Diferencijalna geometrija krivih i površi - veoma teški zadaci sa rešenjima

Rešenje:
Imamo
[tex]\vec{r}^{\,\prime}=\left(2 ; \frac{1}{u} ; 2u\right),\quad |\vec{r}^{\,\prime}|=\sqrt{4u^2+4+\frac{1}{u^2}}=2u+\frac{1}{u}=\frac{2u^2+1}{u}[/tex]
pa je jedinični tangentni vektor
[tex]\vec{t}=\frac{1}{2u^2+1}\left(2u ; 1 ; 2u^2\right)[/tex]
Tražimo fiksni vektor [tex]\vec{e}=\left(\alpha ; \beta ; \gamma\right)\ne\vec{0}[/tex] za koji je [tex]\vec{t}\centerdot\vec{e}=k[/tex] konstantno, tj. za svako [tex]u\gt 0[/tex]
[tex]2\gamma u^2+2\alpha u+\beta=k\left(2u^2+1\right)\Rightarrow \alpha=0,\ \beta=\gamma=k[/tex]
Dakle, [tex]\vec{e}\parallel\left(0 ; 1 ; 1\right)[/tex] i svaka tangenta zaklapa ugao od [tex]45^\circ[/tex] sa tim pravcem:
[tex]\vec{t}\centerdot\frac{\left(0 ; 1 ; 1\right)}{\sqrt{2}}=\frac{1+2u^2}{\sqrt{2}\left(2u^2+1\right)}=\frac{1}{\sqrt{2}}[/tex]
(Ovo je u skladu sa Lankreovom teoremom: [tex]\kappa=\frac{2u}{\left(2u^2+1\right)^2}[/tex] i [tex]\tau=-\frac{2u}{\left(2u^2+1\right)^2}[/tex], pa je [tex]\frac{\tau}{\kappa}=-1[/tex] konstantno.)
Tačka [tex]\left(x ; y ; z\right)[/tex] leži na cilindru ako i samo ako za neko [tex]\lambda[/tex] tačka [tex]\left(x ; y-\lambda ; z-\lambda\right)[/tex] leži na [tex]c[/tex]:
[tex]x=2u,\quad y-\lambda=\ln u,\quad z-\lambda=u^2[/tex]
Eliminacijom [tex]\lambda[/tex] i zamenom [tex]u=\frac{x}{2}[/tex] dobijamo
[tex]z-y=u^2-\ln u=\frac{x^2}{4}-\ln\frac{x}{2},\quad x\gt 0[/tex]
Provera: leva strana se ne menja pri [tex]\left(y ; z\right)\to\left(y+\lambda ; z+\lambda\right)[/tex], a tačke krive [tex]c[/tex] zadovoljavaju jednačinu.

Rešenje:
Uzmimo [tex]x[/tex] za parametar:
[tex]\vec{r}(x)=\left(x ; x^n ; f(x)\right),\quad \vec{r}^{\,\prime}=\left(1 ; nx^{n-1} ; f'\right),\quad \vec{r}^{\,\prime\prime}=\left(0 ; n(n-1)x^{n-2} ; f''\right)[/tex]
Vektorski proizvod [tex]\vec{B}[/tex] vektora [tex]\vec{r}^{\,\prime}[/tex] i [tex]\vec{r}^{\,\prime\prime}[/tex] je vektor normale oskulatorne ravni:
[tex]\vec{B}=\left(nx^{n-1}f''-n(n-1)x^{n-2}f' ; -f'' ; n(n-1)x^{n-2}\right)[/tex]
Njegova treća koordinata je različita od nule za [tex]x\gt 0[/tex], pa oskulatorna ravan postoji u svakoj tački. Projekcija tačke [tex]M=\vec{r}(x)[/tex] na [tex]Oy[/tex] je [tex]Q\left(0 ; x^n ; 0\right)[/tex] i [tex]\overrightarrow{MQ}=\left(-x ; 0 ; -f\right)[/tex]. Uslov [tex]\overrightarrow{MQ}\centerdot\vec{B}=0[/tex] glasi
[tex]-x\left(nx^{n-1}f''-n(n-1)x^{n-2}f'\right)-n(n-1)x^{n-2}f=0[/tex]
Deljenjem sa [tex]-nx^{n-2}\ne 0[/tex] dobijamo Ojlerovu jednačinu:
[tex]x^2f''-(n-1)xf'+(n-1)f=0[/tex]
Smenom [tex]f=x^m[/tex] dobijamo
[tex]m(m-1)-(n-1)m+(n-1)=m^2-nm+n-1=(m-1)(m-n+1)=0\Rightarrow m=1\text{ ili }m=n-1[/tex]
Pošto je [tex]n\ge 3[/tex], koreni su različiti ([tex]n-1\ge 2[/tex]), pa su [tex]x[/tex] i [tex]x^{n-1}[/tex] dva linearno nezavisna rešenja ove linearne jednačine drugog reda za [tex]x\gt 0[/tex] (posle deljenja sa [tex]x^2[/tex] njeni koeficijenti su tamo neprekidni). Prema tome, sva rešenja su
[tex]f(x)=C_1x+C_2x^{n-1},\quad C_1,C_2\in\mathbb{R}[/tex]

Rešenje:
Neka je [tex]\vec{x}(s)[/tex] prirodna parametrizacija krive [tex]C[/tex] sa Freneovim reperom [tex]\vec{t},\ \vec{n},\ \vec{b}[/tex]; prim označava [tex]\frac{d}{ds}[/tex]. Freneove formule su
[tex]\vec{t}^{\,\prime}=\kappa\vec{n},\quad \vec{n}^{\,\prime}=-\kappa\vec{t}+\tau\vec{b},\quad \vec{b}^{\,\prime}=-\tau\vec{n}[/tex]
Centar oskulatorne kružnice leži na glavnoj normali na rastojanju [tex]\frac{1}{\kappa}[/tex], pa je [tex]C^*:\ \vec{x}^*(s)=\vec{x}(s)+\frac{1}{\kappa}\vec{n}(s)[/tex]. Pošto je [tex]\kappa[/tex] konstantno,
[tex]\frac{d\vec{x}^*}{ds}=\vec{t}+\frac{1}{\kappa}\left(-\kappa\vec{t}+\tau\vec{b}\right)=\frac{\tau}{\kappa}\vec{b}[/tex]
Pošto je [tex]\tau\ne 0[/tex], kriva [tex]C^*[/tex] je regularna, a za njenu dužinu luka [tex]s^*[/tex] važi [tex]\frac{ds^*}{ds}=\frac{|\tau|}{\kappa}[/tex]. Neka je [tex]\varepsilon=\frac{\tau}{|\tau|}[/tex]; to je konstanta ([tex]1[/tex] ili [tex]-1[/tex]), jer je [tex]\tau[/tex] neprekidna i nigde nije nula. Jedinični tangentni vektor krive [tex]C^*[/tex] je [tex]\vec{t}^*=\varepsilon\vec{b}[/tex], i
[tex]\frac{d\vec{t}^*}{ds^*}=\varepsilon\,\vec{b}^{\,\prime}\,\frac{ds}{ds^*}=\varepsilon\left(-\tau\vec{n}\right)\frac{\kappa}{|\tau|}=-\kappa\vec{n}[/tex]
Prema tome, krivina krive [tex]C^*[/tex] je [tex]\kappa^*=\left|\frac{d\vec{t}^*}{ds^*}\right|=\kappa[/tex], dakle konstanta, a njena glavna normala je [tex]\vec{n}^*=-\vec{n}[/tex].
Binormala [tex]\vec{b}^*[/tex] dopunjuje [tex]\vec{t}^*,\ \vec{n}^*[/tex] do pozitivno orijentisanog ortonormiranog repera. Reper [tex]\vec{b},\ -\vec{n},\ \vec{t}[/tex] je pozitivno orijentisan (dobija se iz [tex]\vec{t},\ \vec{n},\ \vec{b}[/tex] zamenom mesta [tex]\vec{t}[/tex] i [tex]\vec{b}[/tex] i promenom znaka vektora [tex]\vec{n}[/tex]), pa je takav i [tex]\varepsilon\vec{b},\ -\vec{n},\ \varepsilon\vec{t}[/tex]; dakle, [tex]\vec{b}^*=\varepsilon\vec{t}[/tex].
Za torziju diferenciramo [tex]\vec{n}^*[/tex]:
[tex]\frac{d\vec{n}^*}{ds^*}=-\vec{n}^{\,\prime}\,\frac{\kappa}{|\tau|}=\left(\kappa\vec{t}-\tau\vec{b}\right)\frac{\kappa}{|\tau|}=\frac{\kappa^2}{|\tau|}\vec{t}-\varepsilon\kappa\vec{b}[/tex]
S druge strane, prema Freneovoj formuli za [tex]C^*[/tex]
[tex]\frac{d\vec{n}^*}{ds^*}=-\kappa^*\vec{t}^*+\tau^*\vec{b}^*=-\varepsilon\kappa\vec{b}+\varepsilon\tau^*\vec{t}[/tex]
Koeficijenti uz [tex]\vec{b}[/tex] se poklapaju; poređenjem koeficijenata uz [tex]\vec{t}[/tex] dobijamo
[tex]\varepsilon\tau^*=\frac{\kappa^2}{|\tau|}\Rightarrow \tau^*=\frac{\kappa^2}{\varepsilon|\tau|}=\frac{\kappa^2}{\tau}[/tex]
Time su oba tvrđenja dokazana.

Rešenje:
Uzmimo osu rotacije za [tex]Oz[/tex], a [tex]O[/tex] za koordinatni početak, i stavimo [tex]c=\sqrt{a^2-b^2}\gt 0[/tex]. Tada je
[tex]T:\ \left(\sqrt{x^2+y^2}-a\right)^2+z^2=b^2[/tex]
Položaj ravni [tex]\Pi[/tex]. Za [tex]P\in T[/tex] neka je [tex]Q[/tex] centar meridijanske kružnice kroz [tex]P[/tex] ([tex]Q[/tex] leži na kružnici [tex]x^2+y^2=a^2,\ z=0[/tex]). Tangente na meridijan i na paralelu kroz [tex]P[/tex] normalne su na [tex]QP[/tex], pa je [tex]QP[/tex] normala torusa [tex]T[/tex] u tački [tex]P[/tex], i [tex]|QP|=b[/tex].
Ravan [tex]z=0[/tex] ne dodiruje [tex]T[/tex] ([tex]QP[/tex] je vertikalna samo u najvišim i najnižim tačkama meridijana, koje nisu u toj ravni). Dakle, [tex]\Pi[/tex] seče [tex]z=0[/tex] po pravoj kroz [tex]O[/tex]; posle rotacije oko [tex]Oz[/tex] (koja preslikava [tex]T[/tex] u sebe) ta prava je [tex]Oy[/tex], i
[tex]\Pi:\ \alpha x+\gamma z=0,\quad \alpha\ne 0[/tex]
Ako [tex]\Pi[/tex] dodiruje [tex]T[/tex] u tački [tex]P[/tex], onda je [tex]QP\perp\Pi[/tex], tj. [tex]\overrightarrow{QP}\parallel\left(\alpha ; 0 ; \gamma\right)[/tex]. Ali [tex]\overrightarrow{QP}[/tex] leži u meridijanskoj ravni kroz [tex]Q=\left(a\cos\varphi ; a\sin \varphi ; 0\right)[/tex], razapetoj vektorima [tex]\left(\cos\varphi ; \sin \varphi ; 0\right)[/tex] i [tex]\left(0 ; 0 ; 1\right)[/tex]; pošto je [tex]\alpha\ne 0[/tex], odatle je [tex]\sin \varphi=0[/tex], tj. [tex]Q=\left(\pm a ; 0 ; 0\right)[/tex]. Osim toga, rastojanje od [tex]Q[/tex] do [tex]\Pi[/tex] jednako je [tex]|QP|=b[/tex]:
[tex]\frac{|\alpha|a}{\sqrt{\alpha^2+\gamma^2}}=b\iff \gamma^2b^2=\alpha^2\left(a^2-b^2\right)\iff \gamma=\pm\frac{c}{b}\alpha[/tex]
Dakle, [tex]\Pi:\ bx\mp cz=0[/tex]; pošto simetrija [tex]z\to -z[/tex] preslikava [tex]T[/tex] u sebe, možemo smatrati da je [tex]\Pi:\ bx-cz=0[/tex].
Jednačina torusa [tex]T[/tex]. Razvijanjem i korišćenjem [tex]a^2-b^2=c^2[/tex] dobijamo (kvadriranje je ekvivalentna transformacija, jer je leva strana pozitivna):
[tex]T:\ x^2+y^2+z^2+c^2=2a\sqrt{x^2+y^2}\iff\left(x^2+y^2+z^2+c^2\right)^2=4a^2\left(x^2+y^2\right)[/tex]
Rastavljanje na činioce. Neka je [tex]\rho=x^2+y^2+z^2[/tex]. Koristeći [tex]a^2=b^2+c^2[/tex], dobijamo
[tex]\left(x^2+(y+b)^2+z^2-a^2\right)\left(x^2+(y-b)^2+z^2-a^2\right)=\left(\rho-c^2+2by\right)\left(\rho-c^2-2by\right)=\left(\rho-c^2\right)^2-4b^2y^2[/tex]
a neposredna provera (razlika dve strane je [tex]4c^2\rho-4c^2\left(x^2+y^2\right)-4c^2z^2=0[/tex]) daje
[tex]\left(\rho+c^2\right)^2-4a^2\left(x^2+y^2\right)=\left(\rho-c^2\right)^2-4b^2y^2-4\left(b^2x^2-c^2z^2\right)[/tex]
[tex]\left(\rho+c^2\right)^2-4a^2\left(x^2+y^2\right)=\left(x^2+(y+b)^2+z^2-a^2\right)\left(x^2+(y-b)^2+z^2-a^2\right)-4(bx-cz)(bx+cz)[/tex]
Za tačke ravni [tex]\Pi[/tex] važi [tex]bx-cz=0[/tex], pa takva tačka leži na [tex]T[/tex] ako i samo ako leži na jednoj od sfera
[tex]S_1:\ x^2+(y+b)^2+z^2=a^2,\qquad S_2:\ x^2+(y-b)^2+z^2=a^2[/tex]
Dakle, [tex]T\cap\Pi=\left(S_1\cap\Pi\right)\cup\left(S_2\cap\Pi\right)[/tex]. Centri sfera [tex]\left(0 ; \mp b ; 0\right)[/tex] leže u [tex]\Pi[/tex], pa je svaki od preseka velika kružnica poluprečnika [tex]a[/tex]. Prema tome, presek torusa ravni [tex]\Pi[/tex] sastoji se od dve kružnice poluprečnika [tex]a[/tex] (Vilarsoove kružnice).