Zadaci sa geometrijskom progresijom - zadaci sa rešenjima

Rešenje:
Brojevi čine geometrijsku progresiju sa prvim članom 8 i znameniteljem [tex]\frac12[/tex].

Rešenje:
Količnik geometrijske progresije je -2.

Rešenje:
Po definiciji geometrijske progresije, [tex]q=\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{a_2}{a_1}=\frac{15}{5}=3[/tex]

Rešenje:
Po definiciji geometrijske progresije imamo [tex]q=\frac{a_2}{a_1}=\frac{5}{-1}=-5[/tex]

Rešenje:
[tex]\frac{20}{5}=\frac{a_3}{a_1}=\frac{a_1q^2}{a_1}=q^2[/tex], odatle je [tex]q^2=4[/tex], što vodi do dva kandidata za [tex]q[/tex]: [tex]q=2[/tex] ili [tex]q=-2[/tex]. Pošto je [tex]{a_n}[/tex] rastuća geometrijska progresija, [tex]q>1>0[/tex] i [tex]q=2[/tex] ostaje jedini odgovor.

Rešenje:
[tex]\frac{-40}{5}=\frac{a_4}{a_1}=\frac{a_1q^3}{a_1}=q^3=-8[/tex], pa je [tex]q=-2[/tex].

Rešenje:
Pošto je progresija naizmenična, možemo zaključiti da je [tex]q<0[/tex]. [tex]a_1q^2=a_3 \leftrightarrow q^2=\frac{a_3}{a_1}=\frac{5}{25}[/tex], pa je [tex]q=\frac{1}{5}[/tex] ili [tex]q=-\frac{1}{5}[/tex]. Konačan odgovor je [tex]-\frac{1}{5}[/tex].

Rešenje:
[tex]a_4=a_1 \cdot q^3=2 \cdot 3^3=2 \cdot 27=54[/tex]

Rešenje:
[tex]a_4=a_1 \cdot q^3[/tex], odatle je [tex]a_1=a_4 \cdot q^{-3}=12 \cdot (\frac{1}{3})^{-3}=12 \cdot 3^3=12 \cdot 27=324[/tex]

Rešenje:
Količnik geometrijske progresije je [tex]q=\frac{a_2}{a_1}=\frac{10}{5}=2[/tex].
[tex]a_6=a_1 \cdot q^5=5 \cdot 2^5=5 \cdot 32=160[/tex]

Rešenje:
Pošto je [tex]a_n[/tex] rastući, [tex]a_n > a_1 > 0[/tex] za bilo koje [tex]n>1[/tex]. [tex]a_{\frac{5+1}{2}}=\sqrt{a_5 \cdot a_1}[/tex], ili [tex]a_3=\sqrt{2 \cdot 162}=\sqrt{324}=18[/tex]

Rešenje:
Formula za izračunavanje prvih n elemenata geometrijske progresije je [tex]S_n=a_1 \cdot \frac{q^n-1}{q-1}[/tex]. Kada zamenimo, dobijemo [tex]S_5=2 \cdot \frac{1-3^5}{1-3}=2 \cdot \frac{1-243}{-2}=242[/tex]

Rešenje:
[tex]S_5=a_1 \cdot \frac{q^5-1}{q-1}=\frac{5^5-1}{5-1}=\frac{3125-1}{4}=\frac{3124}{4}=781[/tex]

Rešenje:
Poznato nam je da beskonačna geometrijska progresija convergira sumi svojih elemenata i dato je formulom [tex]S=a_1 \cdot \frac{1}{1-q}[/tex]. U našem slučaju, [tex]S=1 \cdot \frac{1}{1-\frac{1}{2}}=\frac{1}{\frac{1}{2}}=2[/tex]

Rešenje:
Broj mušica po danima čini geometrijsku progresiju sa količnikom [tex]k[/tex]. Od [tex]6[/tex]. do [tex]11[/tex]. dana ima pet koraka:
[tex]96k^{5}=3072\Rightarrow k^{5}=32\Rightarrow k=2[/tex]
Od [tex]3[/tex]. do [tex]6[/tex]. dana ima tri koraka, pa je trećeg dana bilo [tex]\dfrac{96}{2^{3}}=12[/tex] mušica.

Rešenje:
Kvadrat srednjeg člana jednak je proizvodu susednih: [tex](x+y)^{2}=2x\cdot 2y=4xy[/tex].
[tex]x^{2}-2xy+y^{2}=0\iff (x-y)^{2}=0\iff x=y[/tex]
Članovi su [tex]2x; 2x; 2x[/tex] uz [tex]x\ne 0[/tex], pa je [tex]q=1[/tex].

Rešenje:
U geometrijskoj progresiji je [tex]a_{m}a_{n}=a_{k}a_{l}[/tex] kad god je [tex]m+n=k+l[/tex] (oba proizvoda su jednaka [tex]a_{1}^{2}q^{m+n-2}[/tex]).
[tex]12+38=8+42=25+25\Rightarrow a_{12}a_{38}=a_{8}a_{42}=a_{25}^{2}[/tex]
[tex]a_{25}^{2}+9a_{25}^{2}=10\Rightarrow a_{25}^{2}=1\Rightarrow a_{8}a_{42}=1[/tex]

Rešenje:
Uslov je [tex](x-3)^{2}=2x(x-7)[/tex]:
[tex]x^{2}-6x+9=2x^{2}-14x\iff x^{2}-8x-9=0\iff x=9[/tex] ili [tex]x=-1[/tex]
Za [tex]x=-1[/tex] brojevi su [tex]-8; -4; -2[/tex] – negativni.
Za [tex]x=9[/tex] brojevi su [tex]2; 6; 18[/tex] ([tex]q=3[/tex]). Dakle, [tex]x=9[/tex].

Rešenje:
Posle svakog obrtaja ostaje [tex]\dfrac{9}{10}[/tex] vazduha, pa preostale količine čine geometrijsku progresiju sa količnikom [tex]0{,} 9[/tex].
Posle [tex]10[/tex] obrtaja ostaje deo [tex](0{,} 9)^{10}\approx 0{,} 3487[/tex], pa pumpa izvuče
[tex]1-(0{,} 9)^{10}\approx 0{,} 6513\approx 65\%[/tex]

Rešenje:
Razlika je zbir svih članova počev od [tex]a_{4}[/tex]: [tex]S-S_{3}=a_{4}+a_{5}+\ldots=\dfrac{a_{4}}{1-q}[/tex].
[tex]a_{4}=\dfrac{a_{1}}{8}; S-S_{3}=\dfrac{a_{1}}{8}\cdot 2=\dfrac{a_{1}}{4}=2\Rightarrow a_{1}=8[/tex]

Rešenje:
[tex]a_{5}-a_{1}=a_{1}(q^{4}-1)=(q-1)\cdot a_{1}(1+q+q^{2}+q^{3})=(q-1)S_{4}[/tex]
[tex]480=240(q-1)\Rightarrow q=3[/tex]
Provera: [tex]a_{1}=\dfrac{240}{1+3+9+27}=6; a_{5}-a_{1}=486-6=480[/tex].