Brojevni nizovi - zadaci sa rešenjima

Rešenje:
[tex]a_{n+1}-a_n=0[/tex] znači da [tex]a_{n+1}=a_n[/tex], dakle [tex]137=a_1=a_2=a_3=...=a_{8999}[/tex]

Rešenje:
Rekurentna relacija je [tex]a_{n+2}-2a_{n+1}+a_n=0[/tex] i njena karakteristična jednačina je
[tex]r^2-2r+1=0[/tex] sa dvostrukim korenom [tex]r_{1,2}=1[/tex]. To znači da [tex]a_n=c_1 \cdot 1^n+c_2 \cdot n \cdot 1^n=c_1+n \cdot c_2[/tex]. Ali svaki niz čija je eksplicitna formula člana linearna funkcija je aritmetička progresija. Dakle [tex]a_n[/tex] je aritmetička progresija, definisana sa [tex]a_1=4[/tex] i [tex]d=a_2-a_1=6-4=2[/tex]. Onda [tex]a_{15}=a_1+14 \cdot d=4+14 \cdot 2=32[/tex]

Rešenje:
[tex]a_{19}=\frac{4 \cdot 19-1}{19}=\frac{75}{19}[/tex]

Rešenje:
[tex]x_2=\frac{2 \cdot 2+8}{4+3 \cdot 2}=\frac{12}{10}=\frac{6}{5}[/tex]

Rešenje:
[tex]a_5==-3+2^5+5^{5-3}=-3+32+5^2=29+25=54[/tex]

Rešenje:
[tex]a_{n+1}-a_n=2^{n+1}+n+1-(2^n+n)=2 \cdot 2^n+n+1-2^n-n=2^n+1>0[/tex], pa je niz rastući.

Rešenje:
Zamenimo [tex]n=1; 2; 3[/tex] u svaku formulu:
[tex]5-3n:\quad 5-3=2; 5-6=-1; 5-9=-4[/tex]
Za [tex]5-3n^{2}[/tex] dobijamo [tex]a_{2}=-7[/tex]; za [tex]n^{2}-6n+7[/tex] – [tex]a_{3}=-2[/tex]; za [tex]2n^{2}-5n+1[/tex] – [tex]a_{1}=-2[/tex]. Odgovara samo [tex]a_{n}=5-3n[/tex].

Rešenje:
[tex]a_{2}=3a_{1}+1=-3+1=-2[/tex]
[tex]a_{3}=3a_{2}+2=-6+2=-4[/tex]
[tex]a_{1}a_{2}a_{3}=(-1)(-2)(-4)=-8[/tex]

Rešenje:
[tex]2n^{2}-17n=-21\iff 2n^{2}-17n+21=0\iff n=\dfrac{17\pm 11}{4}[/tex]
Dakle, [tex]n=7[/tex] ili [tex]n=\dfrac{3}{2}[/tex]. Redni broj je prirodan broj, pa je [tex]n=7[/tex]. Provera: [tex]a_{7}=98-119=-21[/tex].

Rešenje:
Sabiranjem jednakosti [tex]a_{2}=a_{1}+2; \ldots; a_{n}=a_{n-1}+n[/tex] dobijamo [tex]a_{n}=1+2+3+\ldots+n=\dfrac{n(n+1)}{2}[/tex].
[tex]a_{35}=\dfrac{35\cdot 36}{2}=630[/tex]

Rešenje:
Poslednje pojavljivanje broja [tex]k[/tex] je na mestu [tex]1+2+\ldots+k=\dfrac{k(k+1)}{2}[/tex].
[tex]k=44:\ 990; k=45:\ 1035; 990\lt 1000\le 1035[/tex]
Dakle, hiljaditi član je u grupi broja [tex]45[/tex]: [tex]a_{1000}=45[/tex].

Rešenje:
[tex]a_{1}=S_{1}=9[/tex]. Za [tex]n\ge 2[/tex]:
[tex]a_{n}=S_{n}-S_{n-1}=4n^{2}-4(n-1)^{2}=8n-4[/tex]
Formula [tex]8n-4[/tex] za [tex]n=1[/tex] daje [tex]4\ne 9[/tex], pa se prvi član zapisuje posebno (niz nije aritmetička progresija).

Rešenje:
Slojevi sadrže [tex]10^{2}; 9^{2}; \ldots; 1^{2}[/tex] kuglica. Koristimo formulu
[tex]1^{2}+2^{2}+\ldots+n^{2}=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}[/tex]
[tex]n=10:\ \dfrac{10\cdot 11\cdot 21}{6}=385[/tex]

Rešenje:
Delimo brojilac i imenilac sa [tex]7^{n}[/tex]:
[tex]\dfrac{\left(\frac{2}{7}\right)^{n}+1}{\left(\frac{2}{7}\right)^{n}-\frac{1}{7}}\to\dfrac{0+1}{0-\frac{1}{7}}=-7[/tex]

Rešenje:
Po binomnoj formuli je [tex](n+1)^{7}-n^{7}=7n^{6}+21n^{5}+\ldots+1[/tex] – polinom stepena [tex]6[/tex].
Brojilac [tex](n+1)^{6}=n^{6}+6n^{5}+\ldots+1[/tex] je takođe stepena [tex]6[/tex], pa je granična vrednost jednaka količniku vodećih koeficijenata: [tex]\dfrac{1}{7}[/tex].

Rešenje:
[tex]1+2+\ldots+n=\dfrac{n(n+1)}{2}[/tex]
[tex]\dfrac{n(n+1)}{2(n+2)}-\dfrac{n}{2}=\dfrac{n^{2}+n-n^{2}-2n}{2(n+2)}=\dfrac{-n}{2(n+2)}=\dfrac{-1}{2\left(1+\frac{2}{n}\right)}\to -\dfrac{1}{2}[/tex]

Rešenje:
Množimo i delimo konjugovanim izrazom [tex]\sqrt{5n^{2}+2n}+\sqrt{5n^{2}-2n}[/tex]:
[tex]\dfrac{(5n^{2}+2n)-(5n^{2}-2n)}{\sqrt{5n^{2}+2n}+\sqrt{5n^{2}-2n}}=\dfrac{4}{\sqrt{5+\frac{2}{n}}+\sqrt{5-\frac{2}{n}}}\to\dfrac{4}{2\sqrt{5}}=\dfrac{2\sqrt{5}}{5}[/tex]