Задачи на числовые последовательности - сложные задачи с решениями

Решение:
Характеристическое уравнение для рекуррентного соотношение есть
[tex]r^2-(2+\sqrt{3})r+2\sqrt{3}[/tex]. Его корнями есть [tex]r_1=2[/tex] и [tex]r_2=\sqrt{3}[/tex]. Поэтому
[tex]a_n=c_1 \cdot 2^n+c_2 \cdot \sqrt{3}^n[/tex]
[tex]\begin{array}{|l}a_1=c_1 \cdot 2+c_2 \cdot \sqrt{3}=6+\sqrt{3}\\a_2=c_1 \cdot 4+c_2 \cdot 3=15 \end{array}[/tex]
[tex]\begin{array}{|l}c_1 \cdot 4+c_2 \cdot 2\sqrt{3}=12+2\sqrt{3}\\c_1 \cdot 4+c_2 \cdot 3=15 \end{array}[/tex], вычитая их, мы получаем
[tex]4c_1+2\sqrt{3} \cdot c_2-4c_1-3c_2=12+2\sqrt{3}-15[/tex], или [tex](2\sqrt{3}-3) \cdot c_2=2\sqrt{3}-3[/tex], поэтому [tex]c_2=1[/tex]. Тогда [tex]c_1=\frac{6+\sqrt{3}-c_2\sqrt{3}}{2}=\frac{6}{2}=3[/tex] и
[tex]a_n=3 \cdot 2^n+\sqrt{3}^n[/tex]. Учитывая, что [tex]n=8[/tex], мы получаем
[tex]a_8=3 \cdot 2^8+\sqrt{3}^8=3 \cdot 256+3^4=768+81=849[/tex]

Решение:
Характеристическое уравнение рекуррентного соотношения есть
[tex]r^2-4r+4=0[/tex], с двойным корнем [tex]r_{1,2}=2[/tex]. Поэтому [tex]a_n[/tex] имеет вид
[tex]a_n=c_1 \cdot 2^n+c_2 \cdot n \cdot 2^n=(c_1+c_2n) \cdot 2^n[/tex]. Мы вычисляем их для [tex]n=1;2[/tex]:
[tex]\begin{array}{|l}a_1=(c_1+c_2) \cdot 2=3\\(c_1+2c_2) \cdot 4=7 \end{array}[/tex]
[tex]\begin{array}{|l}c_1+c_2=\frac{6}{4}\\c_1+2c_2=\frac{7}{4}\end{array}[/tex]. Вычитаем их чтобы получить
[tex]c_2=\frac{7}{4}-\frac{6}{4}=\frac{1}{4}[/tex]. [tex]c_1=\frac{6}{4}-c_2=\frac{5}{4}[/tex] и
[tex]a_n=(\frac{1}{4}n+\frac{5}{4}) \cdot 2^n=(n+5) \cdot 2^{n-2}[/tex]. Заменяя [tex]n[/tex] на 7, мы получаем
[tex]a_7=(7+5) \cdot 2^{7-2}=12 \cdot 2^5=12 \cdot 32=384[/tex]

Решение:
[tex]a_{n+1}-a_n=3^{n+1}-5^{n+1}+\frac{1}{n+1}-(3^n-5^n+\frac{1}{n})=3 \cdot 3^n-5 \cdot 5^n+\frac{1}{n+1}-3^n+5^n-\frac{1}{n}=(2 \cdot 3^n-4 \cdot 5^n)+(\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n})[/tex].
[tex]\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n}=\frac{n-(n+1)}{n(n+1)}=-\frac{1}{n+1}<0[/tex].
[tex]2 \cdot 3^n-4 \cdot 5^n=2 \cdot 3^n-2 \cdot 5^n-2 \cdot 5^n=2 \cdot (3^n-5^n)-5^n < 2 \cdot (3^n-5^n)<0[/tex], так как для положительного [tex]n[/tex] [tex]5^n>3^n[/tex].
Сумма этих двух отрицательных выражений представляет собой разницу между членами последовательности, поэтому последовательность есть уменьшающаяся.

Решение:
Запишем рекуррентное соотношение, как [tex]a_{n+2}-a_{n+1}=a_n[/tex]. Если [tex]a_n[/tex] были бы положительными для любого [tex]n[/tex], тогда [tex]a_{n+2}-a_{n+1}>0[/tex] - и это разница между двумя соседними членами последовательности. Мы докажем, что [tex]a_n>0[/tex] для любого [tex]n[/tex] с (сильной) индукцией.
Для [tex]n=1[/tex]: [tex]a_1=1[/tex] и оно есть положительно.
Для [tex]n=2[/tex]: [tex]a_2=1[/tex] и оно есть положительно.
Предположим, что для [tex]n \le k[/tex], где [tex]k[/tex] есть любое натуральное число, [tex]a_n[/tex] есть положительно. [tex]a_{k+1}=a_k+a_{k-1}[/tex] и и по предположению индукции и [tex]a_k[/tex] и [tex]a_{k-1}[/tex] положительно. Поэтому [tex]a_n>0[/tex] для любого [tex]n[/tex] и так как [tex]a_{n+2}-a_{n+1}=a_n>0[/tex], положительна, последовательность увеличивающаяся.

Решение:
Запишем члены в виде дробей: [tex]\dfrac{8}{-1}; \dfrac{11}{1}; \dfrac{14}{3}; \dfrac{17}{5}[/tex].
Числители [tex]8; 11; 14; 17[/tex] увеличиваются на [tex]3[/tex], поэтому равны [tex]3n+5[/tex]; знаменатели [tex]-1; 1; 3; 5[/tex] увеличиваются на [tex]2[/tex], поэтому равны [tex]2n-3[/tex]. Значит, [tex]a_{n}=\dfrac{3n+5}{2n-3}[/tex].

Решение:
Разности равны [tex]1; 3; 5; \ldots[/tex] – арифметическая прогрессия с первым членом [tex]1[/tex] и разностью [tex]2[/tex]. Поэтому
[tex]a_{n}=a_{1}+\left(1+3+\ldots+(2n-3)\right)=2+(n-1)^{2}=n^{2}-2n+3[/tex]
Проверка: [tex]a_{4}=16-8+3=11[/tex].

Решение:
Каждый день остаётся [tex]\dfrac{1}{2}; \dfrac{2}{3}; \dfrac{3}{4}; \ldots[/tex] предыдущего остатка, поэтому через [tex]n[/tex] дней остаётся часть пути
[tex]\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{2}{3}\cdot \ldots\cdot \dfrac{n}{n+1}=\dfrac{1}{n+1}[/tex]
Через [tex]4[/tex] дня остаётся [tex]\dfrac{720}{5}=144[/tex] км, а через [tex]5[/tex] дней – [tex]\dfrac{720}{6}=120[/tex] км. В пятый день змей преодолел [tex]144-120=24[/tex] км.

Решение:
Члены: [tex]2; 3; 6; 8; 8; 4; 2; 8; 6; 8; 8; 4; 2; 8; \ldots[/tex].
Так как [tex]a_{9}=a_{3}[/tex] и [tex]a_{10}=a_{4}[/tex], а каждый член зависит только от двух предыдущих, [tex]a_{n+6}=a_{n}[/tex] при [tex]n\ge 3[/tex]. Поскольку [tex]2017-7=2010[/tex] делится на [tex]6[/tex], [tex]a_{2017}=a_{7}=2[/tex].

Решение:
[tex]a_{n+1}-a_{n}=\dfrac{(n+1)^{2}}{3^{n+1}}-\dfrac{3n^{2}}{3^{n+1}}=\dfrac{-2n^{2}+2n+1}{3^{n+1}}[/tex]
При [tex]n=1[/tex] разность положительна ([tex]a_{1}=\dfrac{1}{3}\lt a_{2}=\dfrac{4}{9}[/tex]), а при [tex]n\ge 2[/tex] – отрицательна ([tex]a_{3}=\dfrac{1}{3}\lt a_{2}[/tex]). Последовательность сначала возрастает, а затем убывает, поэтому она не монотонна.

Решение:
[tex]a_{n+1}-a_{n}=\dfrac{p(n+1)-1}{n+2}-\dfrac{pn-1}{n+1}=\dfrac{(pn+p-1)(n+1)-(pn-1)(n+2)}{(n+1)(n+2)}=\dfrac{p+1}{(n+1)(n+2)}[/tex]
Знаменатель положителен, поэтому последовательность строго возрастает ровно при [tex]p+1\gt 0[/tex], т.е. [tex]p\gt -1[/tex].

Решение:
[tex]0\lt x_{n}=\dfrac{5n^{2}}{n^{2}+3}\lt\dfrac{5n^{2}}{n^{2}}=5[/tex]
[tex]|y_{n}|=\dfrac{2n}{n+1}|\sin n|\lt 2[/tex]
Так как [tex]\cos(\pi n)=(-1)^{n}[/tex], имеем [tex]z_{n}=(-1)^{n}n; |z_{n}|=n[/tex], что неограниченно растёт. Ограничены только [tex]x_{n}[/tex] и [tex]y_{n}[/tex].

Решение:
Заметим, что [tex]k\cdot k!=(k+1)\cdot k!-k!=(k+1)!-k![/tex], поэтому сумма сворачивается:
[tex](2!-1!)+(3!-2!)+\ldots+(100!-99!)=100!-1[/tex]

Решение:
Используем [tex]\dfrac{1}{k(k+1)(k+2)}=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{k(k+1)}-\dfrac{1}{(k+1)(k+2)}\right)[/tex]. Сложим эти равенства при [tex]k=1; 2; \ldots; n[/tex] – средние слагаемые сократятся:
[tex]\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{(n+1)(n+2)}\right)=\dfrac{(n+1)(n+2)-2}{4(n+1)(n+2)}=\dfrac{n(n+3)}{4(n+1)(n+2)}[/tex]

Решение:
Избавимся от иррациональности в знаменателе: [tex]\dfrac{1}{\sqrt{a_{k}}+\sqrt{a_{k+1}}}=\dfrac{\sqrt{a_{k+1}}-\sqrt{a_{k}}}{a_{k+1}-a_{k}}=\dfrac{\sqrt{a_{k+1}}-\sqrt{a_{k}}}{d}[/tex]. Сумма сворачивается:
[tex]A=\dfrac{\sqrt{a_{n}}-\sqrt{a_{1}}}{d}=\dfrac{a_{n}-a_{1}}{d\left(\sqrt{a_{1}}+\sqrt{a_{n}}\right)}=\dfrac{(n-1)d}{d\left(\sqrt{a_{1}}+\sqrt{a_{n}}\right)}=\dfrac{n-1}{\sqrt{a_{1}}+\sqrt{a_{n}}}[/tex]

Решение:
Применим правило дважды: [tex]x_{k+2}=\dfrac{\frac{x_{k}-1}{x_{k}+1}-1}{\frac{x_{k}-1}{x_{k}+1}+1}=\dfrac{-2}{2x_{k}}=-\dfrac{1}{x_{k}}[/tex].
Тогда [tex]x_{k+4}=-\dfrac{1}{x_{k+2}}=x_{k}[/tex], т.е. последовательность периодична с периодом [tex]4[/tex]. Так как [tex]2010=4\cdot 502+2[/tex], [tex]x_{2010}=x_{2}[/tex]:
[tex]x_{2}=\dfrac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1}=(\sqrt{2}-1)^{2}=3-2\sqrt{2}[/tex]

Решение:
Обозначим значение через [tex]x[/tex]; очевидно [tex]x\gt 2[/tex]. После первых [tex]2[/tex] и [tex]3[/tex] снова появляется то же выражение, поэтому [tex]x=2+\dfrac{1}{3+\frac{1}{x}}=2+\dfrac{x}{3x+1}[/tex].
[tex]3x^{2}+x=6x+2+x\iff 3x^{2}-6x-2=0\iff x=\dfrac{3\pm\sqrt{15}}{3}[/tex]
Так как [tex]x\gt 0[/tex], [tex]x=\dfrac{3+\sqrt{15}}{3}\approx 2{,} 291[/tex].

Решение:
Имеем [tex]\dfrac{n^{2}-3n+2}{n^{2}+3n+2}=1+t_{n}[/tex], где [tex]t_{n}=-\dfrac{6n}{n^{2}+3n+2}\to 0[/tex]. Тогда
[tex](1+t_{n})^{n}=\left[(1+t_{n})^{\frac{1}{t_{n}}}\right]^{nt_{n}}; (1+t_{n})^{\frac{1}{t_{n}}}\to e; nt_{n}=-\dfrac{6n^{2}}{n^{2}+3n+2}\to -6[/tex]
Значит, предел равен [tex]e^{-6}[/tex].

Решение:
Используем [tex]a-b=\dfrac{a^{3}-b^{3}}{a^{2}+ab+b^{2}}[/tex] при [tex]a=\sqrt[3]{n^{3}+1}[/tex] и [tex]b=n[/tex]; здесь [tex]a^{3}-b^{3}=1[/tex]:
[tex]n^{2}\left(\sqrt[3]{n^{3}+1}-n\right)=\dfrac{n^{2}}{\sqrt[3]{(n^{3}+1)^{2}}+n\sqrt[3]{n^{3}+1}+n^{2}}=\dfrac{1}{\sqrt[3]{\left(1+\frac{1}{n^{3}}\right)^{2}}+\sqrt[3]{1+\frac{1}{n^{3}}}+1}\to\dfrac{1}{3}[/tex]

Решение:
В сумме [tex]n[/tex] слагаемых, каждое из которых лежит между [tex]\dfrac{1}{\sqrt{n^{2}+n}}[/tex] и [tex]\dfrac{1}{\sqrt{n^{2}+1}}[/tex]. Поэтому
[tex]\dfrac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{n}}}=\dfrac{n}{\sqrt{n^{2}+n}}\le c_{n}\le\dfrac{n}{\sqrt{n^{2}+1}}=\dfrac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{n^{2}}}}[/tex]
Обе оценки стремятся к [tex]1[/tex], поэтому по теореме о двух милиционерах [tex]\lim\limits_{n\to\infty}c_{n}=1[/tex].

Решение:
Предел [tex]L[/tex] должен удовлетворять условию [tex]L^{3}=260L+1919[/tex]. Так как
[tex]L^{3}-260L-1919=(L-19)(L^{2}+19L+101)[/tex]
а квадратный множитель не имеет действительных корней, [tex]L=19[/tex]. Если [tex]x_{n}\gt 19[/tex], то [tex]x_{n+1}^{3}=260x_{n}+1919\gt 260\cdot 19+1919=19^{3}[/tex], т.е. [tex]x_{n+1}\gt 19[/tex]. Кроме того, [tex]x_{n}^{3}-x_{n+1}^{3}=(x_{n}-19)(x_{n}^{2}+19x_{n}+101)\gt 0[/tex], т.е. [tex]x_{n+1}\lt x_{n}[/tex]. Последовательность убывает и ограничена снизу числом [tex]19[/tex], поэтому сходится к [tex]19[/tex].

Решение:
При [tex]x=0[/tex] числитель равен [tex]0[/tex], поэтому [tex]x\ne 0[/tex]. Разделим числитель и знаменатель на [tex]n^{x-1}[/tex]:
[tex]n\left(1-\left(1-\dfrac{1}{n}\right)^{x}\right)\to x; \left(1+\dfrac{20}{n}\right)^{x-1}+\left(1+\dfrac{19}{n}\right)^{x-1}\to 2[/tex]
(так как [tex]\left(1-\dfrac{1}{n}\right)^{x}=1-\dfrac{x}{n}+\ldots[/tex]). Значит, предел равен [tex]\dfrac{x}{2}=2019[/tex], и [tex]x=4038[/tex].