Проценты - сложные задачи с решениями

Решение:
Если стороны были [tex]a[/tex] и [tex]b[/tex], то новые стороны равны [tex]1{,}2a[/tex] и [tex]0{,}9b[/tex]:
[tex]1{,}2a\cdot 0{,}9b=1{,}08ab[/tex]
Площадь становится равной [tex]108\%[/tex] первоначальной, т.е. увеличивается на [tex]8\%[/tex] (а не на [tex]20\%-10\%=10\%[/tex]).

Решение:
После каждого снижения на [tex]p\%[/tex] цена умножается на [tex]q=1-\frac{p}{100}[/tex]:
[tex]2000q^2=1280 \Rightarrow q^2=0{,}64 \Rightarrow q=0{,}8 \Rightarrow p=20[/tex]
Каждое снижение было на [tex]20\%[/tex]: [tex]2000\to 1600\to 1280[/tex]. ([tex]36\%[/tex] — это общее снижение.)

Решение:
Выручка = цена [tex]\cdot[/tex] число зрителей. Если цена была [tex]p[/tex], а число зрителей [tex]n[/tex], то новое число [tex]n_1[/tex] удовлетворяет условию:
[tex]0{,}8p\cdot n_1=p\cdot n \Rightarrow n_1=\dfrac{n}{0{,}8}=1{,}25n[/tex]
Число зрителей увеличилось на [tex]25\%[/tex].

Решение:
Сухое вещество не меняется. Сначала оно составляет [tex]100\%-97\%=3\%[/tex] от [tex]210[/tex]:
[tex]0{,}03\cdot 210=6{,}3[/tex]
Позже оно составляет [tex]9\%[/tex] новой массы [tex]x[/tex]:
[tex]0{,}09x=6{,}3 \Rightarrow x=70[/tex]
Удивительно, но масса уменьшилась втрое!

Решение:
Количество соли не меняется:
[tex]0{,}05\cdot 10=0{,}5[/tex]
После добавления [tex]x[/tex] литров она должна составлять [tex]2\%[/tex] от [tex]10+x[/tex]:
[tex]0{,}02(10+x)=0{,}5 \Rightarrow 10+x=25 \Rightarrow x=15[/tex]

Решение:
Пусть [tex]A[/tex] стоит [tex]x[/tex]; тогда [tex]B[/tex] стоит [tex]2x[/tex], а набор — [tex]3x[/tex]. Новая цена набора равна
[tex]1{,}4x+1{,}25\cdot 2x=1{,}4x+2{,}5x=3{,}9x[/tex]
[tex]\dfrac{3{,}9x}{3x}=1{,}3[/tex]
Набор дорожает на [tex]30\%[/tex]. (Не на среднее [tex]32{,}5\%[/tex], так как [tex]B[/tex] составляет большую часть цены.)

Решение:
Пусть задач было [tex]x[/tex]. После каждого дня остаётся:
[tex]x\to 0{,}6x\to 0{,}4\cdot 0{,}6x=0{,}24x\to 0{,}7\cdot 0{,}24x=0{,}168x[/tex]
[tex]0{,}168x=21 \Rightarrow x=125[/tex]
Проверка: [tex]125\to 75\to 30\to 21[/tex]

Решение:
Пусть у Марины было [tex]x[/tex]; тогда у Лины было [tex]200-x[/tex]. У Лины осталось [tex]40\%[/tex], а у Марины — [tex]20\%[/tex] денег:
[tex]0{,}4(200-x)+0{,}2x=50 \Rightarrow 80-0{,}2x=50 \Rightarrow x=150[/tex]
Проверка: [tex]0{,}4\cdot 50+0{,}2\cdot 150=20+30=50[/tex]

Решение:
Пусть сначала было [tex]n[/tex] учеников, т.е. [tex]\frac{2n}{3}[/tex] девочек. После ухода [tex]4[/tex] девочек:
[tex]\dfrac{2n}{3}-4=0{,}6(n-4)\ \Big|\cdot 15[/tex]
[tex]10n-60=9n-36 \Rightarrow n=24[/tex]
Девочек было [tex]16[/tex]; теперь их [tex]12[/tex] из [tex]20[/tex] учеников, и [tex]\frac{12}{20}=60\%[/tex].

Решение:
Пусть сторона [tex]20[/tex]-угольника равна [tex]a[/tex]; тогда сторона восьмиугольника равна [tex]1{,}4a[/tex]. Периметры:
[tex]8\cdot 1{,}4a=11{,}2a[/tex], [tex]20a[/tex]
[tex]\dfrac{11{,}2a}{20a}=0{,}56=56\%[/tex]
Периметр восьмиугольника меньше на [tex]100\%-56\%=44\%[/tex].

Решение:
Проценты за год составляют [tex]3{,}5\%[/tex] от вклада [tex]x[/tex]:
[tex]0{,}035x=245 \Rightarrow x=245:0{,}035=7000[/tex]

Решение:
Каждый год сумма умножается на [tex]1{,}04[/tex]:
[tex]2500\cdot 1{,}04=2600[/tex]
[tex]2600\cdot 1{,}04=2704[/tex]
(При простых процентах было бы только [tex]2700[/tex]: во второй год проценты начисляются и на проценты первого года.)

Решение:
Сумма шести чисел равна [tex]6\cdot 32=192[/tex]. Если число равно [tex]x[/tex], то сумма остальных пяти равна [tex]192-x[/tex]:
[tex]x=1{,}4\cdot \dfrac{192-x}{5} \Rightarrow 5x=268{,}8-1{,}4x \Rightarrow 6{,}4x=268{,}8 \Rightarrow x=42[/tex]
Проверка: [tex]\dfrac{192-42}{5}=30[/tex], [tex]1{,}4\cdot 30=42[/tex]

Решение:
Увеличить на [tex]150\%[/tex] — значит умножить на [tex]2{,}5[/tex]. Пусть три равных результата равны [tex]t[/tex]:
[tex]2{,}5a=t \Rightarrow a=0{,}4t[/tex], [tex]0{,}75b=t \Rightarrow b=\dfrac{4t}{3}[/tex], [tex]c-5=t \Rightarrow c=t+5[/tex]
[tex]0{,}4t+\dfrac{4t}{3}+t+5=87\ \Big|\cdot 15[/tex]
[tex]6t+20t+15t=1230 \Rightarrow 41t=1230 \Rightarrow t=30[/tex]
[tex]a=12[/tex], [tex]b=40[/tex], [tex]c=35[/tex]

Решение:
[tex]\dfrac{1{,}4a}{1{,}25b}=\dfrac{1{,}4}{1{,}25}\cdot \dfrac{a}{b}=1{,}12\cdot \dfrac{a}{b}[/tex]
Дробь увеличивается на [tex]12\%[/tex].

Решение:
Общая цена продажи составляет [tex]105\%[/tex] общей цены покупки:
[tex]210:1{,}05=200[/tex]
Пусть первая корова стоила [tex]x[/tex], а вторая — [tex]200-x[/tex]:
[tex]0{,}9x+1{,}1(200-x)=210 \Rightarrow 220-0{,}2x=210 \Rightarrow x=50[/tex]
Проверка: [tex]0{,}9\cdot 50+1{,}1\cdot 150=45+165=210[/tex]