Vektorski prostori i linearni operatori - veoma teški zadaci sa rešenjima

Rešenje:
Svaki homogeni polinom stepena [tex]k[/tex] je linearna kombinacija monoma
[tex]x_1^{a_1}x_2^{a_2}\ldots x_n^{a_n},\qquad a_i\in\mathbb{Z},\ a_i\ge 0,\qquad a_1+a_2+\ldots+a_n=k[/tex]
Različiti monomi su linearno nezavisni (polinom je nula-polinom samo ako su mu svi koeficijenti jednaki nuli), pa ovi monomi čine bazu. Prema tome, dimenzija je jednaka broju rešenja jednačine [tex]a_1+\ldots+a_n=k[/tex] u nenegativnim celim brojevima.
Prebrojimo ih metodom „zvezdica i crtica“: svakom rešenju odgovara niz od [tex]k[/tex] zvezdica i [tex]n-1[/tex] crtica, pri čemu crtice dele zvezdice na [tex]n[/tex] grupa veličina [tex]a_1,\ldots,a_n[/tex]. Takav niz ima [tex]n+k-1[/tex] mesta i određen je izborom [tex]k[/tex] mesta za zvezdice, pa je dimenzija
[tex]\binom{n+k-1}{k}=\frac{(n+k-1)!}{k!\,(n-1)!}[/tex]
Provera: za [tex]n=2,\ k=2[/tex] baza je [tex]x_1^2,\ x_1x_2,\ x_2^2[/tex] i [tex]\binom{3}{2}=3[/tex]. Primetimo da je [tex]\binom{n+k}{k}[/tex] dimenzija prostora svih polinoma stepena najviše [tex]k[/tex], a ne homogenih.

Rešenje:
Uslovi su homogene linearne jednačine po [tex]n^2[/tex] vrednosti funkcije [tex]f[/tex], pa rešenja čine potprostor [tex]L[/tex]. Nazovimo [tex](n-2)^2[/tex] tačaka [tex](k,l)[/tex] sa [tex]k,l\in\{2; \ldots; n-1\}[/tex] unutrašnjim, a ostale tačke graničnim. Broj graničnih tačaka je
[tex]n^2-(n-2)^2=4n-4[/tex]
Neka preslikavanje [tex]R:L\to\mathbb{R}^{4n-4}[/tex] funkciji [tex]f[/tex] pridružuje njene vrednosti u graničnim tačkama; [tex]R[/tex] je linearno. Pokažimo da je [tex]R[/tex] izomorfizam.
Preslikavanje [tex]R[/tex] je injektivno. Neka je [tex]f\in L[/tex] jednaka nuli u graničnim tačkama i neka je [tex]M[/tex] najveća vrednost funkcije [tex]f[/tex]. Pretpostavimo da je [tex]M\gt 0[/tex]; tada se ona dostiže u unutrašnjoj tački [tex](k,l)[/tex]. Tu je [tex]f(k,l)[/tex] aritmetička sredina četiri vrednosti, od kojih je svaka [tex]\le M[/tex], pa su sve četiri jednake [tex]M[/tex]; posebno, [tex]f(k+1,l)=M[/tex]. Ponavljajući ovo, krećemo se udesno sa vrednošću [tex]M[/tex] dok ne stignemo do granične tačke [tex](n,l)[/tex], gde je [tex]f=0\lt M[/tex], što je kontradikcija. Dakle, [tex]M\le 0[/tex], tj. [tex]f\le 0[/tex]; primenom na [tex]-f[/tex] dobijamo [tex]f\ge 0[/tex], pa je [tex]f\equiv 0[/tex].
Preslikavanje [tex]R[/tex] je sirjektivno. Za zadate vrednosti u graničnim tačkama prebacimo ih na desnu stranu: uslovi postaju kvadratni linearni sistem od [tex](n-2)^2[/tex] jednačina po [tex](n-2)^2[/tex] unutrašnjih vrednosti. Za nulte granične vrednosti on ima samo nula-rešenje (zbog injektivnosti), pa mu je determinanta različita od nule i sistem je rešiv za svaku desnu stranu.
Dakle, [tex]R[/tex] je izomorfizam i
[tex]\dim L=4n-4[/tex]
Primetimo da četiri ugaone tačke [tex](1; 1)[/tex], [tex](1; n)[/tex], [tex](n; 1)[/tex], [tex](n; n)[/tex] ne učestvuju ni u jednom uslovu, ali i njih treba prebrojati (ako ih zaboravimo, dobijamo [tex]4n-8[/tex]).

Rešenje:
U kompleksnom vektorskom prostoru [tex]M_n(\mathbb{C})[/tex] kvadratnih matrica reda [tex]n[/tex] definišimo sledeću funkciju, gde je [tex]Y^*=\overline{Y}^{T}[/tex] konjugovano transponovana matrica matrice [tex]Y[/tex]:
[tex]\langle X,Y\rangle=\operatorname{tr}(XY^*)=\sum_{i,j=1}^{n}x_{ij}\overline{y_{ij}}[/tex]
To je standardni skalarni proizvod u [tex]\mathbb{C}^{n^2}[/tex] primenjen na elemente matrica, pa je to skalarni proizvod: linearan je po [tex]X[/tex], [tex]\langle Y,X\rangle=\overline{\langle X,Y\rangle}[/tex] i [tex]\langle X,X\rangle=\sum_{i,j}|x_{ij}|^2\gt 0[/tex] za [tex]X\ne 0[/tex]. Prema Koši-Švarcovoj nejednakosti, koja važi u svakom prostoru sa skalarnim proizvodom,
[tex]|\langle A,B\rangle|^2\le\langle A,A\rangle\cdot \langle B,B\rangle[/tex]
Pošto su [tex]A[/tex] i [tex]B[/tex] ermitske, važi [tex]A^*=A[/tex] i [tex]B^*=B[/tex], pa je
[tex]\langle A,B\rangle=\operatorname{tr}(AB^*)=\operatorname{tr}(AB),\qquad \langle A,A\rangle=\operatorname{tr}(A^2),\qquad \langle B,B\rangle=\operatorname{tr}(B^2)[/tex]
Zamenom u Koši-Švarcovu nejednakost dobijamo traženu nejednakost:
[tex]\left|\operatorname{tr}(AB)\right|^2\le\operatorname{tr}(A^2)\cdot \operatorname{tr}(B^2)[/tex]
(Ovde je [tex]\operatorname{tr}(A^2)=\sum_{i,j}|a_{ij}|^2\ge 0[/tex] realan broj. Jednakost važi ako i samo ako su [tex]A[/tex] i [tex]B[/tex] linearno zavisne.)