Teorija brojeva - deljivost i prosti brojevi - teški zadaci sa rešenjima

Rešenje:
Neka je [tex]d[/tex] najveći zajednički delilac ova dva broja. Tada [tex]d[/tex] deli svaku njihovu linearnu kombinaciju sa celim koeficijentima, posebno
[tex]\left(2^{2004}-1\right)-4\left(2^{2002}-1\right)=2^{2004}-1-2^{2004}+4=3[/tex]
Dakle, [tex]d=1[/tex] ili [tex]d=3[/tex]. S druge strane, [tex]4\equiv 1\pmod 3[/tex], pa su oba broja deljiva sa [tex]3[/tex]:
[tex]2^{2002}-1=4^{1001}-1\equiv 1-1=0\pmod 3,\qquad 2^{2004}-1=4^{1002}-1\equiv 1-1=0\pmod 3[/tex]
Prema tome, [tex]d=3[/tex]. (To je u skladu sa opštim pravilom [tex]\text{NZD}\left(2^m-1; 2^n-1\right)=2^{\text{NZD}(m; n)}-1[/tex]: ovde je [tex]\text{NZD}(2002; 2004)=2[/tex] i [tex]2^2-1=3[/tex].)

Rešenje:
Poslednje dve cifre broja određene su njegovim ostatkom pri deljenju sa [tex]100[/tex], a poslednje dve cifre proizvoda zavise samo od poslednje dve cifre činilaca. Zato je
[tex]666^{666}\equiv 66^{666}\pmod{100}[/tex]
Izračunajmo stepene broja [tex]66[/tex] po modulu [tex]100[/tex]:
[tex]66^2=4356\equiv 56,\quad 66^4\equiv 56^2=3136\equiv 36,\quad 66^5\equiv 36\cdot 66=2376\equiv 76\pmod{100}[/tex]
Pošto je [tex]76^2=5776\equiv 76\pmod{100}[/tex], svaki stepen [tex]76^k[/tex] za [tex]k\ge 1[/tex] završava se sa [tex]76[/tex]. Kako je [tex]666=5\cdot 133+1[/tex], dobijamo
[tex]66^{666}=\left(66^5\right)^{133}\cdot 66\equiv 76\cdot 66=5016\equiv 16\pmod{100}[/tex]
Dakle, broj [tex]666^{666}[/tex] završava se sa [tex]16[/tex].

Rešenje:
Ako je [tex]N=q_1^{a_1}q_2^{a_2}\ldots q_k^{a_k}[/tex] rastavljanje broja [tex]N[/tex] na proste činioce, onda je broj delilaca broja [tex]N[/tex] jednak [tex](a_1+1)(a_2+1)\ldots(a_k+1)[/tex].
Za [tex]p=2[/tex]: [tex]p^2+11=15=3\cdot 5[/tex] ima [tex]4[/tex] delioca, pa [tex]p=2[/tex] ne zadovoljava uslov. Za [tex]p=3[/tex]: [tex]p^2+11=20=2^2\cdot 5[/tex] ima [tex](2+1)(1+1)=6[/tex] delilaca, pa [tex]p=3[/tex] zadovoljava uslov.
Neka je sada [tex]p\ge 5[/tex]. Tada je [tex]p[/tex] neparan, pa je [tex]p^2\equiv 1\pmod 4[/tex] i [tex]4\mid p^2+11[/tex]; osim toga [tex]3\nmid p[/tex], pa je [tex]p^2\equiv 1\pmod 3[/tex] i [tex]3\mid p^2+11[/tex]. Zato je
[tex]p^2+11=2^a\cdot 3^b\cdot m,\qquad a\ge 2,\ b\ge 1[/tex]
gde [tex]m[/tex] nije deljiv ni sa [tex]2[/tex] ni sa [tex]3[/tex]. Ako je [tex]d(m)[/tex] broj delilaca broja [tex]m[/tex], onda je broj delilaca broja [tex]p^2+11[/tex] jednak
[tex](a+1)(b+1)\cdot d(m)\ge 3\cdot 2\cdot 1=6[/tex]
Jednakost važi samo za [tex]a=2[/tex], [tex]b=1[/tex], [tex]m=1[/tex], tj. [tex]p^2+11=12[/tex], što je nemoguće jer je [tex]p^2+11\ge 36[/tex]. Dakle, za [tex]p\ge 5[/tex] broj [tex]p^2+11[/tex] ima više od [tex]6[/tex] delilaca. Jedini takav prost broj je [tex]p=3[/tex].

Rešenje:
Neka je [tex]N=2^3\cdot 3^4\cdot 5^6[/tex]. Brojevi [tex]x[/tex] i [tex]y[/tex] dele svoj najmanji zajednički sadržalac [tex]N[/tex], pa je
[tex]x=2^{a_1}3^{b_1}5^{c_1},\qquad y=2^{a_2}3^{b_2}5^{c_2}[/tex]
sa celim nenegativnim izložiocima. Najmanji zajednički sadržalac uzima veći izložilac svakog prostog broja, pa je [tex]\text{NZS}(x; y)=N[/tex] tačno onda kada je
[tex]\max(a_1; a_2)=3,\qquad \max(b_1; b_2)=4,\qquad \max(c_1; c_2)=6[/tex]
pri čemu su ta tri uslova nezavisna. Za prost broj [tex]2[/tex]: parova [tex](a_1; a_2)[/tex] sa [tex]0\le a_1, a_2\le 3[/tex] ima [tex]4^2=16[/tex], a kod [tex]3^2=9[/tex] od njih oba izložioca su najviše [tex]2[/tex]; zato kod [tex]16-9=7[/tex] parova maksimum iznosi tačno [tex]3[/tex]. Na isti način prost broj [tex]3[/tex] daje [tex]5^2-4^2=9[/tex] parova, a prost broj [tex]5[/tex] daje [tex]7^2-6^2=13[/tex] parova.
Prema pravilu proizvoda, broj uređenih parova je
[tex]7\cdot 9\cdot 13=819[/tex]

Rešenje:
Kako je [tex]323=17\cdot 19[/tex], gde su [tex]17[/tex] i [tex]19[/tex] različiti prosti brojevi, dovoljno je dokazati da je [tex]a_n[/tex] deljiv sa [tex]17[/tex] i sa [tex]19[/tex]. Koristićemo dve činjenice. Prvo, [tex]x-y[/tex] deli [tex]x^k-y^k[/tex] za svaki prirodan broj [tex]k[/tex], jer je
[tex]x^k-y^k=(x-y)\left(x^{k-1}+x^{k-2}y+\ldots+y^{k-1}\right)[/tex]
Drugo, [tex]x^{2n}-y^{2n}=\left(x^2\right)^n-\left(y^2\right)^n[/tex] je deljivo sa [tex]x^2-y^2=(x-y)(x+y)[/tex], pa i sa [tex]x+y[/tex].
Deljivost sa [tex]17[/tex]: zapišimo
[tex]a_n=\left(20^{2n}-3^{2n}\right)+\left(16^{2n}-1^{2n}\right)[/tex]
Prva zagrada je deljiva sa [tex]20-3=17[/tex] (prema prvoj činjenici), a druga sa [tex]16+1=17[/tex] (prema drugoj činjenici).
Deljivost sa [tex]19[/tex]: zapišimo
[tex]a_n=\left(20^{2n}-1^{2n}\right)+\left(16^{2n}-3^{2n}\right)[/tex]
Prva zagrada je deljiva sa [tex]20-1=19[/tex] (prema prvoj činjenici), a druga sa [tex]16+3=19[/tex] (prema drugoj činjenici).
Pošto su [tex]17[/tex] i [tex]19[/tex] uzajamno prosti, [tex]a_n[/tex] je deljiv sa [tex]17\cdot 19=323[/tex].

Rešenje:
Pretpostavimo da je [tex]121\mid n^2+3n+5[/tex] za neki prirodan broj [tex]n[/tex]. Tada [tex]121[/tex] deli i
[tex]4\left(n^2+3n+5\right)=4n^2+12n+20=(2n+3)^2+11[/tex]
Posebno, [tex]11\mid (2n+3)^2+11[/tex], odakle [tex]11\mid (2n+3)^2[/tex]. Pošto je [tex]11[/tex] prost broj, [tex]11\mid 2n+3[/tex], pa je [tex]121\mid (2n+3)^2[/tex].
Sada iz [tex]121\mid (2n+3)^2+11[/tex] i [tex]121\mid (2n+3)^2[/tex] sledi [tex]121\mid 11[/tex], što nije tačno. Dobijena kontradikcija pokazuje da [tex]n^2+3n+5[/tex] nikada nije deljiv sa [tex]121[/tex].
(Taj broj može biti deljiv sa [tex]11[/tex]: na primer, za [tex]n=4[/tex] jednak je [tex]33[/tex]. Zato je u dokazu zaista bitno da je [tex]121=11^2[/tex].)

Rešenje:
Neka je [tex]A=20x+17y[/tex], [tex]B=17x+20y[/tex] i neka je [tex]d[/tex] njihov najveći zajednički delilac. Tada [tex]d[/tex] deli
[tex]20A-17B=(400-289)x=111x,\qquad 20B-17A=(400-289)y=111y[/tex]
Zato [tex]d[/tex] deli [tex]\text{NZD}(111x; 111y)=111\cdot \text{NZD}(x; y)=111[/tex], tj. [tex]d\le 111[/tex].
Vrednost [tex]111=3\cdot 37[/tex] se dostiže. Na primer, za uzajamno proste brojeve [tex]x=1[/tex], [tex]y=38[/tex] (izabrane tako da je [tex]x\equiv y\pmod{37}[/tex] i [tex]3\mid x+y[/tex]) dobijamo
[tex]A=20+646=666=6\cdot 111,\qquad B=17+760=777=7\cdot 111[/tex]
a pošto su [tex]6[/tex] i [tex]7[/tex] uzajamno prosti, najveći zajednički delilac brojeva [tex]A[/tex] i [tex]B[/tex] jednak je [tex]111[/tex]. Najveća moguća vrednost je [tex]111[/tex].

Rešenje:
Ako je [tex]n=p_1^{a_1}p_2^{a_2}\ldots p_k^{a_k}[/tex] rastavljanje broja [tex]n[/tex] na proste činioce, broj njegovih delilaca je [tex](a_1+1)(a_2+1)\ldots(a_k+1)[/tex]. Pošto se [tex]9[/tex] kao proizvod činilaca većih od [tex]1[/tex] može zapisati samo kao [tex]9[/tex] ili [tex]3\cdot 3[/tex], broj [tex]n[/tex] ima tačno [tex]9[/tex] delilaca ako i samo ako je [tex]n=p^8[/tex] ili [tex]n=p^2q^2[/tex], gde su [tex]p[/tex] i [tex]q[/tex] različiti prosti brojevi.
Slučaj [tex]n=p^8[/tex]: [tex]2^8=256\lt 5000[/tex], [tex]3^8=6561[/tex] je u datom intervalu, a [tex]5^8=390625\gt 8000[/tex], pa ovaj slučaj daje [tex]1[/tex] broj.
Slučaj [tex]n=(pq)^2[/tex]: pošto je [tex]70^2=4900\lt 5000\le 71^2=5041[/tex] i [tex]89^2=7921\le 8000\lt 90^2=8100[/tex], mora biti
[tex]71\le pq\le 89[/tex]
U ovom intervalu proizvodi dva različita prosta broja su
[tex]74=2\cdot 37,\quad 77=7\cdot 11,\quad 82=2\cdot 41,\quad 85=5\cdot 17,\quad 86=2\cdot 43,\quad 87=3\cdot 29[/tex]
Ostali brojevi su prosti ([tex]71; 73; 79; 83; 89[/tex]) ili su deljivi kvadratom prostog broja ili imaju tri prosta činioca ([tex]72; 75; 76; 78; 80; 81; 84; 88[/tex]). Dakle, ovaj slučaj daje [tex]6[/tex] brojeva:
[tex]74^2=5476; \ 77^2=5929; \ 82^2=6724; \ 85^2=7225; \ 86^2=7396; \ 87^2=7569[/tex]
Ukupno ima [tex]1+6=7[/tex] takvih brojeva.

Rešenje:
Označimo broj sa [tex]f(n)[/tex] i rastavimo ga na činioce:
[tex]f(n)=n\left(9n^4-5n^2-4\right)=n\left(n^2-1\right)\left(9n^2+4\right)=(n-1)n(n+1)\left(9n^2+4\right)[/tex]
Neka je [tex]D[/tex] traženi najveći zajednički delilac. Tada [tex]D[/tex] deli brojeve
[tex]f(2)=1\cdot 2\cdot 3\cdot 40=240=2^4\cdot 3\cdot 5,\qquad f(3)=2\cdot 3\cdot 4\cdot 85=2040=2^3\cdot 3\cdot 5\cdot 17[/tex]
pa [tex]D[/tex] deli njihov najveći zajednički delilac [tex]2^3\cdot 3\cdot 5=120[/tex]. Pokažimo da [tex]120=3\cdot 8\cdot 5[/tex] deli [tex]f(n)[/tex] za svako [tex]n[/tex].
Deljivost sa [tex]3[/tex]: jedan od tri uzastopna broja [tex]n-1[/tex], [tex]n[/tex], [tex]n+1[/tex] je deljiv sa [tex]3[/tex].
Deljivost sa [tex]8[/tex]: ako je [tex]n[/tex] neparan, onda su [tex]n-1[/tex] i [tex]n+1[/tex] uzastopni parni brojevi i jedan od njih je deljiv sa [tex]4[/tex], pa [tex]8\mid (n-1)(n+1)[/tex]. Ako je [tex]n=2k[/tex] paran, onda je [tex]9n^2+4=4\left(9k^2+1\right)[/tex] deljiv sa [tex]4[/tex], a [tex]n[/tex] je deljiv sa [tex]2[/tex], pa [tex]8\mid n\left(9n^2+4\right)[/tex].
Deljivost sa [tex]5[/tex]: ako [tex]n[/tex] pri deljenju sa [tex]5[/tex] daje ostatak [tex]0[/tex], [tex]1[/tex] ili [tex]4[/tex], onda je jedan od brojeva [tex]n[/tex], [tex]n-1[/tex], [tex]n+1[/tex] deljiv sa [tex]5[/tex]. Ako je ostatak [tex]2[/tex] ili [tex]3[/tex], onda je [tex]n^2\equiv 4\pmod{5}[/tex] i
[tex]9n^2+4\equiv 9\cdot 4+4=40\equiv 0\pmod{5}[/tex]
Pošto su [tex]3[/tex], [tex]8[/tex] i [tex]5[/tex] uzajamno prosti po parovima, [tex]120\mid f(n)[/tex] za svaki prirodan broj [tex]n[/tex]. Dakle, [tex]D=120[/tex].

Rešenje:
Rastavimo [tex]P[/tex] pomoću razlike kvadrata:
[tex]P=a\left[\left(a\left(a^2-7\right)\right)^2-6^2\right]=a\left(a^3-7a-6\right)\left(a^3-7a+6\right)[/tex]
Polinom [tex]a^3-7a-6[/tex] ima koren [tex]a=-1[/tex], a [tex]a^3-7a+6[/tex] ima koren [tex]a=1[/tex]; deljenjem odgovarajućim linearnim činiocima dobijamo
[tex]a^3-7a-6=(a+1)(a+2)(a-3),\qquad a^3-7a+6=(a-1)(a-2)(a+3)[/tex]
Dakle, [tex]P[/tex] je proizvod sedam uzastopnih celih brojeva:
[tex]P=(a-3)(a-2)(a-1)\,a\,(a+1)(a+2)(a+3)[/tex]
Imamo [tex]5040=2^4\cdot 3^2\cdot 5\cdot 7[/tex]. Među svakih sedam uzastopnih celih brojeva postoji jedan deljiv sa [tex]7[/tex] i jedan deljiv sa [tex]5[/tex]; postoje bar dva deljiva sa [tex]3[/tex], pa je proizvod deljiv sa [tex]3^2[/tex]; postoje bar tri uzastopna parna broja, a od svaka dva uzastopna parna broja jedan je deljiv sa [tex]4[/tex], pa ova tri broja daju činilac od bar [tex]2\cdot 2\cdot 4=2^4[/tex].
Pošto su [tex]16[/tex], [tex]9[/tex], [tex]5[/tex] i [tex]7[/tex] uzajamno prosti po parovima i svaki od njih deli [tex]P[/tex], njihov proizvod deli [tex]P[/tex]:
[tex]16\cdot 9\cdot 5\cdot 7=5040\mid P[/tex]

Rešenje:
Neka je [tex]x=5^{\frac{p-1}{2}}[/tex]; to je ceo broj jer je [tex]p[/tex] neparan.
Slučaj [tex]p=5[/tex]: [tex]x+10=5^2+10=35[/tex] je deljiv sa [tex]5[/tex], pa [tex]p=5[/tex] zadovoljava uslov.
Slučaj [tex]p\ne 5[/tex]: prema maloj Fermaovoj teoremi [tex]p[/tex] deli
[tex]5^{p-1}-1=x^2-1=(x-1)(x+1)[/tex]
a pošto je [tex]p[/tex] prost, [tex]p\mid x-1[/tex] ili [tex]p\mid x+1[/tex].
Ako [tex]p\mid x-1[/tex], onda [tex]p\mid (x+10)-(x-1)=11[/tex], tj. [tex]p=11[/tex]. Ako [tex]p\mid x+1[/tex], onda [tex]p\mid (x+10)-(x+1)=9[/tex], tj. [tex]p=3[/tex].
Provera: za [tex]p=3[/tex] dobijamo [tex]5+10=15[/tex], što je deljivo sa [tex]3[/tex]; za [tex]p=11[/tex] dobijamo [tex]5^5+10=3135=11\cdot 285[/tex].
Dakle, [tex]p\in\{3; \,5; \,11\}[/tex]. Slučaj [tex]p=5[/tex] se lako previdi, jer se Fermaova teorema na njega ne može primeniti.

Rešenje:
Uslov znači da [tex]x^2[/tex] i [tex]x[/tex] imaju iste poslednje tri cifre, tj.
[tex]x^2\equiv x\pmod{1000}\iff 1000\mid x(x-1),\qquad 100\le x\le 999[/tex]
Pošto je [tex]1000=8\cdot 125[/tex], a uzastopni brojevi [tex]x-1[/tex] i [tex]x[/tex] su uzajamno prosti, činilac [tex]8=2^3[/tex] u celini deli jedan od njih, kao i [tex]125=5^3[/tex]. Ako oba dele isti broj, onda [tex]1000\mid x[/tex] ili [tex]1000\mid x-1[/tex], što je nemoguće za trocifren broj [tex]x[/tex]. Ostaju dva slučaja.
Slučaj [tex]1[/tex]: [tex]125\mid x[/tex] i [tex]8\mid x-1[/tex]. Trocifreni brojevi deljivi sa [tex]125[/tex] su [tex]125; 250; 375; 500; 625; 750; 875[/tex], a njihovi ostaci pri deljenju sa [tex]8[/tex] su [tex]5; 2; 7; 4; 1; 6; 3[/tex]. Samo [tex]x=625[/tex] daje ostatak [tex]1[/tex].
Slučaj [tex]2[/tex]: [tex]8\mid x[/tex] i [tex]125\mid x-1[/tex]. Tada je [tex]x\in\{126; 251; 376; 501; 626; 751; 876\}[/tex]. Neparni brojevi nisu deljivi sa [tex]8[/tex], a od brojeva [tex]126; 376; 626; 876[/tex] samo je [tex]376=8\cdot 47[/tex] deljiv sa [tex]8[/tex].
Provera:
[tex]625^2=390625,\qquad 376^2=141376[/tex]
Traženi brojevi su [tex]376[/tex] i [tex]625[/tex].

Rešenje:
Svaki od prostih brojeva [tex]17[/tex], [tex]19[/tex], [tex]23[/tex] deli tačno jedan od brojeva [tex]1; 2; \ldots; 26[/tex], jer je [tex]2\cdot 17=34\gt 26[/tex]. Ako, na primer, [tex]17[/tex] nije precrtan, onda je proizvod njegove grupe deljiv sa [tex]17[/tex], a proizvod druge grupe nije, pa proizvodi nisu jednaki. Dakle, [tex]17[/tex], [tex]19[/tex] i [tex]23[/tex] moraju biti precrtani.
Ako su preostali brojevi podeljeni u dve grupe sa jednakim proizvodima [tex]Q[/tex], onda je proizvod svih preostalih brojeva [tex]Q^2[/tex], tj. potpun kvadrat. Izložilac broja [tex]2[/tex] u [tex]26![/tex] je
[tex]\left\lfloor\frac{26}{2}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{26}{4}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{26}{8}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{26}{16}\right\rfloor=13+6+3+1=23[/tex]
Precrtavanje neparnih brojeva [tex]17[/tex], [tex]19[/tex], [tex]23[/tex] ga ne menja, pa proizvod preostala [tex]23[/tex] broja sadrži broj [tex]2[/tex] na neparan stepen i nije potpun kvadrat. Dakle, treba precrtati još bar jedan broj, tj. ukupno bar [tex]4[/tex] broja.
Četiri broja su dovoljna: precrtajmo [tex]14[/tex], [tex]17[/tex], [tex]19[/tex], [tex]23[/tex]. Preostali brojevi se mogu podeliti u grupe [tex]\{1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 11; 24; 25; 26\}[/tex] i [tex]\{10; 12; 13; 15; 16; 18; 20; 21; 22\}[/tex], pri čemu je proizvod svake grupe jednak
[tex]2^{11}\cdot 3^5\cdot 5^3\cdot 7\cdot 11\cdot 13[/tex]
Dakle, najmanji broj je [tex]4[/tex].

Rešenje:
Neka su brojevi u izabranom redosledu [tex]a_1, a_2, \ldots, a_{11}[/tex]. Svaki od njih je četvorocifren, pa je dobijeni broj
[tex]N=a_1\cdot 10^{40}+a_2\cdot 10^{36}+\ldots+a_{10}\cdot 10^{4}+a_{11}[/tex]
Pošto je [tex]10^4-1=9999=11\cdot 909[/tex] i [tex]10^{4j}-1=\left(10^4\right)^j-1[/tex] je deljiv sa [tex]10^4-1[/tex], svaki broj [tex]10^{4j}-1[/tex] je deljiv sa [tex]11[/tex]. Zato je razlika
[tex]N-\left(a_1+a_2+\ldots+a_{11}\right)=a_1\left(10^{40}-1\right)+a_2\left(10^{36}-1\right)+\ldots+a_{10}\left(10^{4}-1\right)[/tex]
deljiva sa [tex]11[/tex]. Zbir [tex]a_1+a_2+\ldots+a_{11}[/tex] ne zavisi od redosleda; to je zbir jedanaest uzastopnih brojeva čiji je srednji član [tex]2014[/tex]:
[tex]2009+2010+\ldots+2019=11\cdot 2014[/tex]
Dakle, [tex]11\mid N[/tex] za svaki redosled brojeva. Pošto je [tex]N\gt 11[/tex], broj [tex]N[/tex] ima delilac različit od [tex]1[/tex] i od [tex]N[/tex], pa nije prost.

Rešenje:
Ako zatvor ima [tex]n[/tex] spratova, u njemu je [tex]n\cdot n\cdot n=n^3[/tex] zatvorenika i za svakog od njih se izdvaja [tex]n[/tex] evra, pa taj zatvor košta [tex]n^3\cdot n=n^4[/tex] evra. Dakle, ukupni troškovi su
[tex]S=n_1^4+n_2^4+\ldots+n_{14}^4[/tex]
gde su [tex]n_1, n_2, \ldots, n_{14}[/tex] prirodni brojevi. Posmatrajmo ostatke pri deljenju sa [tex]16[/tex]. Ako je [tex]n=2k[/tex] paran, onda je [tex]n^4=16k^4\equiv 0\pmod{16}[/tex]. Ako je [tex]n=2k+1[/tex] neparan, onda je [tex]n^2=4k(k+1)+1=8t+1[/tex] za neki ceo broj [tex]t[/tex], jer je [tex]k(k+1)[/tex] paran, i
[tex]n^4=(8t+1)^2=64t^2+16t+1\equiv 1\pmod{16}[/tex]
Dakle, [tex]S\equiv r\pmod{16}[/tex], gde je [tex]r[/tex] broj zatvora sa neparnim brojem spratova i [tex]0\le r\le 14[/tex]. Znači, ostatak pri deljenju [tex]S[/tex] sa [tex]16[/tex] je jedan od brojeva [tex]0; 1; \ldots; 14[/tex]. S druge strane,
[tex]1\,599\,999=16\cdot 100\,000-1=16\cdot 99\,999+15[/tex]
daje ostatak [tex]15[/tex] pri deljenju sa [tex]16[/tex]. Dakle, ukupni troškovi ne mogu biti [tex]1\,599\,999[/tex] evra, pa je službenik pogrešio.