Zadaci sa geometrijskom progresijom - teški zadaci sa rešenjima

Rešenje:
[tex]\begin{array}{|l}a_1q^3-a_1q=18\\a_1q^4-a_1q^2=36\end{array}[/tex]
[tex]\begin{array}{|l}a_1q(q^2-1)=18\\a_1q^2(q^2-1)=36\end{array}[/tex]
Deleći ih, dobijemo [tex]\frac{a_1q^2(q^2-1)}{a_1q(q^2-1)}=\frac{36}{18}[/tex], ili [tex]q=2[/tex]. Kada zamenimo u prvu jednačinu:
[tex]a_1 \cdot 8-a_1 \cdot 2=18[/tex]
[tex]a_1=3[/tex]
[tex]a_3=a_1q^2=3 \cdot 4=12[/tex]

Rešenje:
[tex]a_6=a_1 \cdot q^5=15 \cdot (-4)^5=-15 \cdot 1024=-15360[/tex]

Rešenje:
[tex]S_{10}=a_1\frac{1-q^{10}}{1-q}=2\cdot\frac{1-(-2)^{10}}{1-(-2)}=-2 \cdot \frac{1023}{3}=-2\cdot 341=-682[/tex]

Rešenje:
Definišemo geometrijsku progresiju [tex]{a_n}[/tex]: [tex]a_1=7[/tex] i [tex]q=7[/tex]. Treba da nađemo [tex]S_5=a_1 \cdot \frac{1-q^5}{1-q}=7 \cdot \frac{1-7^5}{1-7}=7 \cdot \frac{16806}{6}=7\cdot 2801=19607[/tex]

Rešenje:
[tex]a_4=-\sqrt{a_7 \cdot a_1}[/tex], pošto je [tex]4=\frac{7+1}{2}[/tex] i geometrijska progresija je naizmenična. Onda je [tex]a_4=-\sqrt{5 \cdot 405}=-\sqrt{5 \cdot 5 \cdot 81}=-5 \cdot 9=-45[/tex]

Rešenje:
Moramo odrediti vrednost proizvoda [tex]a_1a_2a_3a_4a_5a_6a_7=(a_1a_7)(a_2a_6) (a_3a_5)a_4=a_4^2a_4^2a_4^2a_4=a_4^{7}=(a_1 \cdot q^3)^7=(\frac{2}{11^3} \cdot 11^3)^7=2^7=128[/tex]

Rešenje:
Formula za zbir beskonačne geomterijske progresije glasi [tex]S=a_1 \cdot \frac{1}{1-q}[/tex]. Pošto je [tex]a_n=(\frac{1}{3})^n, q=\frac{1}{3}[/tex] i [tex]a_1=6 \cdot \frac{1}{3}[/tex]. Onda je [tex]S=6 \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{1-\frac{1}{3}}=6 \cdot \frac{1}{3-1}=6 \cdot \frac{1}{2}=3[/tex]

Rešenje:
[tex]a_n=\frac{2^n}{3 \cdot 3^n}=\frac{1}{3} \cdot (\frac{2}{3})^n[/tex]. Onda je [tex]a_1=\frac{2}{9}[/tex] i [tex]q=\frac{2}{3}[/tex].
Beskonačni zbir je [tex]S=a_1 \cdot \frac{1}{1-q}=\frac{2}{9} \cdot \frac{1}{1-\frac{2}{3}}=\frac{2}{9} \cdot \frac{1}{\frac{1}{3}}=\frac{2}{3}[/tex]

Rešenje:
[tex]a_1=\frac{2 \cdot 3^1}{5}=\frac{6}{5}[/tex]. Očigledno je [tex]q=3[/tex]. Onda je [tex]S_{4}=a_1 \cdot \frac{1-q^{4}}{1-q}=\frac{6}{5} \cdot \frac{1-3^4}{1-3}=\frac{6}{5} \cdot \frac{80}{2}=48[/tex]

Rešenje:
Znamo da je [tex]S=a_1 \cdot \frac{1}{1-q}[/tex], pa je [tex]1-q=\frac{a_1}{S}[/tex], ili [tex]q=1-\frac{a_1}{S}=1-\frac{4}{7}=\frac{3}{7}[/tex]

Rešenje:
Iz [tex]S=a_1 \cdot \frac{1}{1-q}[/tex], imamo [tex]1-q=\frac{a_1}{S}[/tex], ili [tex]q=1-\frac{a_1}{S}=1-\frac{9}{15}=\frac{6}{15}=\frac{2}{5}[/tex]

Rešenje:
[tex]S_4=a_1 \cdot \frac{q^4-1}{q-1}[/tex], stoga je [tex]\frac{q^4-1}{q-1}=40[/tex], ili [tex]q^4-1=40q-40[/tex]
[tex]q^4-40q+39=0[/tex]. Ali je [tex]q^4-40q+39=q^4-q-39q+39=q(q^3-1)-39(q-1)=q(q-1)(q^2+q+1)-39(q-1)=(q-1)(q^3+q^2+q-39)[/tex].
[tex]q=1[/tex] očigledno nije rešenje (u ovom slučaju, [tex]a_n=1[/tex] i [tex]S_4=4 \ne 40)[/tex], pa to mora biti koren jednačine [tex]q^3+q^2+q-39=0[/tex].
[tex]q^3-27+q^2-9+q-3=0[/tex]
[tex](q-3)(q^2+3q+9)+(q-3)(q+3)+1(q-3)=0[/tex]
[tex](q-3)(q^2+3q+3+q+3+1)=0[/tex]
[tex](q-3)(q^2+4q+7)=0[/tex]. Ali je [tex]q^2+4q+7=(q+2)^2+3>0[/tex], pa ne daje nikakvo rešenje. Onda je jedini preostali koren [tex]q=3[/tex].

Rešenje:
Označimo progresiju kao [tex]a,aq,aq^2,...[/tex]. Njen zbir je [tex]S_1=6=\frac{a}{1-q}[/tex]. Kvadrati progresije su [tex]a^2, a^2q^2, a^2q^4, ...[/tex], što je takođe geometrijska progresija - čiji je prvi član [tex]a^2[/tex] i količnik [tex]q^2[/tex]. Njen zbir je [tex]S_2=\frac{a^2}{1-q^2}=\frac{a^2}{(1-q)(1+q)}[/tex]. Onda je
[tex]\frac{S_2}{S_1}=\frac{a^2}{1-q^2}\cdot\frac{1-q}{a}=\frac{a}{1+q}=3[/tex]. Imamo
[tex]\begin{array}{|l}a=3+3q\\a=6-6q\end{array}[/tex]
[tex]\begin{array}{|l}2a=6+6q\\a=6-6q\end{array}[/tex].
Saberemo ih da bismo dobili
[tex]3a=6+6[/tex], ili [tex]a=4[/tex]

Rešenje:
[tex]0,272727(27)=27\cdot10^{-2}+27\cdot10^{-4}+27\cdot10^{-6}+...[/tex], što je zbir beskonačne geometrijske progresije ([tex]a_1=27\cdot10^{-2}; q=10^{-2})[/tex] i po formuli on je
[tex]\frac{27\cdot10^{-2}}{1-10^{-2}}=\frac{\frac{27}{100}}{1-\frac{1}{100}}=\frac{27}{99}=\frac{3}{11}[/tex]

Rešenje:
Koristeći [tex]a_n=a_1\cdot q^{n-1}[/tex]:
[tex]\begin{array}{|l}a_1q+a_1q^4-a_1q^3=10\\a_1q^2+a_1q^5-a_1q^4=20\end{array}[/tex]

[tex]\begin{array}{|l}a_1q(1+q^3-q^2)=10\\a_1q^2(1+q^3-q^2)=20\end{array}[/tex].
Podelimo ih da bismo dobili

[tex]\frac{a_1q^2(1+q^3-q^2)}{a_1q(1+q^3-q^2)}=\frac{20}{10}=2[/tex] => [tex]q=2[/tex]. Zamenjivanjem u prvu jednačinu dobijemo [tex]a_2+8a_2-4a_2=10[/tex], ili [tex]5a_2=10[/tex]

[tex]a_2=2[/tex].

Rešenje:
Označimo prvi član sa a. Drugi član je 2 = aq. Pa je So q = 2/a Formula za beskonačnu sumu geometrijskog niza je [tex]S=\frac{a}{1-q} = 8[/tex]
[tex]S=\frac{a}{1-\frac{2}{a}} = 8[/tex]
[tex]\frac{a}{1-\frac{2}{a}} = 8[/tex]
[tex]a = 8(1-\frac{2}{a})[/tex]
[tex]a = 8-\frac{16}{a}[/tex]
[tex]a^2 = 8a - 16[/tex]
[tex]a^2 - 2\cdot4a + 4^2=0[/tex]
[tex](a-4)^2=0[/tex]
[tex]a=4[/tex]

Rešenje:
Označimo [tex]x_2=x_1q[/tex], [tex]y_1=x_1q^2[/tex], [tex]y_2=x_1q^3[/tex]. Iz Vijetovih formula, znamo da je
[tex]\begin{array}{|l}x_1+x_2=x_1(1+q)=3\\y_1+y_2=x_1(q^2+q^3)=x_1q^2(1+q)=12\end{array}[/tex].
Podelimo ih da bismo dobili [tex]q^2=4[/tex], ili [tex]q=2[/tex] (pošto je progresija strogo rastuća i ne može biti takva ako je [tex]q[/tex] negativan). Pošto je [tex]x_1(q+1)=3[/tex], imamo [tex]x_1=1, x_2=2, y_1=4, y_2=8[/tex].
Iz Vijetovih formula, [tex]a=x_1x_2=2[/tex] i [tex]-b=y_1y_2=32[/tex]. Stoga je [tex]ab=2 \cdot (-32)=-64[/tex].

Rešenje:
Leva strana je proizvod [tex]x^{\frac{1}{2}}\cdot x^{\frac{1}{4}}\cdot x^{\frac{1}{8}}\cdot \ldots[/tex].
Izložioci čine beskonačno opadajuću geometrijsku progresiju: [tex]\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{8}+\ldots=\dfrac{\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2}}=1[/tex].
Dakle, leva strana je jednaka [tex]x[/tex], pa je [tex]x=\sqrt{2013}[/tex].

Rešenje:
Zbir članova posle [tex]a_{n}[/tex] je [tex]a_{n}q+a_{n}q^{2}+\ldots=\dfrac{a_{n}q}{1-q}[/tex]. Zato je
[tex]a_{n}=\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{a_{n}q}{1-q}\iff 2(1-q)=q\iff q=\dfrac{2}{3}[/tex]
Ova vrednost zadovoljava [tex]0\lt q\lt 1[/tex].

Rešenje:
Ovde je [tex]a_{1}=1; q=\sin ^{2}\dfrac{\pi}{8}; 0\lt q\lt 1[/tex], pa je
[tex]S=\dfrac{1}{1-\sin ^{2}\frac{\pi}{8}}=\dfrac{1}{\cos^{2}\frac{\pi}{8}}[/tex]
Pošto je [tex]\cos^{2}\dfrac{\pi}{8}=\dfrac{1+\cos\frac{\pi}{4}}{2}=\dfrac{2+\sqrt{2}}{4}[/tex],
[tex]S=\dfrac{4}{2+\sqrt{2}}=\dfrac{4(2-\sqrt{2})}{2}=4-2\sqrt{2}[/tex]

Rešenje:
Neka su brojevi [tex]a; a+1; c[/tex], gde je [tex]a\ge 1[/tex] ceo broj. Tada je
[tex]c=\dfrac{(a+1)^{2}}{a}=a+2+\dfrac{1}{a}[/tex]
Da bi [tex]c[/tex] bio ceo broj, [tex]\dfrac{1}{a}[/tex] mora biti ceo broj, tj. [tex]a=1[/tex]. Brojevi su [tex]1; 2; 4[/tex], a treći je [tex]4[/tex].

Rešenje:
Neka su brojevi [tex]a; aq; aq^{2}; aq^{3}[/tex]. Tada je [tex]a(1+q^{3})=35; aq(1+q)=30[/tex].
Pošto je [tex]1+q^{3}=(1+q)(1-q+q^{2})[/tex], deljenjem jednačina dobijamo [tex]\dfrac{1-q+q^{2}}{q}=\dfrac{7}{6}\iff 6q^{2}-13q+6=0[/tex],
[tex]q=\dfrac{3}{2}[/tex] ili [tex]q=\dfrac{2}{3}[/tex]
Za [tex]q=\dfrac{2}{3}[/tex] progresija je opadajuća, pa je [tex]q=\dfrac{3}{2}[/tex] i [tex]a=8[/tex]. Brojevi su [tex]8; 12; 18; 27[/tex]; najveći je [tex]27[/tex].

Rešenje:
[tex]\dfrac{S_{3}}{S}=\dfrac{a_{1}(1-q^{3})}{1-q}\cdot \dfrac{1-q}{a_{1}}=1-q^{3}=\dfrac{21}{24}=\dfrac{7}{8}[/tex]
[tex]q^{3}=\dfrac{1}{8}\Rightarrow q=\dfrac{1}{2}; a_{1}=24\left(1-\dfrac{1}{2}\right)=12[/tex]
Kvadrati [tex]144; 36; 9; \ldots[/tex] čine beskonačno opadajuću geometrijsku progresiju sa količnikom [tex]q^{2}=\dfrac{1}{4}[/tex]:
[tex]144+36+9+\ldots=\dfrac{144}{1-\frac{1}{4}}=192[/tex]

Rešenje:
Svaki član sa parnim indeksom jednak je prethodnom članu sa neparnim indeksom pomnoženom sa [tex]q[/tex]: [tex]a_{2}=a_{1}q; a_{4}=a_{3}q; \ldots[/tex]. Zato je zbir članova sa parnim indeksima jednak zbiru članova sa neparnim indeksima pomnoženom sa [tex]q[/tex], pa je [tex]q=\dfrac{1}{3}[/tex].
[tex]S_{5}=a_{1}\cdot \dfrac{1-\left(\frac{1}{3}\right)^{5}}{1-\frac{1}{3}}=a_{1}\cdot \dfrac{242}{243}\cdot \dfrac{3}{2}=\dfrac{121}{81}a_{1}[/tex]
[tex]\dfrac{121}{81}a_{1}=484\Rightarrow a_{1}=324[/tex]

Rešenje:
Posle [tex]n[/tex] godina ulog iznosi [tex]10000\cdot 1{,} 01^{12n}[/tex], a cena [tex]12000\cdot 1{,} 06^{n}[/tex] (obe veličine čine geometrijske progresije). Treba da važi
[tex]\left(\dfrac{1{,} 01^{12}}{1{,} 06}\right)^{n}\ge 1{,} 2[/tex]
Osnova je [tex]\dfrac{1{,} 01^{12}}{1{,} 06}\approx\dfrac{1{,} 12683}{1{,} 06}\approx 1{,} 06304[/tex].
[tex]1{,} 06304^{2}\approx 1{,} 130\lt 1{,} 2; 1{,} 06304^{3}\approx 1{,} 2013\ge 1{,} 2[/tex]
Posle [tex]3[/tex] godine ulog iznosi oko [tex]14\,307{,} 69[/tex] evra, a automobil košta oko [tex]14\,292{,} 19[/tex] evra, pa je odgovor [tex]3[/tex] godine.

Rešenje:
[tex]a_{1}(1-q^{2}+q^{4})=-65; a_{1}(1+q^{6})=-325[/tex]
Pošto je [tex]1+q^{6}=(1+q^{2})(1-q^{2}+q^{4})[/tex], deljenjem druge jednačine prvom dobijamo
[tex]1+q^{2}=5\Rightarrow q=\pm 2[/tex]
[tex]a_{1}=\dfrac{-65}{1-4+16}=-5[/tex]

Rešenje:
[tex]a_{5}+a_{6}+a_{7}+a_{8}=q^{4}(a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4})\Rightarrow q^{4}=\dfrac{480}{30}=16[/tex]
Podelimo prvih [tex]20[/tex] članova u [tex]5[/tex] grupa od po četiri uzastopna člana. Zbir svake grupe je [tex]q^{4}=16[/tex] puta veći od zbira prethodne, pa zbirovi grupa čine geometrijsku progresiju sa prvim članom [tex]30[/tex] i količnikom [tex]16[/tex]:
[tex]S_{20}=30\cdot \dfrac{16^{5}-1}{16-1}=2(2^{20}-1)=2097150[/tex]
Odgovor je isti za [tex]q=2[/tex] i za [tex]q=-2[/tex].

Rešenje:
Neka su stranice [tex]a; aq; aq^{2}[/tex], gde je [tex]q\gt 1[/tex]; hipotenuza je [tex]aq^{2}[/tex]. Po Pitagorinoj teoremi
[tex]a^{2}+a^{2}q^{2}=a^{2}q^{4}\iff q^{4}-q^{2}-1=0[/tex]
Kao kvadratna jednačina po [tex]q^{2}[/tex]: [tex]q^{2}=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}[/tex] (drugi koren je negativan). Dakle,
[tex]q=\sqrt{\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}}[/tex]

Rešenje:
Neka je [tex]a\ne 1[/tex]. Pomnožimo desnu stranu sa [tex]1-a[/tex]:
[tex](1-a)(1+a)(1+a^{2})(1+a^{4})(1+a^{8})=(1-a^{2})(1+a^{2})(1+a^{4})(1+a^{8})=\ldots=1-a^{16}[/tex]
Dakle, desna strana je jednaka [tex]\dfrac{1-a^{16}}{1-a}=1+a+a^{2}+\ldots+a^{15}[/tex] – zbiru geometrijske progresije.
[tex]x=15[/tex]

Rešenje:
Neka su koreni [tex]\dfrac{b}{q}; b; bq[/tex]. Po Vijetovim formulama
[tex]b\left(\dfrac{1}{q}+1+q\right)=14; b^{2}\left(\dfrac{1}{q}+1+q\right)=-84[/tex]
Deljenjem dobijamo [tex]b=-6[/tex]. Proizvod korena je [tex]b^{3}=-m[/tex], pa je [tex]m=216[/tex].
Provera: [tex]x^{3}-14x^{2}-84x+216=(x-2)(x+6)(x-18)[/tex], a [tex]2; -6; 18[/tex] je geometrijska progresija sa [tex]q=-3[/tex].