Задачи с квадратными уравнениями - очень сложные задачи с решениями

Решение:
Очевидно, что [tex]a[/tex] не равно 0. Мы разделим уравнение на [tex]a^2[/tex] и получим [tex]\frac{x^2}{a^2}-2\frac{ax}{a^2}+\frac{a^2}{a^2}=0[/tex]
[tex](\frac{x}{a})^2-2 \cdot \frac{x}{a}+1=0[/tex], или [tex](\frac{x}{a}-1)^2=0[/tex], что дает [tex]\frac{x}{a}=1[/tex].

Решение:
Уравнение определено для [tex]x[/tex], когда [tex]x-2 \ne 0; x+2 \ne 0; x^2-4 \ne 0[/tex], что дает нам [tex]x \ne \pm 2[/tex].
[tex]\frac{5}{2-x}+\frac{x-5}{x+2}+\frac{3x+8}{x^2-4}=0[/tex]
[tex]\frac{3x+8}{x^2 - 4}=-\frac{3x+8}{4-x^2}[/tex]
[tex]\frac{5(x+2)}{(2-x)(x+2)}+\frac{(x-5)(2-x)}{(x+2)(2-x)}+\frac{3x+8}{x^2-4}=0[/tex]
[tex]\frac{5x+10}{4-x^2}+\frac{2x-10-x^2+5x}{4-x^2}-\frac{3x+8}{4-x^2}=0[/tex]. Знаменатель нам больше не нужен.
[tex]5x+10+7x-10-x^2-3x-8=0[/tex]
[tex]x^2-9x+8=0[/tex]
[tex]x^2-8x-x+8=0[/tex]
[tex]x(x-8)-(x-8)=0[/tex]
[tex](x-1)(x-8)=0[/tex], и корнями уравнения есть [tex]x=1[/tex] и [tex]x=8[/tex]. Уравнение определено для них, то есть оба корня являются решениями.

Решение:
Пусть х [tex]x[/tex] будет [tex]\sqrt{6+(\sqrt{6+(\sqrt{6...}}}[/tex]
[tex]x = \sqrt{6+(\sqrt{6+(\sqrt{6...}}}[/tex]
[tex]x^2 = 6 + \sqrt{6+(\sqrt{6+(\sqrt{6...}}}[/tex]
[tex]\Rightarrow x^2=6+x[/tex]
[tex]x^2- x - 6 = 0[/tex]
[tex](x+2)(x-3) = 0[/tex]
[tex]x = -2 or x = 3[/tex]
[tex]x[/tex] должен быть больше 0, поэтому

[tex]\sqrt{6+(\sqrt{6+(\sqrt{6...}}} = 3[/tex]

Решение:
Сгруппируем множители так, чтобы суммы чисел были равны ([tex]3+8=4+7=11[/tex]):
[tex](x-3)(x-8)=x^2-11x+24[/tex], [tex](x-4)(x-7)=x^2-11x+28[/tex].
Пусть [tex]t=x^2-11x+24[/tex]: [tex]t(t+4)=60[/tex], [tex]t^2+4t-60=0[/tex], [tex]t_1=6[/tex], [tex]t_2=-10[/tex].
[tex]x^2-11x+24=6[/tex]: [tex]x^2-11x+18=0[/tex], [tex]x=2[/tex] или [tex]x=9[/tex].
[tex]x^2-11x+24=-10[/tex]: [tex]x^2-11x+34=0[/tex], [tex]D=121-136<0[/tex], действительных корней нет.
Ответ: [tex]x_1=2[/tex], [tex]x_2=9[/tex].

Решение:
Пусть [tex]f(x)=x^2-2ax+a+2[/tex]; график - парабола с ветвями вверх и вершиной при [tex]x=a[/tex]. Оба корня лежат в [tex](1; 3)[/tex] тогда и только тогда, когда:
[tex]\frac{D}{4}=a^2-a-2=(a-2)(a+1)\ge 0[/tex]: [tex]a\le -1[/tex] или [tex]a\ge 2[/tex];
вершина внутри интервала: [tex]1\lt a<3[/tex];
[tex]f(1)=3-a>0[/tex]: [tex]a<3[/tex];
[tex]f(3)=11-5a>0[/tex]: [tex]a\lt \frac{11}{5}[/tex].
Все условия выполнены при [tex]2\le a\lt \frac{11}{5}[/tex], т.е. [tex]a\in[2; \frac{11}{5})[/tex]. (При [tex]a=2[/tex] двойной корень [tex]x=2[/tex].)

Решение:
[tex]f(x)=0[/tex] даёт [tex]x^2-ax+3a-9=0[/tex], т.е. [tex](x-3)(x-a+3)=0[/tex]. Абсциссы точек [tex]A[/tex] и [tex]B[/tex] равны [tex]3[/tex] и [tex]a-3[/tex], и [tex]AB=|a-6|[/tex] (нужно [tex]a\ne 6[/tex]).
[tex]C=(0; 9-3a)[/tex], значит, высота к [tex]AB[/tex] равна [tex]|9-3a|=3|a-3|[/tex].
Площадь: [tex]\frac{1}{2}|a-6|\cdot 3|a-3|=27[/tex], т.е. [tex]|(a-6)(a-3)|=18[/tex].
[tex](a-6)(a-3)=18[/tex]: [tex]a^2-9a=0[/tex], [tex]a=0[/tex] или [tex]a=9[/tex].
[tex](a-6)(a-3)=-18[/tex]: [tex]a^2-9a+36=0[/tex], [tex]D<0[/tex], решений нет.
Ответ: [tex]a=0[/tex] или [tex]a=9[/tex].

Решение:
Если [tex]a=0[/tex], корень [tex]x=\frac{9}{4}[/tex] - не целый.
Пусть [tex]x_0[/tex] - целый корень. [tex]x_0\ne 0[/tex] (иначе [tex]9=0[/tex]) и [tex]ax_0^2=4x_0-9[/tex].
Левая часть делится на [tex]x_0[/tex], значит, [tex]x_0[/tex] делит [tex]4x_0-9[/tex], а следовательно, и [tex]9[/tex]: [tex]x_0\in\{\pm 1; \pm 3; \pm 9\}[/tex].
[tex]a=\frac{4x_0-9}{x_0^2}[/tex]: при [tex]x_0=1[/tex] [tex]a=-5[/tex]; при [tex]x_0=-1[/tex] [tex]a=-13[/tex]; при [tex]x_0=3[/tex], [tex]-3[/tex], [tex]9[/tex], [tex]-9[/tex] получаем [tex]\frac{1}{3}[/tex], [tex]-\frac{7}{3}[/tex], [tex]\frac{1}{3}[/tex], [tex]-\frac{5}{9}[/tex] - не целые.
Ответ: [tex]a=-5[/tex] (корень [tex]1[/tex]) или [tex]a=-13[/tex] (корень [tex]-1[/tex]).

Решение:
Раскроем скобки: [tex]x^2+2xy+y^2=xy-x+y-1[/tex], т.е. [tex]x^2+(y+1)x+y^2-y+1=0[/tex].
Рассмотрим это как квадратное уравнение относительно [tex]x[/tex]. Действительное решение есть, только если дискриминант неотрицателен:
[tex]D=(y+1)^2-4(y^2-y+1)=-3y^2+6y-3=-3(y-1)^2\ge 0[/tex].
Это верно только при [tex]y=1[/tex]. Тогда [tex]D=0[/tex] и [tex]x=-\frac{y+1}{2}=-1[/tex].
Единственное решение: [tex]x=-1[/tex], [tex]y=1[/tex] (проверка: [tex]0^2=0\cdot 0[/tex]).

Решение:
Так как [tex]a[/tex], [tex]b[/tex], [tex]c[/tex] не все равны, они не все равны нулю, значит, [tex]a^2+b^2+c^2>0[/tex] и уравнение квадратное.
[tex]\frac{D}{4}=(a+b+c)^2-3(a^2+b^2+c^2)=2ab+2bc+2ca-2a^2-2b^2-2c^2[/tex]
[tex]=-\left[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\right][/tex].
Сумма трёх квадратов равна [tex]0[/tex] только при [tex]a=b=c[/tex]. Здесь числа не все равны, значит, сумма положительна и [tex]D<0[/tex].
Следовательно, уравнение не имеет действительных корней.

Решение:
Так как [tex]b>0[/tex], уравнение квадратное. Дважды разложим дискриминант по формуле разности квадратов:
[tex]D=(b^2+c^2-a^2)^2-(2bc)^2=(b^2+c^2-a^2-2bc)(b^2+c^2-a^2+2bc)[/tex]
[tex]=\left[(b-c)^2-a^2\right]\left[(b+c)^2-a^2\right]=(b-c-a)(b-c+a)(b+c-a)(b+c+a)[/tex].
По неравенству треугольника: [tex]b\lt c+a[/tex], т.е. [tex]b-c-a<0[/tex]; [tex]c\lt a+b[/tex], т.е. [tex]b-c+a>0[/tex]; [tex]a\lt b+c[/tex], т.е. [tex]b+c-a>0[/tex]; и [tex]b+c+a>0[/tex].
Ровно один множитель отрицателен, значит, [tex]D<0[/tex] и действительных корней нет.

Решение:
Предположим, что уравнение имеет рациональный корень [tex]\frac{p}{q}[/tex] в виде несократимой дроби ([tex]p[/tex] и [tex]q[/tex] целые, не оба чётные). Умножим [tex]a\frac{p^2}{q^2}+b\frac{p}{q}+c=0[/tex] на [tex]q^2[/tex]:
[tex]ap^2+bpq+cq^2=0[/tex].
Если [tex]p[/tex] и [tex]q[/tex] оба нечётные, все три слагаемых нечётны, а сумма трёх нечётных чисел нечётна, т.е. не равна [tex]0[/tex].
Если ровно одно из [tex]p[/tex], [tex]q[/tex] чётно, ровно два слагаемых чётны, а третье нечётно, и сумма снова нечётна, т.е. не равна [tex]0[/tex].
В обоих случаях противоречие, значит, рациональных корней нет.

Решение:
Пусть [tex]f(x)=ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)[/tex], где [tex]0\lt x_1\lt x_2<1[/tex].
[tex]f(0)=c=ax_1x_2>0[/tex] и [tex]f(1)=a+b+c=a(1-x_1)(1-x_2)>0[/tex] - целые положительные числа, значит, каждое не меньше [tex]1[/tex] и
[tex]1\le f(0)f(1)=a^2\,x_1(1-x_1)\,x_2(1-x_2)[/tex].
При [tex]0\lt x<1[/tex] имеем [tex]x(1-x)=\frac{1}{4}-\left(x-\frac{1}{2}\right)^2\le\frac{1}{4}[/tex], причём равенство только при [tex]x=\frac{1}{2}[/tex]. Корни различны и не могут оба равняться [tex]\frac{1}{2}[/tex], поэтому [tex]1\lt \frac{a^2}{16}[/tex], т.е. [tex]a>4[/tex].
При [tex]a=5[/tex] это возможно: [tex]5x^2-5x+1=0[/tex] имеет корни [tex]\frac{5\pm\sqrt{5}}{10}[/tex], оба в [tex](0; 1)[/tex].
Ответ: [tex]a=5[/tex].