Задачи на числовые последовательности - сложные задачи с решениями

Решение:
Дана рекуррентная формула:

$a_n + a_{n-1} = 2^n,\quad a_1 = 1,; a_2 = 1$

Перепишем её:
$a_n = 2^n - a_{n-1}$

Вычисляем последовательно:

$a_3 = 2^3 - a_2 = 8 - 1 = 7$
$a_4 = 2^4 - a_3 = 16 - 7 = 9$
$a_5 = 2^5 - a_4 = 32 - 9 = 23$
$a_6 = 2^6 - a_5 = 64 - 23 = 41$
$a_7 = 2^7 - a_6 = 128 - 41 = 87$
$a_8 = 2^8 - a_7 = 256 - 87 = 169$
$a_9 = 2^9 - a_8 = 512 - 169 = 343$
$a_{10} = 2^{10} - a_9 = 1024 - 343 = 681$
$a_{11} = 2^{11} - a_{10} = 2048 - 681 = 1367$

Ответ:
$a_{11} = 1367$

Решение:
Рекуррентное соотношение есть
[tex]a_{n+1}.a_n=a_n^2+1[/tex]
[tex]a_{n+1}=\frac{1}{a_n}+a_n[/tex]
[tex]a_{n+1}-a_n=\frac{1}{a_n}[/tex].
Достаточно доказать, что [tex]a_n>0[/tex] для любого n. Сделаем это с использованием метода математической индукции.
Для [tex]n=1[/tex]: [tex]a_1=1>0[/tex]
Для [tex]n=2[/tex]: [tex]a_2=a_1+\frac{1}{a_1}=1+1=2>0[/tex]
Предположим, что это справедливо для [tex]n=k[/tex], где k есть произвольное натуральное число. [tex]a_{k+1}=a_k+\frac{1}{a_k}[/tex], что есть суммой двух позитивных чисел и она больше нуля. Поэтому [tex]a_n > 0[/tex] для любого [tex]n[/tex].
[tex]a_{n+1}-a_n=\frac{1}{a_n}>0[/tex] для любого [tex]n[/tex], Поэтому последовательность возрастающая.