Kvadratne jednačine - veoma teški zadaci sa rešenjima

Rešenje:
[tex]a[/tex] očigledno nije nula. Podelimo jednačinu sa [tex]a^2[/tex] da bismo dobili [tex]\frac{x^2}{a^2}-2\frac{ax}{a^2}+\frac{a^2}{a^2}=0[/tex]
[tex](\frac{x}{a})^2-2 \cdot \frac{x}{a}+1=0[/tex], ili [tex](\frac{x}{a}-1)^2=0[/tex], iz čega sledi [tex]\frac{x}{a}=1[/tex].

Rešenje:
Jednačina je definisana sa [tex]x[/tex], tako da [tex]x-2 \ne 0; x+2 \ne 0; x^2-4 \ne 0[/tex], iz koje sledi [tex]x \ne \pm 2[/tex].
[tex]\frac{5}{2-x}+\frac{x-5}{x+2}+\frac{3x+8}{x^2-4}=0[/tex]
[tex]\frac{3x+8}{x^2 - 4}=-\frac{3x+8}{4-x^2}[/tex]
[tex]\frac{5(x+2)}{(2-x)(x+2)}+\frac{(x-5)(2-x)}{(x+2)(2-x)}+\frac{3x+8}{x^2-4}=0[/tex]
[tex]\frac{5x+10}{4-x^2}+\frac{2x-10-x^2+5x}{4-x^2}-\frac{3x+8}{4-x^2}=0[/tex]. Imenioci nam više ne trebaju.
[tex]5x+10+7x-10-x^2-3x-8=0[/tex]
[tex]x^2-9x+8=0[/tex]
[tex]x^2-8x-x+8=0[/tex]
[tex]x(x-8)-(x-8)=0[/tex]
[tex](x-1)(x-8)=0[/tex], dakle, korenovi su [tex]x=1[/tex] i [tex]x=8[/tex]. Jednačina je definisana za ove vrednosti, dakle, obe vrednosti predstavljaju rešenje.

Rešenje:
Prvo, recimo da je prva stranica n.
Odatle je jasno da je iduća stranica [tex]n+1[/tex].
Proizvod stranica jednak je 1122
[tex]n \cdot (n + 1) = 1122[/tex]
Množimo koristeći distributivnost, i potom jednačina postaje [tex]n^2 + n = 1122[/tex].
Prebacimo sve na levu stranu, kako bi jednačina bila jednaka nuli [tex]n^2 + n – 1122 = 0[/tex].
Postepeno razložimo činioce na jednačinu drugog stepena, i dobijemo [tex](n + 34)(n – 33) = 0[/tex].
Kako je prozvod dvaju "brojeva" jednak nuli, sledi da je jedan od njih jednak nuli.
Uzmimo da je prvi.
[tex]n + 34 = 0.[/tex]
Zatim [tex]n = - 34[/tex], što je nemoguće, jer stranica ne može biti negativan broj. Uzmimo drugi.
[tex]n - 33 = 0.[/tex]
Zatim, [tex]n = 33[/tex], što je prihvatljivo.
Dakle, prva stranica je 33, a druga stranica je [tex]n + 1 = 33 + 1 =[/tex] stranica 34.

Rešenje:
Prvo, pretpostavimo da je cifra koju tražimo
x
Potom, da je ceo broj
[tex]\overline{xx}[/tex]
čija je vrednost jednaka
[tex]\overline{xx}=10x+x=11x[/tex]
Naknadno, podignemo taj broj na drugi stepen, i on postane
[tex]\overline{xx}^{\,2}=(11x)^2=121x^2[/tex]
Sada, kada je naš broj podignut na drugi stepen, prelazimo na drugi deo. Ako pretpostavimo da je originalni broj
[tex]\overline{xx}[/tex]
Znamo da je da broj koji je nastao nakon kvadriranja jednak
[tex]((x-1)(x-1)\frac{x}{2}\frac{x}{2} )^{-}[/tex]
A njegova vrednost je
[tex]1000(x-1)+100(x-1)+10\frac{x}{2}+1\frac{x}{2}[/tex]
Primenom distributivnosti, broj postaje
[tex]1000x-1000+100x-100+ \frac{10x}{2}+\frac{x}{2}[/tex]
Da bismo ih sabrali, neophodno je pretvoriti sve vrednosti u iste veličine. To se može isvesti množenjem svake vrednosti (osim poslednje dve) sa [tex]\frac{2}{2}[/tex]
[tex]\frac{1000x\cdot 2}{2}-\frac{1000\cdot 2}{2}+\frac{100x\cdot 2}{2}-\frac{100\cdot 2}{2}+\frac{10x}{2}+\frac{x}{2}[/tex]
Zatim, broj postaje
[tex]\frac{2000x}{2}-\frac{2000}{2}+\frac{200x}{2}-\frac{200}{2}+\frac{10x}{2}+\frac{x}{2}[/tex]
Saberemo vrednosti i dobijemo
[tex]\frac{2000x-2000+200x-200+10x+x}{2}[/tex]

Sabiranjem vrednosti brojioca dobijemo
[tex]\frac{2211x-2200}{2}[/tex]
Sada, nakon što smo završili sa oba naša broja, izjednačimo ih
[tex]121x^2=\frac{2211x-2200}{2}[/tex]
Pomnožimo svaku stranu sa 2, i jednačina izgleda ovako
[tex]242x^2=2211x-2200[/tex]
Prebacimo sve vrednosti na levu stranu, kako bi drugostepeni trinom bio jednak nuli
[tex]242x^2-2211x+2200=0[/tex]
Nakon toga, možemo da rastavimo na činioce, kako bismo olakšali.
Primetićemo da 242, 2211 i 2200 imaju zajednički sadržalac 11.
Dakle, možemo rastaviti kompletan izraz na
[tex]11 (22x^2-201x+200)=0[/tex]
Podelimo obe strane sa 11, i dobijemo
[tex]22x^2-201x+200=0[/tex]
Sada, jasno je da imamo jednačinu drugog stepena, koja je jednaka nuli. Naš prvi zadatak je da izračunamo diskriminantu, koja je data formulom
[tex]D=b^2-4ac[/tex], gde je a=22, b=201 i c=200
Zamenimo promenljive sa vrednostima, i diskriminanta postaje jednaka
D=22801
Sada, moramo da saznamo da li jednačina ima prave korene ili ne.
Imamo sledeće mogućnosti:
[tex]b^2-4ac>0\Rightarrow[/tex] Postoje dva prava korena.
Rešenje x jednačine drugog stepena je dato formulom
[tex]x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}[/tex]
[tex]x_{1,2}={201\pm 151}{44}[/tex]
[tex]x_1=\frac{201+151}{44}=\frac{352}{44}=8[/tex]
[tex]x_2=\frac{201-151}{44}=\frac{50}{44}=1 \cdot 13636363636...[/tex]
Na kraju, dolazimo do momenta kada moramo da odaberemo između dva potencijalna rešenja od x. S obzirom da bi naša tražena vrednost trebalo da predstavlja cifru, ona bi morala da bude ceo broj.
[tex]8 \in Z [/tex] True
[tex]1 \cdot 13636363636... \in Z[/tex] Pogrešno

Stoga, dolazimo do zaključka da je t x=8.
[tex]\overline{xx}=88[/tex]

Rešenje:
Neka [tex]x[/tex] bude [tex]\sqrt{6+(\sqrt{6+(\sqrt{6...}}}[/tex]
[tex]x = \sqrt{6+(\sqrt{6+(\sqrt{6...}}}[/tex]
[tex]x^2 = 6 + \sqrt{6+(\sqrt{6+(\sqrt{6...}}}[/tex]
[tex]\Rightarrow x^2=6+x[/tex]
[tex]x^2- x - 6 = 0[/tex]
[tex](x+2)(x-3) = 0[/tex]
[tex]x = -2 or x = 3[/tex]
[tex]x[/tex] mora biti veći od 0, dakle

[tex]\sqrt{6+(\sqrt{6+(\sqrt{6...}}} = 3[/tex]

Rešenje:
Grupišemo činioce tako da zbirovi brojeva budu jednaki ([tex]3+8=4+7=11[/tex]):
[tex](x-3)(x-8)=x^2-11x+24[/tex], [tex](x-4)(x-7)=x^2-11x+28[/tex].
Smena [tex]t=x^2-11x+24[/tex]: [tex]t(t+4)=60[/tex], [tex]t^2+4t-60=0[/tex], [tex]t_1=6[/tex], [tex]t_2=-10[/tex].
[tex]x^2-11x+24=6[/tex]: [tex]x^2-11x+18=0[/tex], [tex]x=2[/tex] ili [tex]x=9[/tex].
[tex]x^2-11x+24=-10[/tex]: [tex]x^2-11x+34=0[/tex], [tex]D=121-136<0[/tex], nema realnih rešenja.
Odgovor: [tex]x_1=2[/tex], [tex]x_2=9[/tex].

Rešenje:
Neka je [tex]f(x)=x^2-2ax+a+2[/tex]; grafik je parabola okrenuta nagore sa temenom u [tex]x=a[/tex]. Oba rešenja su u [tex](1; 3)[/tex] tačno kada:
[tex]\frac{D}{4}=a^2-a-2=(a-2)(a+1)\ge 0[/tex]: [tex]a\le -1[/tex] ili [tex]a\ge 2[/tex];
teme je u intervalu: [tex]1\lt a<3[/tex];
[tex]f(1)=3-a>0[/tex]: [tex]a<3[/tex];
[tex]f(3)=11-5a>0[/tex]: [tex]a\lt \frac{11}{5}[/tex].
Svi uslovi važe za [tex]2\le a\lt \frac{11}{5}[/tex], tj. [tex]a\in[2; \frac{11}{5})[/tex]. (Za [tex]a=2[/tex] postoji dvostruko rešenje [tex]x=2[/tex].)

Rešenje:
[tex]f(x)=0[/tex] daje [tex]x^2-ax+3a-9=0[/tex], tj. [tex](x-3)(x-a+3)=0[/tex]. Apscise tačaka [tex]A[/tex] i [tex]B[/tex] su [tex]3[/tex] i [tex]a-3[/tex], i [tex]AB=|a-6|[/tex] (potrebno je [tex]a\ne 6[/tex]).
[tex]C=(0; 9-3a)[/tex], pa je visina na [tex]AB[/tex] jednaka [tex]|9-3a|=3|a-3|[/tex].
Površina: [tex]\frac{1}{2}|a-6|\cdot 3|a-3|=27[/tex], tj. [tex]|(a-6)(a-3)|=18[/tex].
[tex](a-6)(a-3)=18[/tex]: [tex]a^2-9a=0[/tex], [tex]a=0[/tex] ili [tex]a=9[/tex].
[tex](a-6)(a-3)=-18[/tex]: [tex]a^2-9a+36=0[/tex], [tex]D<0[/tex], nema rešenja.
Odgovor: [tex]a=0[/tex] ili [tex]a=9[/tex].

Rešenje:
Ako je [tex]a=0[/tex], rešenje je [tex]x=\frac{9}{4}[/tex], nije ceo broj.
Neka je [tex]x_0[/tex] celobrojno rešenje. [tex]x_0\ne 0[/tex] (inače [tex]9=0[/tex]) i [tex]ax_0^2=4x_0-9[/tex].
Leva strana je deljiva sa [tex]x_0[/tex], pa [tex]x_0[/tex] deli [tex]4x_0-9[/tex], a time i [tex]9[/tex]: [tex]x_0\in\{\pm 1; \pm 3; \pm 9\}[/tex].
[tex]a=\frac{4x_0-9}{x_0^2}[/tex]: za [tex]x_0=1[/tex] [tex]a=-5[/tex]; za [tex]x_0=-1[/tex] [tex]a=-13[/tex]; za [tex]x_0=3[/tex], [tex]-3[/tex], [tex]9[/tex], [tex]-9[/tex] dobijamo [tex]\frac{1}{3}[/tex], [tex]-\frac{7}{3}[/tex], [tex]\frac{1}{3}[/tex], [tex]-\frac{5}{9}[/tex] - nisu celi.
Odgovor: [tex]a=-5[/tex] (rešenje [tex]1[/tex]) ili [tex]a=-13[/tex] (rešenje [tex]-1[/tex]).

Rešenje:
Oslobodimo se zagrada: [tex]x^2+2xy+y^2=xy-x+y-1[/tex], tj. [tex]x^2+(y+1)x+y^2-y+1=0[/tex].
Posmatramo je kao kvadratnu jednačinu po [tex]x[/tex]. Realno rešenje postoji samo ako je diskriminanta nenegativna:
[tex]D=(y+1)^2-4(y^2-y+1)=-3y^2+6y-3=-3(y-1)^2\ge 0[/tex].
To važi samo za [tex]y=1[/tex]. Tada je [tex]D=0[/tex] i [tex]x=-\frac{y+1}{2}=-1[/tex].
Jedino rešenje je [tex]x=-1[/tex], [tex]y=1[/tex] (provera: [tex]0^2=0\cdot 0[/tex]).

Rešenje:
Pošto [tex]a[/tex], [tex]b[/tex], [tex]c[/tex] nisu svi jednaki, nisu svi nule, pa je [tex]a^2+b^2+c^2>0[/tex] i jednačina je kvadratna.
[tex]\frac{D}{4}=(a+b+c)^2-3(a^2+b^2+c^2)=2ab+2bc+2ca-2a^2-2b^2-2c^2[/tex]
[tex]=-\left[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\right][/tex].
Zbir tri kvadrata je [tex]0[/tex] samo kada je [tex]a=b=c[/tex]. Ovde brojevi nisu svi jednaki, pa je zbir pozitivan i [tex]D<0[/tex].
Dakle, jednačina nema realnih rešenja.

Rešenje:
Pošto je [tex]b>0[/tex], jednačina je kvadratna. Diskriminantu dva puta rastavimo pomoću razlike kvadrata:
[tex]D=(b^2+c^2-a^2)^2-(2bc)^2=(b^2+c^2-a^2-2bc)(b^2+c^2-a^2+2bc)[/tex]
[tex]=\left[(b-c)^2-a^2\right]\left[(b+c)^2-a^2\right]=(b-c-a)(b-c+a)(b+c-a)(b+c+a)[/tex].
Po nejednakosti trougla: [tex]b\lt c+a[/tex], tj. [tex]b-c-a<0[/tex]; [tex]c\lt a+b[/tex], tj. [tex]b-c+a>0[/tex]; [tex]a\lt b+c[/tex], tj. [tex]b+c-a>0[/tex]; i [tex]b+c+a>0[/tex].
Tačno jedan činilac je negativan, pa je [tex]D<0[/tex] i jednačina nema realnih rešenja.

Rešenje:
Pretpostavimo da jednačina ima racionalno rešenje [tex]\frac{p}{q}[/tex] zapisano kao neskrativ razlomak ([tex]p[/tex] i [tex]q[/tex] celi, ne oba parna). Pomnožimo [tex]a\frac{p^2}{q^2}+b\frac{p}{q}+c=0[/tex] sa [tex]q^2[/tex]:
[tex]ap^2+bpq+cq^2=0[/tex].
Ako su [tex]p[/tex] i [tex]q[/tex] neparni, sva tri sabirka su neparna, a zbir tri neparna broja je neparan, nije [tex]0[/tex].
Ako je tačno jedan od [tex]p[/tex], [tex]q[/tex] paran, tačno dva sabirka su parna, a treći neparan, pa je zbir ponovo neparan, nije [tex]0[/tex].
U oba slučaja dobijamo kontradikciju, pa jednačina nema racionalnih rešenja.

Rešenje:
Neka je [tex]f(x)=ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)[/tex], gde je [tex]0\lt x_1\lt x_2<1[/tex].
[tex]f(0)=c=ax_1x_2>0[/tex] i [tex]f(1)=a+b+c=a(1-x_1)(1-x_2)>0[/tex] su celi pozitivni brojevi, pa je svaki bar [tex]1[/tex] i
[tex]1\le f(0)f(1)=a^2\,x_1(1-x_1)\,x_2(1-x_2)[/tex].
Za [tex]0\lt x<1[/tex] važi [tex]x(1-x)=\frac{1}{4}-\left(x-\frac{1}{2}\right)^2\le\frac{1}{4}[/tex], sa jednakošću samo za [tex]x=\frac{1}{2}[/tex]. Rešenja su različita i ne mogu oba biti [tex]\frac{1}{2}[/tex], pa je [tex]1\lt \frac{a^2}{16}[/tex], tj. [tex]a>4[/tex].
Za [tex]a=5[/tex] je moguće: [tex]5x^2-5x+1=0[/tex] ima rešenja [tex]\frac{5\pm\sqrt{5}}{10}[/tex], oba u [tex](0; 1)[/tex].
Odgovor: [tex]a=5[/tex].