Линейные пространства и линейные операторы - очень сложные задачи с решениями

Решение:
Каждый однородный многочлен степени [tex]k[/tex] является линейной комбинацией одночленов
[tex]x_1^{a_1}x_2^{a_2}\ldots x_n^{a_n},\qquad a_i\in\mathbb{Z},\ a_i\ge 0,\qquad a_1+a_2+\ldots+a_n=k[/tex]
Различные одночлены линейно независимы (многочлен нулевой, только если все его коэффициенты равны нулю), поэтому эти одночлены образуют базис. Значит, размерность равна числу решений уравнения [tex]a_1+\ldots+a_n=k[/tex] в целых неотрицательных числах.
Посчитаем их методом «шаров и перегородок»: каждому решению соответствует ряд из [tex]k[/tex] шаров и [tex]n-1[/tex] перегородок, которые делят шары на [tex]n[/tex] групп размеров [tex]a_1,\ldots,a_n[/tex]. Такой ряд занимает [tex]n+k-1[/tex] мест и определяется выбором [tex]k[/tex] мест для шаров, поэтому размерность равна
[tex]\binom{n+k-1}{k}=\frac{(n+k-1)!}{k!\,(n-1)!}[/tex]
Проверка: при [tex]n=2,\ k=2[/tex] базис — [tex]x_1^2,\ x_1x_2,\ x_2^2[/tex] и [tex]\binom{3}{2}=3[/tex]. Заметим, что [tex]\binom{n+k}{k}[/tex] — размерность пространства всех многочленов степени не выше [tex]k[/tex], а не однородных.

Решение:
Условия — однородные линейные уравнения относительно [tex]n^2[/tex] значений [tex]f[/tex], поэтому решения образуют подпространство [tex]L[/tex]. Назовём [tex](n-2)^2[/tex] точек [tex](k,l)[/tex] с [tex]k,l\in\{2; \ldots; n-1\}[/tex] внутренними, а остальные точки — граничными. Число граничных точек равно
[tex]n^2-(n-2)^2=4n-4[/tex]
Пусть отображение [tex]R:L\to\mathbb{R}^{4n-4}[/tex] сопоставляет функции [tex]f[/tex] её значения в граничных точках; [tex]R[/tex] линейно. Покажем, что [tex]R[/tex] — изоморфизм.
Отображение [tex]R[/tex] инъективно. Пусть [tex]f\in L[/tex] равна нулю в граничных точках и [tex]M[/tex] — наибольшее значение [tex]f[/tex]. Предположим, что [tex]M\gt 0[/tex]; тогда оно достигается во внутренней точке [tex](k,l)[/tex]. В ней [tex]f(k,l)[/tex] — среднее арифметическое четырёх значений, каждое из которых [tex]\le M[/tex], поэтому все четыре равны [tex]M[/tex]; в частности, [tex]f(k+1,l)=M[/tex]. Повторяя рассуждение, двигаемся вправо со значением [tex]M[/tex], пока не дойдём до граничной точки [tex](n,l)[/tex], где [tex]f=0\lt M[/tex], — противоречие. Значит, [tex]M\le 0[/tex], т.е. [tex]f\le 0[/tex]; применив это к [tex]-f[/tex], получим [tex]f\ge 0[/tex], откуда [tex]f\equiv 0[/tex].
Отображение [tex]R[/tex] сюръективно. При заданных значениях в граничных точках перенесём их в правые части: условия превращаются в квадратную линейную систему из [tex](n-2)^2[/tex] уравнений относительно [tex](n-2)^2[/tex] внутренних значений. При нулевых граничных значениях она имеет только нулевое решение (по инъективности), поэтому её определитель отличен от нуля и система разрешима при любых правых частях.
Следовательно, [tex]R[/tex] — изоморфизм и
[tex]\dim L=4n-4[/tex]
Заметим, что четыре угловые точки [tex](1; 1)[/tex], [tex](1; n)[/tex], [tex](n; 1)[/tex], [tex](n; n)[/tex] не входят ни в одно условие, но их тоже нужно учитывать (если их забыть, получится [tex]4n-8[/tex]).

Решение:
В комплексном линейном пространстве [tex]M_n(\mathbb{C})[/tex] квадратных матриц порядка [tex]n[/tex] определим следующую функцию, где [tex]Y^*=\overline{Y}^{T}[/tex] — эрмитово сопряжённая к [tex]Y[/tex] матрица:
[tex]\langle X,Y\rangle=\operatorname{tr}(XY^*)=\sum_{i,j=1}^{n}x_{ij}\overline{y_{ij}}[/tex]
Это стандартное скалярное произведение в [tex]\mathbb{C}^{n^2}[/tex], применённое к элементам матриц, поэтому оно является скалярным произведением: линейно по [tex]X[/tex], [tex]\langle Y,X\rangle=\overline{\langle X,Y\rangle}[/tex] и [tex]\langle X,X\rangle=\sum_{i,j}|x_{ij}|^2\gt 0[/tex] при [tex]X\ne 0[/tex]. По неравенству Коши-Буняковского, справедливому в любом пространстве со скалярным произведением,
[tex]|\langle A,B\rangle|^2\le\langle A,A\rangle\cdot \langle B,B\rangle[/tex]
Так как [tex]A[/tex] и [tex]B[/tex] эрмитовы, [tex]A^*=A[/tex] и [tex]B^*=B[/tex], откуда
[tex]\langle A,B\rangle=\operatorname{tr}(AB^*)=\operatorname{tr}(AB),\qquad \langle A,A\rangle=\operatorname{tr}(A^2),\qquad \langle B,B\rangle=\operatorname{tr}(B^2)[/tex]
Подставив это в неравенство Коши-Буняковского, получаем требуемое неравенство:
[tex]\left|\operatorname{tr}(AB)\right|^2\le\operatorname{tr}(A^2)\cdot \operatorname{tr}(B^2)[/tex]
(Здесь [tex]\operatorname{tr}(A^2)=\sum_{i,j}|a_{ij}|^2\ge 0[/tex] — вещественное число. Равенство достигается тогда и только тогда, когда [tex]A[/tex] и [tex]B[/tex] линейно зависимы.)