Kvadratne jednačine - zadaci sa rešenjima

Rešenje:
Broj je rešenje ako jednačinu pretvara u tačnu jednakost. Zamenimo svaki broj:
[tex]x=-5[/tex]: [tex](-5)^2+2\cdot(-5)=25-10=15[/tex] - tačno.
[tex]x=1[/tex]: [tex]1+2=3\ne 15[/tex] - netačno.
[tex]x=-0{,}5[/tex]: [tex]0{,}25-1=-0{,}75\ne 15[/tex] - netačno.
[tex]x=3[/tex]: [tex]9+6=15[/tex] - tačno.
Rešenja su [tex]-5[/tex] i [tex]3[/tex].

Rešenje:
Ovo je nepotpuna kvadratna jednačina ([tex]b=0[/tex]), pa nam diskriminanta nije potrebna.
[tex]25x^2=16[/tex], [tex]x^2=\frac{16}{25}[/tex], odakle [tex]x=\pm\frac{4}{5}[/tex].
Drugi način: [tex](5x-4)(5x+4)=0[/tex].

Rešenje:
Izvučemo [tex]x[/tex] ispred zagrade: [tex]x(5x-1)=0[/tex].
Proizvod je nula kada je neki od činilaca nula: [tex]x=0[/tex] ili [tex]5x-1=0[/tex], tj. [tex]x=\frac{1}{5}[/tex].
Pažnja: deljenjem obe strane sa [tex]x[/tex] izgubili bismo rešenje [tex]x=0[/tex].

Rešenje:
[tex]x^2-5x+4=x^2-4x-x+4=x(x-4)-(x-4)=(x-1)(x-4)[/tex]
dakle koreni jednačine su [tex]x_1=1[/tex] i [tex]x_2=4[/tex]. Očigledno, veća vrednost je 4.

Rešenje:
[tex]x^2-3x+2=x^2-2x-x+2=x(x-2)-(x-2)=(x-1)(x-2)[/tex]
dakle, rešenja jednačine su [tex]x_1=1, x_2=2[/tex]. Očigledno, manja vrednost je 1.

Rešenje:
[tex]x^2-13x+12=x^2-12x-x+12=x(x-12)-(x-12)=(x-1)(x-12)[/tex], dakle, koreni su [tex]x_1=1[/tex] i [tex]x_2=12[/tex].

Rešenje:
[tex]x^2-7x+12=x^2-3x-4x+12=x(x-3)-4(x-3)=(x-3)(x-4)[/tex], dakle, korenovi su [tex]x_1=3[/tex] i [tex]x_2=4[/tex].

Rešenje:
[tex]x^2-12x+35=x^2-7x-5x+35=x(x-7)-5(x-7)=(x-5)(x-7)[/tex]. Njeni korenovi su 5 i 7, a manji je 5.

Rešenje:
Diskriminanta je[tex]D=15^2-4\cdot 26=225-104=121=11^2[/tex].
Rešenja su [tex]x_{1,2}=\frac{15 \pm 11}{2}[/tex].

[tex]x_1=\frac{15+11}{2}=\frac{26}{2}=13[/tex]
[tex]x_2=\frac{15-11}{2}=\frac{4}{2}=2[/tex]

Rešenje:
Diskriminanta je[tex]D=14^2-4 \cdot 45=196-180=16=4^2[/tex]. Korenovi su [tex]x_{1,2}=\frac{-14 \pm 4}{2}[/tex]. Stoga, [tex]x_1=\frac{-14+4}{2}=\frac{-10}{2}=-5[/tex].
[tex]x_2 = \frac{-14-4}{2}=\frac{-18}{2}=-9[/tex]

Rešenje:
Diskriminanta je [tex]3^2+4 \cdot 70=289=17^2[/tex]. Korenovi su [tex]x_{1,2}=\frac{-3 \pm 17}{2}[/tex]. Stoga [tex]x_1=\frac{-3+17}{2}=\frac{14}{2}=7[/tex] i [tex]x_2=\frac{-3-17}{2}=\frac{-20}{2}=-10[/tex]

Rešenje:
Leva strana je potpun kvadrat: [tex]4x^2-12x+9=(2x)^2-2\cdot 2x\cdot 3+3^2=(2x-3)^2[/tex].
Dakle, [tex](2x-3)^2=0[/tex] i [tex]2x-3=0[/tex], tj. [tex]x=\frac{3}{2}[/tex] (dvostruko rešenje).
Provera diskriminantom: [tex]D=144-144=0[/tex].

Rešenje:
Jednačina [tex]az^2+bz+c=0[/tex] ima dva različita realna rešenja tačno kada je [tex]D=b^2-4ac>0[/tex].
[tex]2z^2-z+1=0[/tex]: [tex]D=1-8=-7<0[/tex], nema realnih rešenja.
[tex]4z^2+20z+25=0[/tex]: [tex]D=400-400=0[/tex], jedno dvostruko rešenje.
[tex]3z^2+10z+7=0[/tex]: [tex]D=100-84=16>0[/tex], dva različita rešenja ([tex]-1[/tex] i [tex]-\frac{7}{3}[/tex]).
[tex]z^2-8z+20=0[/tex]: [tex]D=64-80=-16<0[/tex], nema realnih rešenja.
Odgovor: [tex]3z^2+10z+7=0[/tex].

Rešenje:
Kvadrat realnog broja nikada nije negativan, pa je [tex](x-1)^2+(x+3)^2\ge 0[/tex] za svako [tex]x[/tex].
Desna strana je [tex]-10<0[/tex], pa je jednakost nemoguća: jednačina nema realnih rešenja.
Isto i računom: [tex]2x^2+4x+10=-10[/tex], [tex]x^2+2x+10=0[/tex], [tex]D=4-40<0[/tex].

Rešenje:
Ako su [tex]x_1[/tex] i [tex]x_2[/tex] rešenja jednačine [tex]ax^2+bx+c=0[/tex], onda je [tex]ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)[/tex].
[tex]3x^2-5x+2=0[/tex]: [tex]D=25-24=1[/tex], [tex]x_{1,2}=\frac{5\pm 1}{6}[/tex], tj. [tex]x_1=1[/tex], [tex]x_2=\frac{2}{3}[/tex].
[tex]3x^2-5x+2=3(x-1)\left(x-\frac{2}{3}\right)=(x-1)(3x-2)[/tex].
Provera: [tex](x-1)(3x-2)=3x^2-2x-3x+2=3x^2-5x+2[/tex].

Rešenje:
Prebacimo sve na levu stranu i izvučemo [tex]x-2[/tex] ispred zagrade:
[tex](x-2)^2-(x-2)(x-3)=0[/tex]
[tex](x-2)\left[(x-2)-(x-3)\right]=0[/tex]
[tex](x-2)\cdot 1=0[/tex], odakle [tex]x=2[/tex].
Pažnja: ako podelimo obe strane sa [tex]x-2[/tex], dobijamo [tex]x-2=x-3[/tex], što nema rešenja, i gubimo rešenje [tex]x=2[/tex].
Odgovor: [tex]x=2[/tex].

Rešenje:
Koristimo razliku kvadrata [tex]A^2-B^2=(A-B)(A+B)[/tex]:
[tex](2x+5)^2-(x-3)^2=(2x+5-x+3)(2x+5+x-3)=(x+8)(3x+2)=3x^2+26x+16[/tex].
Jednačina postaje [tex]3x^2+26x+16=16[/tex], tj. [tex]3x^2+26x=0[/tex], [tex]x(3x+26)=0[/tex].
Rešenja: [tex]x_1=0[/tex], [tex]x_2=-\frac{26}{3}[/tex].

Rešenje:
Oslobodimo se zagrada: [tex](x+1)^3=x^3+3x^2+3x+1[/tex] i [tex]x^2(x+2)=x^3+2x^2[/tex].
Kubovi se skraćuju: [tex]x^3+3x^2+3x+1-x^3-2x^2=x^2+3x+1[/tex].
[tex]x^2+3x+1=x[/tex], tj. [tex]x^2+2x+1=0[/tex], [tex](x+1)^2=0[/tex].
Odgovor: [tex]x=-1[/tex] (dvostruko rešenje).

Rešenje:
Grupišemo sabirke:
[tex]x^2-x-\sqrt{3}x+\sqrt{3}=x(x-1)-\sqrt{3}(x-1)=(x-1)(x-\sqrt{3})=0[/tex].
Rešenja: [tex]x_1=1[/tex], [tex]x_2=\sqrt{3}[/tex].
Pomoću diskriminante: [tex]D=(1+\sqrt{3})^2-4\sqrt{3}=4-2\sqrt{3}=(\sqrt{3}-1)^2[/tex], [tex]x_{1,2}=\frac{1+\sqrt{3}\pm(\sqrt{3}-1)}{2}[/tex] - ista rešenja.

Rešenje:
Dvostruko rešenje je moguće samo kod kvadratne jednačine, pa je [tex]a\ne 0[/tex] (za [tex]a=0[/tex] jednačina je linearna).
Kvadratna jednačina ima dvostruko rešenje kada je [tex]D=0[/tex]: [tex]D=16-4a=0[/tex], odakle [tex]a=4[/tex].
Provera: [tex]4x^2+4x+1=(2x+1)^2=0[/tex], dvostruko rešenje [tex]x=-\frac{1}{2}[/tex].

Rešenje:
Oba kvadrata su nenegativna, a njihov zbir je [tex]0[/tex] samo kada je svaki od njih [tex]0[/tex]:
[tex]y-1=0[/tex], tj. [tex]y=1[/tex];
[tex]x-2y=0[/tex], tj. [tex]x=2y=2[/tex].
Jedino rešenje je [tex]x=2[/tex], [tex]y=1[/tex].

Rešenje:
Neka je stranica kvadrata [tex]x[/tex] cm. Preostali deo je pravougaonik sa stranicama [tex]x[/tex] i [tex]x-3[/tex].
[tex]x(x-3)=70[/tex], tj. [tex]x^2-3x-70=0[/tex].
[tex]D=9+280=289[/tex], [tex]x_{1,2}=\frac{3\pm 17}{2}[/tex], [tex]x_1=10[/tex], [tex]x_2=-7[/tex].
Dužina ne može biti negativna, pa je stranica kvadrata [tex]10[/tex] cm.

Rešenje:
Neka u jednom redu ima [tex]x[/tex] učenika. Tada redova ima [tex]x+6[/tex] i [tex]x(x+6)=247[/tex].
[tex]x^2+6x-247=0[/tex], [tex]D=36+988=1024=32^2[/tex], [tex]x_{1,2}=\frac{-6\pm 32}{2}[/tex].
[tex]x_1=13[/tex], [tex]x_2=-19[/tex] (ne odgovara, broj učenika je pozitivan).
U svakom redu je bilo [tex]13[/tex] učenika (u [tex]19[/tex] redova).

Rešenje:
Neka je šahista [tex]n[/tex]. Svaki od njih odigra [tex]n-1[/tex] partija, ali je tako svaka partija prebrojana dva puta (jednom za svakog igrača).
Dakle, partija ima [tex]\frac{n(n-1)}{2}=45[/tex], tj. [tex]n^2-n-90=0[/tex].
[tex]D=1+360=361[/tex], [tex]n_{1,2}=\frac{1\pm 19}{2}[/tex], [tex]n_1=10[/tex], [tex]n_2=-9[/tex] (ne odgovara).
Učestvovalo je [tex]10[/tex] šahista.