Kvadratne jednačine - teži zadaci sa rešenjima

Rešenje:
Jednačina je definisana sa x, tako da [tex]x-2 \ne 0; x+2 \ne 0; x^2-4 \ne 0[/tex], iz koje sledi [tex]x \ne \pm 2[/tex].
[tex]\frac{5}{2-x}+\frac{x-5}{x+2}+\frac{3x+8}{x^2-4}=0[/tex]
[tex]\frac{3x+8}{x^2 - 4}=-\frac{3x+8}{4-x^2}[/tex]
[tex]\frac{5(x+2)}{(2-x)(x+2)}+\frac{(x-5)(2-x)}{(x+2)(2-x)}+\frac{3x+8}{x^2-4}=0[/tex]
[tex]\frac{5x+10}{4-x^2}+\frac{2x-10-x^2+5x}{4-x^2}-\frac{3x+8}{4-x^2}=0[/tex]. Imenioci nam više ne trebaju.
[tex]5x+10+7x-10-x^2-3x-8=0[/tex]
[tex]x^2-9x+8=0[/tex]
[tex]x^2-8x-x+8=0[/tex]
[tex]x(x-8)-(x-8)=0[/tex]
[tex](x-1)(x-8)=0[/tex], dakle, korenovi su x=1 i x=8. Jednačina je definisana za ove vrednosti, dakle, obe vrednosti predstavljaju rešenje.

Rešenje:
a očigledno nije nula. Podelimo jednačinu sa [tex]a^2[/tex] da bismo dobili [tex]\frac{x^2}{a^2}-2\frac{ax}{a^2}+\frac{a^2}{a^2}=0[/tex]
[tex](\frac{x}{a})^2-2 \cdot \frac{x}{a}+1=0[/tex], ili [tex](\frac{x}{a}-1)^2=0[/tex], iz čega sledi [tex]\frac{x}{a}=1[/tex].

Rešenje:
Prvo, recimo da je prva stranica n.
Odatle je jasno da je iduća stranica n+1.
Proizvod stranica jednak je 1122
n ⋅ (n + 1) = 1122
Množimo koristeći distributivnost, i potom jednačina postaje [tex]n^2 + n = 1122[/tex].
Prebacimo sve na levu stranu, kako bi jednačina bila jednaka nuli [tex]n^2 + n – 1122 = 0[/tex].
Postepeno razložimo činioce na jednačinu drugog stepena, i dobijemo [tex](n + 34)(n – 33) = 0[/tex].
Kako je prozvod dvaju "brojeva" jednak nuli, sledi da je jedan od njih jednak nuli.
Uzmimo da je prvi.
[tex]n + 34 = 0[/tex].
Zatim [tex]n = - 34[/tex], što je nemoguće, jer stranica ne može biti negativan broj. Uzmimo drugi.
[tex]n - 33 = 0[/tex].
Zatim, [tex]n = 33[/tex], što je prihvatljivo.
Dakle, prva stranica je 33, a druga stranica je n + 1 = 33 + 1 = stranica 34.

Rešenje:
Neka [tex]x[/tex] bude [tex]\sqrt{6+(\sqrt{6+(\sqrt{6...}}}[/tex]
[tex]x = \sqrt{6+(\sqrt{6+(\sqrt{6...}}}[/tex]
[tex]x^2 = 6 + \sqrt{6+(\sqrt{6+(\sqrt{6...}}}[/tex]
[tex]\Rightarrow x^2=6+x[/tex]
[tex]x^2- x - 6 = 0[/tex]
[tex](x+2)(x-3) = 0[/tex]
[tex]x = -2[/tex] or [tex]x = 3[/tex]
[tex]x[/tex] mora biti veći od 0, dakle

[tex]\sqrt{6+(\sqrt{6+(\sqrt{6...}}} = 3[/tex]

Rešenje:
Prvo, pretpostavimo da je cifra koju tražimo
x
Potom, da je ceo broj
[tex](xx)^{-}[/tex]
čija je vrednost jednaka
[tex](xx)^{-}=10x+x=11x[/tex]
Naknadno, podignemo taj broj na drugi stepen, i on postane
[tex](xx)^{-}=(11x)^2=121x^2[/tex]
Sada, kada je naš broj podignut na drugi stepen, prelazimo na drugi deo. Ako pretpostavimo da je originalni broj
[tex](xx)^{-}[/tex]
Znamo da je da broj koji je nastao nakon kvadriranja jednak
[tex]((x-1)(x-1)\frac{x}{2}\frac{x}{2} )^{-}[/tex]
A njegova vrednost je
[tex]1000(x-1)+100(x-1)+10\frac{x}{2}+1\frac{x}{2}[/tex]
Primenom distributivnosti, broj postaje
[tex]1000x-1000+100x-100+ \frac{10x}{2}+\frac{x}{2}[/tex]
Da bismo ih sabrali, neophodno je pretvoriti sve vrednosti u iste veličine. To se može isvesti množenjem svake vrednosti (osim poslednje dve) sa 2/2
[tex]\frac{1000x\cdot 2}{2}-\frac{1000\cdot 2}{2}+\frac{100x\cdot 2}{2}-\frac{100\cdot 2}{2}+\frac{10x}{2}+\frac{x}{2}[/tex]
Zatim, broj postaje
[tex]\frac{2000x}{2}-\frac{2000}{2}+\frac{200x}{2}-\frac{200}{2}+\frac{10x}{2}+\frac{x}{2}[/tex]
Saberemo vrednosti i dobijemo
[tex]\frac{2000x-2000+200x-200+10x+x}{2}[/tex]

Sabiranjem vrednosti brojioca dobijemo
[tex]\frac{2211x-2200}{2}[/tex]
Sada, nakon što smo završili sa oba naša broja, izjednačimo ih
[tex]121x^2=\frac{2211x-2200}{2}[/tex]
Pomnožimo svaku stranu sa 2, i jednačina izgleda ovako
[tex]242x^2=2211x-2200[/tex]
Prebacimo sve vrednosti na levu stranu, kako bi drugostepeni trinom bio jednak nuli
[tex]242x^2-2211x+2200=0[/tex]
Nakon toga, možemo da rastavimo na činioce, kako bismo olakšali.
Primetićemo da 242, 2211 i 2200 imaju zajednički sadržalac 11.
Dakle, možemo rastaviti kompletan izraz na
[tex]11 (22x^2-201x+200)=0[/tex]
Podelimo obe strane sa 11, i dobijemo
[tex]22x^2-201x+200=0[/tex]
Sada, jasno je da imamo jednačinu drugog stepena, koja je jednaka nuli. Naš prvi zadatak je da izračunamo diskriminantu, koja je data formulom
[tex]D=b^2-4ac[/tex], gde je a=22, b=201 i c=200
Zamenimo promenljive sa vrednostima, i diskriminanta postaje jednaka
D=22801
Sada, moramo da saznamo da li jednačina ima prave korene ili ne.
Imamo sledeće mogućnosti:
[tex]b^2-4ac>0\Rightarrow[/tex] Postoje dva prava korena.
Rešenje x jednačine drugog stepena je dato formulom
[tex]x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}[/tex]
[tex]x_{1,2}={201\pm 151}{44}[/tex]
[tex]x_1=\frac{201+151}{44}=\frac{352}{44}=8[/tex]
[tex]x_2=\frac{201-151}{44}=\frac{50}{44}=1.13636363636...[/tex]
Na kraju, dolazimo do momenta kada moramo da odaberemo između dva potencijalna rešenja od x. S obzirom da bi naša tražena vrednost trebalo da predstavlja cifru, ona bi morala da bude ceo broj.
[tex]8 \in Z [/tex] True
[tex]1.13636363636... \in Z[/tex] Pogrešno

Stoga, dolazimo do zaključka da je t x=8.
[tex](xx)^{-}=88[/tex]