Brojevni nizovi - teški zadaci sa rešenjima

Rešenje:
Karakteristična jednačina za ponavljajuću relaciju je
[tex]r^2-(2+\sqrt{3})r+2\sqrt{3}[/tex]. Njeni koreni su [tex]r_1=2[/tex] i [tex]r_2=\sqrt{3}[/tex]. Dakle
[tex]a_n=c_1 \cdot 2^n+c_2 \cdot \sqrt{3}^n[/tex]
[tex]\begin{array}{|l}a_1=c_1 \cdot 2+c_2 \cdot \sqrt{3}=6+\sqrt{3}\\a_2=c_1 \cdot 4+c_2 \cdot 3=15 \end{array}[/tex]

Rešenje:
Karakteristična jednačina ponavljajuće relacije je
[tex]r^2-4r+4=0[/tex], sa dvostrukim korenom [tex]r_{1,2}=2[/tex]. Dakle [tex]a_n[/tex] ima oblik
[tex]a_n=c_1 \cdot 2^n+c_2 \cdot n \cdot 2^n=(c_1+c_2n) \cdot 2^n[/tex]. Računamo ih za [tex]n=1;2[/tex]:
[tex]\begin{array}{|l}a_1=(c_1+c_2) \cdot 2=3\\(c_1+2c_2) \cdot 4=7 \end{array}[/tex]
[tex]\begin{array}{|l}c_1+c_2=\frac{6}{4}\\c_1+2c_2=\frac{7}{4}\end{array}[/tex]. Oduzmemo ih da bismo dobili
[tex]c_2=\frac{7}{4}-\frac{6}{4}=\frac{1}{4}[/tex]. [tex]c_1=\frac{6}{4}-c_2=\frac{5}{4}[/tex] i
[tex]a_n=(\frac{1}{4}n+\frac{5}{4}) \cdot 2^n=(n+5) \cdot 2^{n-2}[/tex]. Zamenjivanjem [tex]n[/tex] sa 7, dobijemo
[tex]a_7=(7+5) \cdot 2^{7-2}=12 \cdot 2^5=12 \cdot 32=384[/tex]

Rešenje:
[tex]a_{n+1}-a_n=3^{n+1}-5^{n+1}+\frac{1}{n+1}-(3^n-5^n+\frac{1}{n})=3 \cdot 3^n-5 \cdot 5^n+\frac{1}{n+1}-3^n+5^n-\frac{1}{n}=(2 \cdot 3^n-4 \cdot 5^n)+(\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n})[/tex].
[tex]\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n}=\frac{n-(n+1)}{n(n+1)}=-\frac{1}{n+1}<0[/tex].
[tex]2 \cdot 3^n-4 \cdot 5^n=2 \cdot 3^n-2 \cdot 5^n-2 \cdot 5^n=2 \cdot (3^n-5^n)-5^n < 2 \cdot (3^n-5^n)<0[/tex], dakle, za pozitivni [tex]n[/tex] [tex]5^n>3^n[/tex].
Zbir ova dva negativna izraza je razlika između članova niza, stoga je opadajući.

Rešenje:
Zapišimo rekurentnu formulu kao [tex]a_{n+2}-a_{n+1}=a_n[/tex]. Ako je [tex]a_n[/tex] pozitivno za bilo koje [tex]n[/tex], onda je [tex]a_{n+2}-a_{n+1}>0[/tex] - i to je razlika između dva uzastupna člana niza. Dokazaćemo da je [tex]a_n>0[/tex] za svako [tex]n[/tex] pomoću (jake) indukcije.
Za [tex]n=1[/tex]: [tex]a_1=1[/tex] je pozitivno.
Za [tex]n=2[/tex]: [tex]a_2=1[/tex] je pozitivno.
Pretpostavimo da za [tex]n \le k[/tex], gde je [tex]k[/tex] proizvoljan pozitivan broj, [tex]a_n[/tex] je pozitivan. [tex]a_{k+1}=a_k+a_{k-1}[/tex] i pomoću indukcione hipoteze vidimo da su [tex]a_k[/tex] i [tex]a_{k-1}[/tex] pozitivni. Dakle [tex]a_n>0[/tex] za svako [tex]n[/tex] i pošto je [tex]a_{n+2}-a_{n+1}=a_n>0[/tex], niz je rastući.

Rešenje:
Zapišimo članove kao razlomke: [tex]\dfrac{8}{-1}; \dfrac{11}{1}; \dfrac{14}{3}; \dfrac{17}{5}[/tex].
Brojioci [tex]8; 11; 14; 17[/tex] rastu za [tex]3[/tex], pa su jednaki [tex]3n+5[/tex]; imenioci [tex]-1; 1; 3; 5[/tex] rastu za [tex]2[/tex], pa su jednaki [tex]2n-3[/tex]. Dakle, [tex]a_{n}=\dfrac{3n+5}{2n-3}[/tex].

Rešenje:
Razlike su [tex]1; 3; 5; \ldots[/tex] – aritmetička progresija sa prvim članom [tex]1[/tex] i razlikom [tex]2[/tex]. Zato je
[tex]a_{n}=a_{1}+\left(1+3+\ldots+(2n-3)\right)=2+(n-1)^{2}=n^{2}-2n+3[/tex]
Provera: [tex]a_{4}=16-8+3=11[/tex].

Rešenje:
Svakog dana ostaje [tex]\dfrac{1}{2}; \dfrac{2}{3}; \dfrac{3}{4}; \ldots[/tex] prethodnog ostatka, pa posle [tex]n[/tex] dana ostaje deo puta
[tex]\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{2}{3}\cdot \ldots\cdot \dfrac{n}{n+1}=\dfrac{1}{n+1}[/tex]
Posle [tex]4[/tex] dana ostaje [tex]\dfrac{720}{5}=144[/tex] km, a posle [tex]5[/tex] dana [tex]\dfrac{720}{6}=120[/tex] km. Petog dana zmaj je prešao [tex]144-120=24[/tex] km.

Rešenje:
Članovi su [tex]2; 3; 6; 8; 8; 4; 2; 8; 6; 8; 8; 4; 2; 8; \ldots[/tex].
Pošto je [tex]a_{9}=a_{3}[/tex] i [tex]a_{10}=a_{4}[/tex], a svaki član zavisi samo od prethodna dva, [tex]a_{n+6}=a_{n}[/tex] za [tex]n\ge 3[/tex]. Kako je [tex]2017-7=2010[/tex] deljivo sa [tex]6[/tex], [tex]a_{2017}=a_{7}=2[/tex].

Rešenje:
[tex]a_{n+1}-a_{n}=\dfrac{(n+1)^{2}}{3^{n+1}}-\dfrac{3n^{2}}{3^{n+1}}=\dfrac{-2n^{2}+2n+1}{3^{n+1}}[/tex]
Za [tex]n=1[/tex] razlika je pozitivna ([tex]a_{1}=\dfrac{1}{3}\lt a_{2}=\dfrac{4}{9}[/tex]), a za [tex]n\ge 2[/tex] negativna ([tex]a_{3}=\dfrac{1}{3}\lt a_{2}[/tex]). Niz najpre raste, a zatim opada, pa nije monoton.

Rešenje:
[tex]a_{n+1}-a_{n}=\dfrac{p(n+1)-1}{n+2}-\dfrac{pn-1}{n+1}=\dfrac{(pn+p-1)(n+1)-(pn-1)(n+2)}{(n+1)(n+2)}=\dfrac{p+1}{(n+1)(n+2)}[/tex]
Imenilac je pozitivan, pa je niz strogo rastući tačno kada je [tex]p+1\gt 0[/tex], tj. [tex]p\gt -1[/tex].

Rešenje:
[tex]0\lt x_{n}=\dfrac{5n^{2}}{n^{2}+3}\lt\dfrac{5n^{2}}{n^{2}}=5[/tex]
[tex]|y_{n}|=\dfrac{2n}{n+1}|\sin n|\lt 2[/tex]
Pošto je [tex]\cos(\pi n)=(-1)^{n}[/tex], važi [tex]z_{n}=(-1)^{n}n; |z_{n}|=n[/tex], što neograničeno raste. Ograničeni su samo [tex]x_{n}[/tex] i [tex]y_{n}[/tex].

Rešenje:
Primetimo da je [tex]k\cdot k!=(k+1)\cdot k!-k!=(k+1)!-k![/tex], pa se zbir skraćuje:
[tex](2!-1!)+(3!-2!)+\ldots+(100!-99!)=100!-1[/tex]

Rešenje:
Koristimo [tex]\dfrac{1}{k(k+1)(k+2)}=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{k(k+1)}-\dfrac{1}{(k+1)(k+2)}\right)[/tex]. Sabiranjem ovih jednakosti za [tex]k=1; 2; \ldots; n[/tex] srednji članovi se poništavaju:
[tex]\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{(n+1)(n+2)}\right)=\dfrac{(n+1)(n+2)-2}{4(n+1)(n+2)}=\dfrac{n(n+3)}{4(n+1)(n+2)}[/tex]

Rešenje:
Racionališemo svaki razlomak: [tex]\dfrac{1}{\sqrt{a_{k}}+\sqrt{a_{k+1}}}=\dfrac{\sqrt{a_{k+1}}-\sqrt{a_{k}}}{a_{k+1}-a_{k}}=\dfrac{\sqrt{a_{k+1}}-\sqrt{a_{k}}}{d}[/tex]. Zbir se skraćuje:
[tex]A=\dfrac{\sqrt{a_{n}}-\sqrt{a_{1}}}{d}=\dfrac{a_{n}-a_{1}}{d\left(\sqrt{a_{1}}+\sqrt{a_{n}}\right)}=\dfrac{(n-1)d}{d\left(\sqrt{a_{1}}+\sqrt{a_{n}}\right)}=\dfrac{n-1}{\sqrt{a_{1}}+\sqrt{a_{n}}}[/tex]

Rešenje:
Primenimo pravilo dva puta: [tex]x_{k+2}=\dfrac{\frac{x_{k}-1}{x_{k}+1}-1}{\frac{x_{k}-1}{x_{k}+1}+1}=\dfrac{-2}{2x_{k}}=-\dfrac{1}{x_{k}}[/tex].
Tada je [tex]x_{k+4}=-\dfrac{1}{x_{k+2}}=x_{k}[/tex], pa je niz periodičan sa periodom [tex]4[/tex]. Pošto je [tex]2010=4\cdot 502+2[/tex], [tex]x_{2010}=x_{2}[/tex]:
[tex]x_{2}=\dfrac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1}=(\sqrt{2}-1)^{2}=3-2\sqrt{2}[/tex]

Rešenje:
Označimo vrednost sa [tex]x[/tex]; očigledno je [tex]x\gt 2[/tex]. Posle prvih [tex]2[/tex] i [tex]3[/tex] ponovo se pojavljuje isti izraz, pa je [tex]x=2+\dfrac{1}{3+\frac{1}{x}}=2+\dfrac{x}{3x+1}[/tex].
[tex]3x^{2}+x=6x+2+x\iff 3x^{2}-6x-2=0\iff x=\dfrac{3\pm\sqrt{15}}{3}[/tex]
Pošto je [tex]x\gt 0[/tex], [tex]x=\dfrac{3+\sqrt{15}}{3}\approx 2{,} 291[/tex].

Rešenje:
Važi [tex]\dfrac{n^{2}-3n+2}{n^{2}+3n+2}=1+t_{n}[/tex], gde je [tex]t_{n}=-\dfrac{6n}{n^{2}+3n+2}\to 0[/tex]. Tada je
[tex](1+t_{n})^{n}=\left[(1+t_{n})^{\frac{1}{t_{n}}}\right]^{nt_{n}}; (1+t_{n})^{\frac{1}{t_{n}}}\to e; nt_{n}=-\dfrac{6n^{2}}{n^{2}+3n+2}\to -6[/tex]
Dakle, granična vrednost je [tex]e^{-6}[/tex].

Rešenje:
Koristimo [tex]a-b=\dfrac{a^{3}-b^{3}}{a^{2}+ab+b^{2}}[/tex] za [tex]a=\sqrt[3]{n^{3}+1}[/tex] i [tex]b=n[/tex]; ovde je [tex]a^{3}-b^{3}=1[/tex]:
[tex]n^{2}\left(\sqrt[3]{n^{3}+1}-n\right)=\dfrac{n^{2}}{\sqrt[3]{(n^{3}+1)^{2}}+n\sqrt[3]{n^{3}+1}+n^{2}}=\dfrac{1}{\sqrt[3]{\left(1+\frac{1}{n^{3}}\right)^{2}}+\sqrt[3]{1+\frac{1}{n^{3}}}+1}\to\dfrac{1}{3}[/tex]

Rešenje:
Zbir ima [tex]n[/tex] sabiraka, od kojih je svaki između [tex]\dfrac{1}{\sqrt{n^{2}+n}}[/tex] i [tex]\dfrac{1}{\sqrt{n^{2}+1}}[/tex]. Zato je
[tex]\dfrac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{n}}}=\dfrac{n}{\sqrt{n^{2}+n}}\le c_{n}\le\dfrac{n}{\sqrt{n^{2}+1}}=\dfrac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{n^{2}}}}[/tex]
Obe granice teže ka [tex]1[/tex], pa je po teoremi o dva policajca [tex]\lim\limits_{n\to\infty}c_{n}=1[/tex].

Rešenje:
Granična vrednost [tex]L[/tex] mora zadovoljavati [tex]L^{3}=260L+1919[/tex]. Pošto je
[tex]L^{3}-260L-1919=(L-19)(L^{2}+19L+101)[/tex]
a kvadratni činilac nema realnih korena, [tex]L=19[/tex]. Ako je [tex]x_{n}\gt 19[/tex], onda je [tex]x_{n+1}^{3}=260x_{n}+1919\gt 260\cdot 19+1919=19^{3}[/tex], tj. [tex]x_{n+1}\gt 19[/tex]. Takođe je [tex]x_{n}^{3}-x_{n+1}^{3}=(x_{n}-19)(x_{n}^{2}+19x_{n}+101)\gt 0[/tex], tj. [tex]x_{n+1}\lt x_{n}[/tex]. Niz je opadajući i ograničen odozdo brojem [tex]19[/tex], pa konvergira ka [tex]19[/tex].

Rešenje:
Za [tex]x=0[/tex] brojilac je [tex]0[/tex], pa je [tex]x\ne 0[/tex]. Delimo brojilac i imenilac sa [tex]n^{x-1}[/tex]:
[tex]n\left(1-\left(1-\dfrac{1}{n}\right)^{x}\right)\to x; \left(1+\dfrac{20}{n}\right)^{x-1}+\left(1+\dfrac{19}{n}\right)^{x-1}\to 2[/tex]
(jer je [tex]\left(1-\dfrac{1}{n}\right)^{x}=1-\dfrac{x}{n}+\ldots[/tex]). Dakle, granična vrednost je [tex]\dfrac{x}{2}=2019[/tex] i [tex]x=4038[/tex].