)t+3a^{2}b^{2}=0[/tex]
Для его дискриминанта имеем
[tex]\frac{D}{4}=\left(2a^{2}+2b^{2}-ab\right)^{2}-(3ab)^{2}=\left(2a^{2}+2b^{2}-4ab\right)\left(2a^{2}+2b^{2}+2ab\right)[/tex]
[tex]\frac{D}{4}=2(a-b)^{2}\cdot 2\left(a^{2}+ab+b^{2}\right)=4(a-b)^{2}\left(a^{2}+ab+b^{2}\right)[/tex]
Так как [tex]a\ne b[/tex] и [tex]a^{2}+ab+b^{2}\gt 0[/tex] (поскольку [tex]a, b\gt 0[/tex]), получаем [tex]D\gt 0[/tex], т.е. уравнение относительно [tex]t[/tex] имеет два различных действительных корня [tex]t_{1}\ne t_{2}[/tex]. По формулам Виета
[tex]t_{1}t_{2}=a^{2}b^{2}\gt 0,\qquad t_{1}+t_{2}=\frac{2}{3}\left(2a^{2}+2b^{2}-ab\right)=\frac{2}{3}\left(2(a-b)^{2}+3ab\right)\gt 0[/tex]
Положительное произведение показывает, что [tex]t_{1}[/tex] и [tex]t_{2}[/tex] одного знака, а положительная сумма — что оба корня положительны. Тогда
[tex]x^{2}=t_{1}\Rightarrow x=\pm\sqrt{t_{1}},\qquad x^{2}=t_{2}\Rightarrow x=\pm\sqrt{t_{2}}[/tex]
Эти четыре числа действительны и попарно различны, так как [tex]t_{1}, t_{2}\gt 0[/tex] и [tex]t_{1}\ne t_{2}[/tex]. Утверждение доказано.

Решение:
Так как [tex]n\gt 0[/tex], функция [tex]f(x)=x^{3}+nx-3n[/tex] строго возрастает (она является суммой возрастающих функций [tex]x^{3}[/tex] и [tex]nx-3n[/tex]), поэтому уравнение имеет ровно один действительный корень [tex]x_{0}[/tex]. Кроме того,
[tex]f(0)=-3n\lt 0,\qquad f(3)=27+3n-3n=27\gt 0\ \Rightarrow\ 0\lt x_{0}\lt 3[/tex]
Следовательно, целым корнем может быть только [tex]x_{0}=1[/tex] или [tex]x_{0}=2[/tex].
При [tex]x_{0}=1[/tex]: из [tex]1+n-3n=0[/tex] получаем [tex]n=\frac{1}{2}[/tex] — не целое число.
При [tex]x_{0}=2[/tex]: из [tex]8+2n-3n=0[/tex] получаем [tex]n=8[/tex]. Проверка:
[tex]x^{3}+8x-24=(x-2)\left(x^{2}+2x+12\right)[/tex]
значит, [tex]x=2[/tex] действительно является корнем. Единственное значение: [tex]n=8[/tex].

Решение:
Так как [tex]-2[/tex] — корень,
[tex]-8+20-2a+b=0\Rightarrow b=2a-12[/tex]
Схема Горнера с [tex]-2[/tex] для коэффициентов [tex]1, 5, a, 2a-12[/tex] даёт [tex]1, 3, a-6[/tex] и остаток [tex](2a-12)-2(a-6)=0[/tex], следовательно,
[tex]x^3+5x^2+ax+b=(x+2)\left(x^2+3x+a-6\right)[/tex]
Два других корня — корни уравнения [tex]x^2+3x+a-6=0[/tex]; они должны быть действительными, различными и отличными от [tex]-2[/tex]. Поэтому дискриминант должен быть положительным:
[tex]D=9-4(a-6)=33-4a\gt 0\Rightarrow a\lt \frac{33}{4}\Rightarrow a\le 8[/tex]
При [tex]a=8[/tex] квадратный трёхчлен равен [tex]x^2+3x+2=(x+1)(x+2)[/tex], т.е. [tex]-2[/tex] — двукратный корень, и уравнение имеет только два различных корня; это значение не подходит.
При [tex]a=7[/tex] (и [tex]b=2[/tex]) уравнение [tex]x^2+3x+1=0[/tex] имеет различные действительные корни [tex]\frac{-3\pm\sqrt{5}}{2}[/tex], и [tex]-2[/tex] не входит в их число, так как [tex]4-6+1=-1\ne 0[/tex]. Значит, наибольшее значение [tex]a=7[/tex].

Решение:
Пусть корни равны [tex]u[/tex], [tex]2u[/tex] и [tex]v[/tex]. По формулам Виета
[tex]u+2u+v=\frac{14}{24}\Rightarrow 3u+v=\frac{7}{12}[/tex]
[tex]u\cdot 2u+uv+2uv=-\frac{63}{24}\Rightarrow 2u^{2}+3uv=-\frac{21}{8}[/tex]
[tex]u\cdot 2u\cdot v=-\frac{45}{24}\Rightarrow 2u^{2}v=-\frac{15}{8}[/tex]
Из первого равенства [tex]v=\frac{7}{12}-3u[/tex]. Подставим во второе:
[tex]2u^{2}+\frac{7}{4}u-9u^{2}=-\frac{21}{8}\iff 8u^{2}-2u-3=0\iff u=\frac{3}{4}\text{ или }u=-\frac{1}{2}[/tex]
Должно выполняться и третье равенство. При [tex]u=-\frac{1}{2}[/tex] получаем [tex]v=\frac{25}{12}[/tex] и [tex]2u^{2}v=\frac{25}{24}\ne -\frac{15}{8}[/tex], поэтому этот случай отпадает. При [tex]u=\frac{3}{4}[/tex]:
[tex]v=\frac{7}{12}-\frac{9}{4}=-\frac{5}{3},\qquad 2u^{2}v=2\cdot \frac{9}{16}\cdot \left(-\frac{5}{3}\right)=-\frac{15}{8}[/tex]
что верно. Итак, корни равны [tex]\frac{3}{4}[/tex], [tex]\frac{3}{2}[/tex] и [tex]-\frac{5}{3}[/tex]. Проверка:
[tex]24x^{3}-14x^{2}-63x+45=(4x-3)(2x-3)(3x+5)[/tex]

Решение:
Оба множителя содержат [tex]2x^{2}+1[/tex], поэтому положим [tex]t=2x^{2}+1[/tex]. Уравнение принимает вид
[tex](t-3x)(t+5x)=9x^{2}\iff t^{2}+2xt-15x^{2}-9x^{2}=0\iff t^{2}+2xt-24x^{2}=0[/tex]
Как квадратное уравнение относительно [tex]t[/tex] оно имеет корни [tex]t=4x[/tex] и [tex]t=-6x[/tex], следовательно,
[tex](t-4x)(t+6x)=0[/tex]
Случай [tex]1[/tex]: [tex]t=4x[/tex], т.е.
[tex]2x^{2}-4x+1=0\Rightarrow x=\frac{4\pm\sqrt{8}}{4}=\frac{2\pm\sqrt{2}}{2}[/tex]
Случай [tex]2[/tex]: [tex]t=-6x[/tex], т.е.
[tex]2x^{2}+6x+1=0\Rightarrow x=\frac{-6\pm\sqrt{28}}{4}=\frac{-3\pm\sqrt{7}}{2}[/tex]
Итак, уравнение имеет четыре действительных корня: [tex]x_{1,2}=\frac{2\pm\sqrt{2}}{2}[/tex] и [tex]x_{3,4}=\frac{-3\pm\sqrt{7}}{2}[/tex].

Решение:
Положим [tex]a=x^2+2x-3[/tex] и [tex]b=x^2-3x+2[/tex]. Тогда [tex]a+b=2x^2-x-1[/tex], и уравнение принимает вид
[tex]a^3+b^3=(a+b)^3\iff a^3+b^3=a^3+b^3+3ab(a+b)\iff 3ab(a+b)=0[/tex]
Разложим на множители все три выражения:
[tex]a=(x-1)(x+3),\qquad b=(x-1)(x-2),\qquad a+b=(x-1)(2x+1)[/tex]
и уравнение принимает вид
[tex]3(x-1)^3(x+3)(x-2)(2x+1)=0[/tex]
Его корни: [tex]x=1[/tex] (корень кратности три), [tex]x=-3[/tex], [tex]x=2[/tex] и [tex]x=-\frac{1}{2}[/tex].

Решение:
Выделим полный квадрат: [tex]f(x)=(x+5)^{2}-5[/tex], т.е. [tex]f(x)+5=(x+5)^{2}[/tex] для любого [tex]x[/tex]. Применяя это тождество к [tex]f(x)[/tex] вместо [tex]x[/tex] и повторяя, получаем
[tex]f(f(x))+5=\left(f(x)+5\right)^{2}=(x+5)^{4},\qquad f(f(f(x)))+5=(x+5)^{8}[/tex]
[tex]f(f(f(f(x))))+5=(x+5)^{16},\qquad f(f(f(f(f(x)))))+5=(x+5)^{32}[/tex]
Значит, уравнение равносильно уравнению [tex](x+5)^{32}=5[/tex]. Показатель степени чётный, поэтому действительные решения таковы:
[tex]x+5=\pm\sqrt[32]{5}\Rightarrow x_{1,2}=-5\pm\sqrt[32]{5}[/tex]

Решение:
Числа [tex]x-1[/tex] и [tex]x+3[/tex] симметричны относительно их среднего арифметического [tex]x+1[/tex], поэтому положим [tex]y=x+1[/tex]. Тогда [tex]x-1=y-2[/tex], [tex]x+3=y+2[/tex], и уравнение принимает вид
[tex](y-2)^5+(y+2)^5=242y[/tex]
По формуле бинома Ньютона
[tex](y\pm 2)^5=y^5\pm 10y^4+40y^3\pm 80y^2+80y\pm 32[/tex]
поэтому в сумме слагаемые с нечётными степенями [tex]2[/tex] взаимно уничтожаются, и левая часть равна [tex]2y^5+80y^3+160y[/tex]. Следовательно,
[tex]2y^5+80y^3-82y=0\iff 2y\left(y^4+40y^2-41\right)=0\iff 2y\left(y^2-1\right)\left(y^2+41\right)=0[/tex]
Так как [tex]y^2+41\gt 0[/tex], получаем [tex]y=0[/tex], [tex]y=1[/tex] или [tex]y=-1[/tex], а из [tex]x=y-1[/tex] находим [tex]x=-1[/tex], [tex]x=0[/tex] или [tex]x=-2[/tex].

Решение:
Подставим [tex]x=\sqrt{2}[/tex], учитывая, что [tex](\sqrt{2})^2=2[/tex], [tex](\sqrt{2})^3=2\sqrt{2}[/tex], [tex](\sqrt{2})^4=4[/tex], [tex](\sqrt{2})^5=4\sqrt{2}[/tex]:
[tex]4\sqrt{2}+20+2\sqrt{2}(a+10)+2(b+3a+10)+\sqrt{2}(2b+3a+10)+a+b+8=0[/tex]
[tex](7a+3b+48)+(5a+2b+34)\sqrt{2}=0[/tex]
Обе скобки — рациональные числа. Если [tex]5a+2b+34\ne 0[/tex], то [tex]\sqrt{2}=-\frac{7a+3b+48}{5a+2b+34}[/tex] было бы рациональным числом, что невозможно. Следовательно,
[tex]\begin{cases}5a+2b+34=0\\7a+3b+48=0\end{cases}[/tex]
Умножив первое уравнение на [tex]3[/tex], второе на [tex]2[/tex] и вычтя, получаем [tex]a+6=0[/tex], т.е. [tex]a=-6[/tex] и [tex]b=-2[/tex]. Уравнение принимает вид
[tex]x^5+5x^4+4x^3-10x^2-12x=0\iff x\left(x^4+5x^3+4x^2-10x-12\right)=0[/tex]
Ожидая, что [tex]\pm\sqrt{2}[/tex] — корни, разделим множитель четвёртой степени на [tex]x^2-2[/tex]; деление выполняется без остатка:
[tex]x^4+5x^3+4x^2-10x-12=\left(x^2-2\right)\left(x^2+5x+6\right)=\left(x^2-2\right)(x+2)(x+3)[/tex]
Итак, уравнение имеет вид [tex]x(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2})(x+2)(x+3)=0[/tex], и его корни: [tex]-3[/tex], [tex]-2[/tex], [tex]-\sqrt{2}[/tex], [tex]0[/tex] и [tex]\sqrt{2}[/tex].

Решение:
Найдём остаток от деления на [tex]x^{2}+kx+1[/tex]. По модулю делителя можно заменять [tex]x^{2}[/tex] на [tex]-kx-1[/tex]:
[tex]x^{3}=x\cdot x^{2}\equiv -kx^{2}-x\equiv k(kx+1)-x=\left(k^{2}-1\right)x+k[/tex]
[tex]x^{6}=\left(x^{3}\right)^{2}\equiv\left(k^{2}-1\right)^{2}x^{2}+2k\left(k^{2}-1\right)x+k^{2}\equiv\left(-k^{5}+4k^{3}-3k\right)x-k^{4}+3k^{2}-1[/tex]
Кроме того, [tex]-15x^{3}\equiv-15\left(k^{2}-1\right)x-15k[/tex] и [tex]-8x^{2}\equiv 8kx+8[/tex]. Сложив всё (вместе со свободным членом [tex]2[/tex]), получаем остаток
[tex]R(x)=\left(-k^{5}+4k^{3}-15k^{2}+5k+15\right)x+\left(-k^{4}+3k^{2}-15k+9\right)[/tex]
Многочлен делится без остатка тогда и только тогда, когда оба коэффициента равны нулю: [tex]A=-k^{5}+4k^{3}-15k^{2}+5k+15=0[/tex] и [tex]B=-k^{4}+3k^{2}-15k+9=0[/tex]. Эти два условия равносильны условиям [tex]B=0[/tex] и [tex]A-kB=0[/tex], где
[tex]A-kB=k^{3}-4k+15=(k+3)\left(k^{2}-3k+5\right)[/tex]
Квадратный множитель имеет дискриминант [tex]9-20\lt 0[/tex], поэтому [tex]A-kB=0[/tex] только при [tex]k=-3[/tex]. Проверка в [tex]B[/tex]: [tex]-81+27+45+9=0[/tex], т.е. оба условия выполнены и [tex]k=-3[/tex]. Действительно,
[tex]x^{6}-15x^{3}-8x^{2}+2=\left(x^{2}-3x+1\right)\left(x^{4}+3x^{3}+8x^{2}+6x+2\right)[/tex]