Найдите множество абсцисс общих точек графиков функций [tex]F(x)=4\left(1-\frac{x}{x(x+1)}+\frac{1}{x}-\frac{x}{x+1}\right)[/tex] и [tex]G(x)=\left(\frac{1}{x(x+1)}+\frac{x+3}{x}\right):\left(\frac{x+2}{2}\right)^2[/tex].
Решение:
Области определения: [tex]F[/tex] определена при [tex]x\ne 0[/tex], [tex]x\ne -1[/tex]; для [tex]G[/tex] ещё и делитель [tex]\left(\frac{x+2}{2}\right)^2[/tex] должен быть отличен от нуля, поэтому дополнительно [tex]x\ne -2[/tex].
Упростим [tex]F[/tex]: так как [tex]\frac{x}{x(x+1)}=\frac{1}{x+1}[/tex], то
[tex]1-\frac{1}{x+1}+\frac{1}{x}-\frac{x}{x+1}=1+\frac{1}{x}-\frac{x+1}{x+1}=\frac{1}{x}\Rightarrow F(x)=\frac{4}{x}[/tex]
Упростим [tex]G[/tex]:
[tex]\frac{1}{x(x+1)}+\frac{x+3}{x}=\frac{1+(x+3)(x+1)}{x(x+1)}=\frac{x^2+4x+4}{x(x+1)}=\frac{(x+2)^2}{x(x+1)}[/tex]
[tex]G(x)=\frac{(x+2)^2}{x(x+1)}\cdot \frac{4}{(x+2)^2}=\frac{4}{x(x+1)},\quad x\ne -2[/tex]
Абсциссы общих точек удовлетворяют уравнению [tex]\frac{4}{x}=\frac{4}{x(x+1)}[/tex] при [tex]x\notin\{-2; -1; 0\}[/tex]. Умножив на [tex]x(x+1)\ne 0[/tex], получаем [tex]x+1=1[/tex], т.е. [tex]x=0[/tex], что недопустимо.
(Если не учитывать области определения, то после освобождения от знаменателей получится [tex]x(x+2)^2=0[/tex], но и [tex]x=0[/tex], и [tex]x=-2[/tex] не входят в область определения [tex]G[/tex].) Следовательно, графики не имеют общих точек и искомое множество пусто: [tex]\varnothing[/tex].
Меню
Лёгкий
Рациональные выражения